ECUACIONES BICUADRADAS

Se denominan ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.

Ejemplos: x⁴ - 5x² +4 = 0 . .; . . .x⁴ - 4 = x² - 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.

Ver representada en la siguiente escena la primera ecuación del ejemplo: x⁴ - 5x² +4 = 0

"Atención que ahora llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x⁴, x² y término independiente"

Puede observarse que ahora la gráfica ya no es una parábola que que ¡corta al eje X en cuatro puntos!

Naturalmente eso significa que la ecuación tiene cuatro soluciones: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2 (Búscalas arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior).

Resolución numérica

Para resolver las ecuaciones bicuadradas se procede de acuerdo a los siguientes pasos (los vemos con el ejemplo anterior).

Ejercicio 8.- Resolver numéricamente la ecuación : x⁴ - 5x² +4 = 0

a) Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro (ya está).

b) Llamar a x² = z (podría ser otra letra cualquiera) , por lo que x⁴ = z²

c) Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z² - 5z + 4 = 0 (se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: z = 1 ; z = 4)

d) A partir de los valores de z, obtener los de x.:

z = x² = 1 ; de donde : x = raiz cuadrada de 1 = ± 1 o

z = x² = 4, de donde : x = raiz cuadrada de 4 = ± 2

Por tanto obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

Casos posibles para las soluciones

Teniendo en cuenta los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado, para las ecuaciones bicuadradas, se podrán obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.

· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos positivas

· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una positiva y una 0 (la raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una)

· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa (la raíz cuadrada de un número negativo no existe).

· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 o cuando tenga una solución 0 y otra negativa..

· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos negativas, una sola negativa o ninguna solución.

En la escena siguiente se presenta el caso de tres soluciones: x⁴ - 9x² = 0

Se presenta en rojo la ecuación bicuadrada y en azul la de segundo grado correspondiente (observa que ahora escribimos las ecuaciones completas en las dos ventanas inferiores.

Ejercicio 9.- Resolver numéricamente la ecuación anterior : x⁴ - 9x² = 0, comprobando las soluciones obtenidas gráficamente.

Ejercicio 10.- Utiliza la escena siguiente para resolver gráficamente las siguientes ecuaciones bicuadradas.

Escribe en la ventana izquierda la ecuación bicuadrada y en la otra (derecha) la de segundo grado que hay que resolver también.

Resuélvelas numéricamente comprobando que coinciden las soluciones

a) x⁴ - 3x² + 2 = 0. .............. b) x⁴ - 10x² = -9. .............c) x⁴ = x². ................d) x⁴ - 2x² - 8 = 0

"Tendrás que observar los puntos de corte con el eje x. Cuando no sean enteror, puedes ver el valor aproximado pinchando con el ratón en el punto y viendo las coordenadas".

Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006