EJEMPLO

Representar la función:  y=e^x/x

Puedes ver un ejemplo desarrollado, después se proponen tres funciones exponenciales para representar.

a. Información extraída de la función

b. Información extraída de la derivada

c. Dibujar la gráfica

Representar la función:  y=e^x/x

1. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA FUNCIÓN

• La función está definida para todo R excepto en x=0

2) Cortes con los ejes y signo

• Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

  Con el eje OX: la ecuación e^x=0 no tiene solución luego la curva tampoco corta al eje de abscisas.

• e^x>0 para cualquier x, por tanto el signo de f(x) coincide con el de x.

3) Simetría

• Esta función no es PAR ni IMPAR

4) Asíntotas

• VERTICALES: la recta x=0

• HORIZONTALES, la recta y=0 cuando x® -¥, la función presenta distinto comportamiento según x se haga muy grande o muy pequeña:

• OBLICUAS: no hay

2. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

• Calculamos la derivada y'=e^x(x-1)/x²

• La ecuación: (x-1)e^x/x²=0 tiene como solución

  x=1

• Calculamos el signo de la derivada antes y después de este valor.

• Para comprobar el máximo o mínimo podemos calcular también el signo de la segunda derivada en x=1

3. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

• Calculamos la segunda derivada y''=(x²-2x+2)e^x/x³

• La ecuación  (x²-2x+2)e^x/x³=0 no tiene soluciones reales luego no habrá puntos de inflexión. Ahora bien, si

  • Si x<0, f''(x)<0

  • Si x>0, f''(x)>0

  por tanto la concavidad cambia en x=0

4. REPRESENTAR LA CURVA

7) Dibujar la gráfica

• Resumimos los resultados anteriores para ayudar a reflejarlos en la gráfica

EJERCICIOS

Estudia y representa gráficamente en tu cuaderno las funciones exponenciales:

1) f(x)=x²e^x

2) f(x)=e^x+e^-x

3) f(x)=1/(1+e^-x)