PITAGORAS
(Siglo VI a.
de C.)
Filósofo griego, nacido probablemente en Samos, que, tras viajar por diversos
países, se estableció en Trotona (Magna Grecia), donde fundó una comunidad
integrada principalmente por aristócratas.
Se le atribuye el famoso teorema de Pitágoras.
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa. Los pitagóricos
descubrieron la relación
matemática de la Escala
musical, creían que los cuerpos celestes estaban a distancias armónicas, de tal
manera que en su movimiento producían una especie de sinfonía:
la famosa armonía de las esferas.
Sus principios éticos se basaron en el ascetismo y produjeron hombres
notables como Arquitas y Pitias.
OBRAS:
No ha llegado hasta nosotros ninguno de sus escritos.
Conocemos su doctrina por referencias de autores posteriores.
DISCUSIÓN
PREVIA
Todos
los fenómenos se pueden expresar matemáticamente.
¿Qué piensa al respecto? ¿Se llegará algún día a la expresión matemática
del fenómeno de la vida?
En
las lecturas anteriores hemos insistido sobre la importancia de la dimensión
histórica en el estudio de las distintas creaciones del espíritu de humano antes
de entrar a desarrollar el tema de esta nueva lectura, profundizaremos un poco
más sobre el concepto de historia, sirviéndonos para esto del concepto de vida y
de evolución.
Como
objeto de reflexión consideremos un árbol de edad adulta, su altura, su
frondosidad, el grosor de su tallo, la forma de sus ramas, el color de sus
hojas, etc., son el resultado de
cuarenta, cincuenta o más años de lluvias, sequías, vendavales, cambios de
temperatura, características del suelo, etc.
Bajo condiciones distintas su estado actual habría sido otro, más bajo,
menos frondoso, quizás se hubiera secado.
Lo que el árbol es en este momento es el compendio de un pasado, de una
historia. Esta historia va más allá
de los cuarenta o cincuenta años, la semilla de la cual brotó tiene también un
pasado que se confronta a millones de años.
El árbol que observamos comenzó probablemente bajo la forma de un helecho
gigante y éste bajo la forma de liquen o de musgo.
¿Y el musgo? No apareció de un momento a otro, tiene a su vez un pasado
que llega hasta los comienzos de la vida misma, bajo la forma de las primeras
moléculas orgánicas. Llegamos así al
origen de la vida, sin embargo, aún estamos lejos del primer instante, a partir
del cual comenzó, por decirlo así, a escribirse la historia del árbol objeto de
nuestra reflexión. La vida no
comenzó de una manera súbita, sin preparación alguna en la materia inorgánica,
ella tiene un pasado que nos lleva en la imaginación al comienzo mismo de la
materia y del tiempo. Hasta ahora
sólo hemos considerado una dirección en la historia,
el pasado. El árbol tiene
también futuro comenzará a envejecer,
se secarán sus raíces, se caerán sus hojas y terminará por servir de
abono a nuevos retoños, de sus semillas surgirán nuevos árboles que prolongarán
en el tiempo su propia historia.
Si
un lugar del objeto anterior me tomo a mí mismo como ejemplo y pregunto, que soy
yo en este preciso momento, debería responder de una manera semejante:
soy compendio y resultado de una larga cadena de acontecimientos que
fueron tejiendo lo que constituye mi historia:
yo soy historia y hago historia,
mi vida no es un acontecimiento, aislado, soy deudor del pasado y
contribuyo, quiera o no, al futuro propio, y al de los demás.
Lo
que hemos dicho de los individuos, debemos decirlo también de las creaciones de
estos mismos individuos. Nuestros
conocimientos actuales de matemáticas y de física no surgieron de un momento a
otro en la mente de un hombre privilegiado, son el resultado de miles de
condiciones, de miles de circunstancias, a lo largo de muchísimos años de
historia. Las matemáticas como
cualquier otra creación del espíritu humano, tiene una historia.
Comenzó en forma muy rudimentaria, unos descubrimientos servían de b ase
a otros, se complementaban, se corregían hasta llegar al alto grado de
perfección de nuestros días. Primero
fue la aritmética, luego el álgebra, luego el cálculo y así sucesivamente;
pero la historia no se detiene, y seguimos avanzando, nuestros
conocimientos sirven de base a nuevos descubrimientos.
Antes
de los griegos, los caldeos y los egipcios habían hecho importantes
descubrimientos en la aritmética y en la geometría;
sin embargo, son los griegos quienes por primera vez se dedican al
estudio de estas materias de una manera desinteresada.
Ya no se trata de resolver solamente problemas concretos de cálculo y de
medición, se trata de investigar el misterio de los números y del espacio
geométrico; es el comienzo de las
matemáticas como ciencia, o mejor, como filosofía, es decir, como ocupación de
espíritu, por amor a la especulación como tal, y no por su sola aplicación
instrumental al mundo de la medida y del cálculo.
La
escuela pitagórica fue en sus comienzos una secta, en la que se mezclaban
curiosamente la religión y la ciencia.
Creían en la inmortalidad, en la trasmigración de las almas, en la
salvación individual a través del cultivo de la ciencia, en particular de la
ciencia de los números. Se trataba
de una especie de comunidad religiosa, dedicada a la meditación sobre los
números, sus leyes y misterios.
Todo esto nos puede parecer un tanto extraño, pero no olvidemos que
estamos en los comienzos de las matemáticas, y los descubrimientos de los
números y sus relaciones constituían algo así como una revelación.
Han pasado muchos años, nuestros conocimientos superan notablemente a los
de los primeros matemáticos, sin embargo, todos los días se escribe algo nuevo
sobre los números y sus misteriosas combinaciones...
“la magia de los números”,
“paradojas matemáticas”, “el misterio de los números”etc.
¿No
es algo supremamente curioso que la suma de los primeros cuatro números sea
precisamente diez y que diez sea la base de toda la numeración decimal? ¿Cómo
explicar la existencia de números que sólo son divisibles por sí mismos?
(Números Primos) ¿Y la sucesión de números pares e impares?
El 1 es “impar”, el 2 par, el 3 impar, el 4 par, el 5 impar, el 6 par y
así sucesivamente.
La
gran revelación para la escuela pitagórica fue el descubrimiento de que cada
número correspondía una figura y, por consiguiente, a cada figura un número.
Ahora bien, todas las cosas tienen una figura, por lo tanto tienen un
número que las define, que las hace tal cosa y no otra:
las cosas son números.
Para
nosotros los números son símbolos, el tres es implemente 3, el cuatro, 4; para
los griegos, en el tiempo de los pitagóricos, el 3 era un triangulo, el 4 un
cuadrado, el 30, un rectángulo, etc., a cada número correspondía una figura.
Intentemos explicarlo de la siguiente manera comenzando con la unidad
representada por un punto:
Aunque
no es nuestro intento exponer de una manera detallada la teoría de los números
de la escuela pitagórica, vamos a mostrar con un ejemplo cómo la aritmética
“figurativa! Lleva a conclusiones
geométricas, por esta razón se la llama aritmogeometria.
Si añadimos la figura que corresponde al cuadrado (9) a la figura que
corresponde el cuadro (16) a la figura que corresponde el cuadrado (16)
obtenemos un tercer cuadrado (25), uno de cuyos lados corresponde un tercer
cuadrado (25), uno de cuyos lados corresponde a la hipotenusa de un triángulo
cuyos dos catetos son (3) Y (4) respectivamente; tenemos así la solución, en un
caso concreto, al Teorema de Pitágoras:
La
suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado
construido sobre la hipotenusa; en
este caso concreto, un triángulo rectángulo cuyos catetos son (3) y (4), tiene
una hipotenusa (5). Hoy en día
expresamos lo mismo de la siguiente manera:
32 + 42
= 52 , como este caso hay
varios, en los cuales la suma de dos números cuadrados da un tercer número
cuadrado, uno de cuyos lados corresponde exactamente a la hipotenusa del
triángulo formado por los lados de los otros dos cuadrados;
por ejemplo: la figura cuadrada que corresponde al número 169, o sea:
52 + 122 = 132 ; el triángulo formado
por las tres figuras tiene de lados (5) y (12) y de hipotenusa (13).
Otro gran
descubrimiento viene a corroborar la tesis pitagórica de que las cosas son
números, el descubrimiento de que la armonía musical sigue ciertas leyes
numéricas. Si se hacer vibrar una
cuerda tensa sobre una caja de resonancia se obtiene una nota,
si se divide la longitud de la cuerda por medio de un soporte o puente,
se pueden obtener notas diferentes en cada uno de los segmentos en que se divide
la cuerda. Este instrumento musical
constituye el monocordio, conocido desde la más remota antigüedad y que los
griegos recibieron de los egipcios.
El tono de la nota producida por el monocordio depende de la longitud de la
cuerda vibrante, más abajo cuanto más larga y más alto cuanto más corta.
La música no es más que la combinación sucesiva de diferentes sonidos o
notas que produce una sensación agradable al oído.
Ahora bien, hay un primer hecho musical aceptado universalmente:
sólo algunas combinaciones de dos notas, son agradables al oído, es decir
consonantes. Las otras combinaciones
de dos notas, son disonantes. La
armonía, por lo tanto, es una condición impuesta al músico.
Esta condición se manifiesta concretamente en las posiciones permitidas
al puente, que se habían ido determinando a lo largo de la tradición musical y
que aparecían en forma de una escala de monocordio.
La
tradición nos cuenta que fue Pitágoras el primero en sospechar que había cierta
relación entre las longitudes de las cuerdas vibrantes y la consonancia o
armonía musical. Para comprobar su
hipótesis compara las longitudes de las cuerdas vibrantes en todos los casos en
que hay consonancia.
Encuentra, efectivamente, que dos sonidos son consonantes cuando las respectivas
longitudes son entre si como 1 a
2; o como 2 a 3;
o como 3 a 4.
Si por el contrario, las longitudes no cumplen con estas proporciones, el
resultado es una disonancia y en este c aso se trata de un ruido, y no, de
música. Por primera vez en la
historia de la música se encuentra que la armonía se puede expresar
matemáticamente: dos notas
consecutivas son consonantes, suenan bien, si las longitudes de los segmentos de
la cuerda vibrante en el monocordio son como los números enteros sencillos, como 1 a 2; o como 2 a 3;
o como 3 a 4; en caso contrario, son disonantes.
La
importancia de este descubrimiento fue enorme.
La música desempeñaba un papel de primer orden dentro de la educación y
de la cultura griega, si la música está sometida a leyes numéricas ¿por qué no,
la astronomía y con la astronomía, el universo entero? ¿No se puede pensar,
acaso, por analogía con la música, que las distancias de los planetas guardan
entre si cierta proporción fija de acuerdo con una especie de armonía cósmica,
de tal manera que produjeran en la inmensidad del espacio una sinfonía perenne?
La
escuela pitagórica desapareció casi por completo hacia el sigo III antes de
Cristo, entre otras razones, por la inmensa autoridad de Platón y de Aristóteles
quienes la atacaron acérrimamente, en especial éste último.
Sin embargo, su programa y su espíritu reapareció nuevamente en
occidente, durante la Edad Media.
Entre sus principales representantes se encuentran Copérnico, Kepler,
Galileo y el mismo Descartes, para Galileo la naturaleza es un libro escrito en
caracteres geométricos y quien quisiera leerlo, desearía aprender geometría.
En una carta que escribe el gran matemático y filósofo Descartes a su
amigo Mersenne confiesa que “según mi opinión todo acontece en la naturaleza de
forma matemática”.
Copérnico
rechaza la hipótesis tradicional según la cual
la Tierra es el centro del sistema astronómico porque le falta
simplicidad, simetría, en una palabra, armonía.
Kepler desea hacer en astronomía lo que siglos antes hizo Pitágoras en la
música: descubrir las proporciones
fijas de las distancias de los planetas con respecto al sol.
El 8 de marzo de 1618, después de innumerables y dispendiosos cálculos,
formula su famosa tercera ley: los
cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas son proporcionales a los
cubos de sus distancias medias al sol.
El
filósofo pitagórico es un apasionado cultor de los números porque a través de
los números se manifiestan los más profundos secretos del mundo.
Dos razones poderosas revelan la relación entre los números y las cosas:
el aspecto figurativo de estos y la correspondencia de la armonía musical
a proporciones numéricas fijas.
Si a cada cosa corresponde una figura y a cada figura un número, cabe
esperar que a cada cosa corresponda un número que la defina.
Y de una
manera análoga, si la armonía musical se puede expresar matemáticamente, se
puede suponer razonablemente que la armonía cósmica que se manifiesta por
doquier, en particular en la regularidad de los movimientos planetarios, también
se expresa matemáticamente. No se
puede ser, por tanto,, filosofo, si no se aprende matemáticas.
CUESTIONARIO
PREGUNTAS DE COMPRENSION
1. Yo soy historia y hago historia. Comente esta afirmación desde una
perspectiva filosófica.
2. La escuela pitagórica fue en sus comienzos un secta que veía en los
"números" una especie de revelación. Explique el sentido de esta afirmación.
3. Las cosas son números. Comente el sentido filosófico de esta afirmación.
4. La armonía musical sigue ciertas leyes numéricas. ¿Cuales?
5. ¿Que descubrimiento lleva a la escuela pitagórica a la tesis de que la
realidad sigue leyes numéricas?
6. "Todas las cosas tienen un numero, porque sin él no seria posible que algo
fuese conocido o comprendido". Comente brevemente.
PREGUNTAS DE ATENCION .
1. ¿De que siglo es Pitágoras?
2. ¿Que teorema se atribuye a su nombre?
3. ¿Como se atribuye el termino aritmo-geometria?
4. ¿Que tipo de figura corresponde al tres?
5. Muestre que el nueve es un numero cuadrangular
TAREAS
1. "Todas las cosas tienen un numero, porque sin él no sería posible que algo
fuese conocido o comprendido" (Filolao). Realice un ensayo en el que
desarrolle este afirmación (1 pagina)
2. A Toda figura corresponde un numero y a todo numero una figura. ¿Que opina
usted al respecto? Fundamente sus razones.