PROGRAMACIÓN LINEAL

1. INTRODUCCIÓN.

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RESTRICCIONES.

3. FUNCIÓN OBJETIVO.

4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

1. INTRODUCCIÓN

Aun cuando la programación lineal surgió especialmente para dar respuesta a cuestiones de carácter logístico y militar, es en la industria y en la economía donde posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más interesantes.

En los problemas prácticos con los que nos encontramos en el mundo actual intervienen multitud de factores (materia prima, mano de obra, transporte, recursos disponibles, niveles económicos, tiempo, etc.) sujetos a múltiples restricciones, con los que se desea obtener unos beneficios máximos o unos costes mínimos. La parte de la matemática con la que se resuelven este tipo de problemas se llama programación lineal. Un problema de programación lineal para dos variables consiste en:

• optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de la forma: 

        que llamamos función objetivo

• sujeta a una serie de restricciones, dadas mediante inecuaciones lineales:

        Cada desigualdad lineal anterior determina un semiplano. El conjunto de los puntos que cumplen todas las desigualdades determinan un recinto, acotado o no, que llamamos región factible. Se llama solución óptima a una solución factible que optimice la función objetivo.

        El teorema fundamental de la programación lineal dice que la solución óptima se encuentra siempre sobre la frontera de la región factible

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RESTRICCIONES

Una restricción

Los puntos (x,y) del plano que  verifican la ecuación ax+by = d están situados sobre la recta que representa.

Así mismo, la recta anterior divide al plano en dos semiplanos cuyos puntos verifican una de las inecuaciones ax+by <d ó ax+by > d

Fíjate en la siguiente escena 1.

Dos restricciones

Para representar el conjunto de puntos que satisfacen las dos condiciones siguientes se comienza representando las dos rectas cuyas ecuaciones corresponden a las igualdades. Luego se señala en cada una el semiplano que corresponde a la desigualdad. Finalmente se delimita el recinto con la parte común a ambas desigualdades

Fíjate en la escena 2:

Más de dos restricciones

Las condiciones serán exigidas siempre a partir de ahora, por lo que nos limitaremos en las escenas al primer cuadrante.

Además el número de restricciones puede aumentar a más de dos. Veámoslo con algún ejemplo.

En la siguiente escena encontrar el conjunto de puntos P(x,y), del primer cuadrante, que verifican las inecuaciones que se indican.

Fíjate en la escena 3:

3. FUNCIÓN OBJETIVO

Para hallar, gráficamente, la solución de un problema de programación lineal de dos variables es conveniente seguir este proceso:

1. Se dibuja el recinto limitado por las restricciones del problema

2. Se representa una paralela a la función objetivo (igualada a cero)

3. Se trazan paralelas a la recta anterior que pasen por cada uno de los vértices de la región factible y se observa en que vértice la función z se hace máxima (o mínima).

Actividad 2:

En la escena siguiente se han representado las restricciones  

Resuelve los siguientes ejercicios:

NOTA:

Cuando la región factible no es acotada es posible que el problema de optimización se quede sin solución. Veámoslo considerando como restricciones: 

Fíjate en la siguiente escena , donde se han representado las restricciones anteriores

1.- Minimizar el objetivo 2.-  Maximizar el objetivo 3.-Encontrar el máximo y el mínimo para el objetivo 4.-¿Serías capaz de encontrar una función objetivo que obtuviera un máximo sobre la región factible? Explica la respuesta.

4.EJERCICIOS Y PROBLEMAS

A continuación se deja una escena "en blanco", para que resuelvas los ejercicios de enunciado que se proponen a continuación.

Debes de poner un máximo de tres rectas para las restricciones y la función del objetivo. La región factible debes de sombrearla tú. 

VER PROBLEMAS.

Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006