Esquema
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre alguna
característica desconocida de la población. Probar una hipótesis estadística
consiste comprobar si hay suficiente evidencia empírica para sustentar dicha
afirmación. Para ello se obtiene una muestra y se calcula la probabilidad de
sustentar dicha afirmación en base a los datos muestrales.
A la afirmación que se quiere probar se le llama hipótesis
nula y se designa con H0.
Definición 1.
La probabilidad de rechazar H0, en el supuesto
de que H0 es cierta, se conoce como error de tipo I y se denota con a.
Definición 2.
La probabilidad de no rechazar H0, en el
supuesto de que H0 es falsa, se conoce como error de tipo II y se denota con b.
Definición 3.
Una prueba de
una hipótesis estadística con respecto a alguna característica desconocida de
la población es cualquier regla para decidir si se rechaza la hipótesis nula
con base en una muestra aleatoria de la población.
Definición 4.
Se denomina región
crítica a los valores de prueba que rechazan la hipótesis nula. El área
de la región crítica es igual al tamaño del error de tipo I.
Para construir una regla de decisión apropiada en la
prueba de una hipótesis estadística es necesario establecer una hipótesis
alternativa que refleje el valor o intervalo de valores posibles del parámetro,
si la hipótesis nula es falsa. Esta hipótesis alternativa se designa con H1.
Probar una hipótesis consiste, pues, en proporcionar una decisión entre H0
y H1.
El enfoque general es el de aceptar que el error de tipo I
es mucho más serio que el error de tipo II, y formular la hipótesis nula y la
alternativa de acuerdo con lo anterior.
Una manera simple de obtener reglas de decisión consiste
en seleccionar aquel procedimiento que tenga el error más pequeño de tipo II
de entre todos los procedimientos que den el mismo tamaño de error de tipo I.
La probabilidad a
de error de tipo I también se conoce como el nivel
de significación estadística.
Ejemplo.
Supóngase que se tiene interés en que el tiempo promedio
de armado de una unidad en una planta de un gran almacén, sea de 10 minutos. El
gerente decide continuar con el proceso a menos que se encuentre evidencia de
que el tiempo promedio no es de 10 minutos. La evidencia se obtendrá de una
muestra de tamaño n de la población
de interés. ¿Cómo debe decidirse si el proceso continúa en operación?
Afinemos un poco más. Supóngase que puede tolerarse un
error de tipo I hasta de 0,06 cuando se prueba la hipótesis nula
H0: m=10
Contra la hipótesis alternativa
H1: m>10
Y supóngase, también, que la distribución del tiempo de
armado de una unidad sigue una normal con desviación estándar s=1,4
minutos.
Para obtener la evidencia empírica se extrae una muestra
de aleatoria de tamaño 25 y se escoge la media muestral como estadístico de
prueba.
Deseamos comparar las siguientes regiones críticas:
Para determinar cuál de estas satisface el tamaño de
error de tipo I que puede tolerarse y cuál es el valor más pequeño de b
de entre las tres.
Para determinar el error de tipo I, se asumirá que H0
es cierta y se calculará:
Como
Para la prueba A
De manera similar para la prueba B
y para C
Como C no reúne los requisitos, no será ya considerado.
De entre A y B determinemos cuál de los dos es la que
tiene un error de tipo II más pequeño.
El error de tipo II, es el de no rechazar H0, en
el supuesto que H0 es falsa.
Para la prueba A
y para la prueba B
Estos valores se pueden tabular para los diferentes valores
de m.
Por ejemplo para m
= 10,4 se obtiene:
En la prueba A
b(10,4)=0,8133
Y en la prueba B
b(10,4)=0,5714
Para este valor particular de m
en la prueba alternativa, la hipótesis B es mejor que la hipótesis A.
Tabulando los resultados para distintos valores de m
en la hipótesis alternativa se obtiene:
|
m
|
10,1
|
10,2
|
10,3
|
10,4
|
10,5
|
10,6
|
10,7
|
10,8
|
10,9
|
11
|
11,1
|
11,2
|
11,3
|
11,4
|
11,5
|
|
Prueba
A
|
0,9753
|
0,9460
|
0,8944
|
0,8140
|
0,7039
|
0,5709
|
0,4291
|
0,2961
|
0,1860
|
0,1056
|
0,0540
|
0,0247
|
0,0101
|
0,0037
|
0,0012
|
|
Prueba
B
|
0,8944
|
0,8140
|
0,7039
|
0,5709
|
0,4291
|
0,2961
|
0,1860
|
0,1056
|
0,0540
|
0,0247
|
0,0101
|
0,0037
|
0,0012
|
0,0003
|
0,0001
|
Como puede verse en la tabla conforme el error de tipo I
disminuye, el de tipo II aumenta. Si la opción propuesta por la hipótesis nula
es falsa, pero difiere muy poco del verdadero valor, la opción de no rechazar H0
es alta.
Considérese la hipótesis simple
H0: q=q0
cuando
se muestrea una población con función de densidad f(x; q) en donde q0 es el valor propuesto
de q. Si la
hipótesis alternativa es de la forma:
H1: q>q0.
ó
H1: q<q0.
se
dice que H1 es una hipótesis alternativa unilateral.
Vale
la pena observar que la hipótesis alternativa debe formularse solo si el valor
de uno de los parámetros que se encuentra en el lado opuesto no tiene sentido
para el investigador.
Debe
notarse que b(q) se conoce como función
característica de operación.
Dado
que b(q) es la probabilidad de que un
valor de la estadística de prueba no se encuentre en la región crítica cuando
H0 es falsa, entonces 1-b(q)
representa la probabilidad de que se encuentre en la región crítica cuando es
falsa. Esta probabilidad se conoce como potencia
de la prueba.
Definición 5.
La función P(q)=1-b(q)
recibe el nombre de función potencia de la prueba y representa la probabilidad
de rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa; es decir, cuando el valor
del parámetro de H1 es cierto.
Sea X1. X2, …, Xn una
muestra aleatoria de tamaño n de una
población cuya función de densidad es f(x;q)
y sean
H0: q=q0
contra
H1: q=q1
q0 y q1
dados. Si a es el tamaño máximo del
error de tipo I admitido, entonces la mejor prueba para H0 contra H1
es aquella que tiene el tamaño más pequeño del error de tipo II, de entre
todas las pruebas que tengan un tamaño de error de tipo I no mayor que a.
Se pueden determinar las regiones críticas para estas
pruebas mediante el uso del siguiente teorema.
Teorema 1.
Si existe una región crítica C de tamaño a
y una constante positiva k tal que:
entonces C es la mejor región crítica de tamaño a
para probar H0: q=q0
contra H1: q=q1, en
donde L0 y L1 son las funciones de verosimilitud relativas
a H0 y H1, respectivamente.
Definición 6.
Se dice que una prueba de la hipótesis H0: q=q0
es la prueba uniformemente más potente de tamaño a
si ésta es por lo menos tan poderosa, para cualquier valor de q
de la hipótesis alternativa, como cualquier otra prueba de tamaño menor o
igual que a.
Se desarrollarán criterios generales de prueba para los
siguientes 3 casos.
Caso 1.
H0:
q = q0
contra
H1: q
¹ q0.
Caso 2.
H0:
q = q0
contra
H1: q
>
q0.
Caso 3.
H0:
q = q0
contra
H1: q
<
q0.
Principios
generales para el caso 1.
Dada
una muestra aleatoria de tamaño n de
la distribución de interés, el procedimiento general para probar H0
es escoger el mejor estimador de q, T y
rechazar H0 cuando el estimado t obtenido de la muestra, es en forma
suficiente, diferente del valor propuesto de q0.
Para
un tamaño preseleccionado a, del error
de tipo I, se puede obtener una región crítica bilateral, de los extremos de
la distribución de muestreo de T, de manera que el área en cualquier lado más
allá del valor crítico, sea igual a a/2.
Entonces
se rechaza H0, a favor de H1, cuando el estimado t se
encuentra en la región crítica.
Cuando
el estimado t no se encuentra dentro de la región crítica, no puede rechazarse
la hipótesis nula. De esta forma cualquier diferencia con respecto al valor de q0,
se considera causada por la fluctuación en el muestreo del estimador T.
Ejemplo.
Supóngase
que para una ciudad solo hay dos canales de TV, el canal 6 y el 10. Se cree que
para las noticias de la tarde el auditorio se encuentra dividido en partes
iguales para ambos canales. Una compañía desea probar la hipótesis nula
H0:
p = 0,5
contra
H1: p
¹
0,5.
Para
ello selecciona una muestra de 18 residentes al azar y se pregunta qué canal
prefiere. La variable X indica que el canal seleccionado es el 6. Se proponen
las siguientes dos pruebas
Prueba A: Rechazar H0 si X
£ 4
ó X ³14.
Prueba B: Rechazar H0 si X
£ 5
ó X ³13.
Si
la compañía piensa tolerar un tamaño máximo de 0,1 para el error de tipo I,
determinar la mejor prueba a emplear para decidir entre H0 y H1.
La
estadística de prueba X es una variable aleatoria binomial con n=18 y, bajo la
hipótesis nula, p=0,5.
Para
la prueba A, la probabilidad de error tipo I es
Para
la prueba B, la probabilidad de error tipo I es
Como ambas pruebas tiene valores de a menores al tamaño máximo que puede tolerarse, se compararán
sus funciones potencia para decidir cuál es la mejor de las dos.
Utilizamos la hoja de cálculo del Excel.
|
p
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
|
Prueba
A
|
0,971806
|
0,716354
|
0,332694
|
0,095448
|
0,030884
|
0,095448
|
0,332694
|
0,716354
|
0,971806
|
|
Prueba
B
|
0,993585
|
0,867086
|
0,534649
|
0,214509
|
0,096252
|
0,214509
|
0,534649
|
0,867086
|
0,993585
|
En la tabla se observa que, para cualquier valor de p, la
potencia de la prueba B es mayor que la de la prueba A. De acuerdo con lo
anterior, la prueba B es uniformemente más poderosa que la prueba A y es la
mejor prueba de las dos indicadas.
Principios generales
para el caso 2.
El procedimiento general para probar H0, es de
nuevo escoger el mejor estadístico T de q
y rechazar H0 cuando el estimado t es en forma suficiente mayor que
el valor propuesto de q0.
De esta forma para un tamaño a
del error de tipo I, la región crítica
se encuentra localizada en el extremo superior de la distribución de muestreo
de T y H0 se rechazará si el estimado t no es menor que el valor crítico.
Análogamente se hace
para el caso 3.
Se han formulado críticas con respecto a las pruebas de
hipótesis estadísticas debido a que la decisión final de rechazar o no una H0
dada, es demasiado cortante y seca y no proporciona una mediada real de que la
decisión sea correcta en términos de la probabilidad.
Para ello se ha sugerido el cálculo del valor de p. El valor de p es la probabilidad, dado que H0
es cierta, de que el estadístico de prueba tome un valor mayor o igual que el
calculado con base en la muestra aleatoria.
Se sugiere la siguiente regla: Si el valor de p es menor o
igual que a, se rechaza H0;
de otra forma no puede rechazarse la hipótesis nula.
Es de destacar que muchos paquetes estadísticos para
computadora, tales como SAS, APSS, BMD y otros, imprimen el valor de p para casi
todas las situaciones en las que interviene las pruebas de hipótesis estadísticas.
Ejemplo.
Los siguientes datos representan tiempos de armado para 20
unidades seleccionadas aleatoriamente: 9,8; 10,4; 10,6; 9,6; 9,7; 9,9; 11,1;
9,6; 10,2; 10,3; 9,6; 9,9; 11,2; 10,6; 9,8; 10,5; 10,1; 10,5; 9,7. Supóngase
que el tiempo necesario para armar una unidad es una variable aleatoria normal
con media m y desviación típica s=0,6.
Con base en esta muestra, ¿existe alguna razón para creer, a un nivel de 0,05,
que el tiempo de armado promedio es mayor de 10 minutos?
Solución
Considérese la hipótesis nula
H0: m=10
contra la alternativa
H1: m>10
Si puede rechazarse a H0
con a=0,05, entonces existe una razón
para creer que el tiempo necesario para armar una unidad es mayor que 10
minutos.
Como la media muestral, en el
supuesto de que H0 es cierta, sigue una distribución normal de parámetros
El valor crítico es aquel para el cual
Buscando en las tablas el valor de c=10,2206803.
De los datos se obtiene que la media muestral vale 10,2.
Por tanto no puede rechazarse la hipótesis nula. El valor de p en este caso es
la probabilidad de
Puesto que p es mayor que a,
se concluye que con base en la muestra no existe evidencia suficiente para
rechazar la hipótesis de que el tiempo promedio necesario para armar una unidad
es de 10 minutos.
Ejemplo
Los pesos en gramos del contenido de 16 cajas de cereal que
se seleccionaron para verificar el peso promedio, fueron:
|
506
|
508
|
499
|
503
|
504
|
510
|
497
|
512
|
514
|
505
|
493
|
496
|
506
|
502
|
509
|
496
|
Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal
con desviación típica s=5 g.
Demostrar que para cualquier valor propuesto de m0
de m que se encuentre en el interior del intervalo de confianza del
95%, una prueba de hipótesis
H0: m=m0
contra
H1: m¹m0.
no llevará al rechazo de H0 para a=0,05.
Solución
Un intervalo de confianza al 95% para m
viene dado por:
503,75
± 1.96 (5/4) lo
que da unos límites de 500,45 y 507,05.
Es
necesario demostrar que los límites 500,45 y 507,05 coinciden con los límites
de los valores propuestos m0
bajo H0 que llevan al rechazo de la hipótesis nula.
Para
cualquier valor propuesto de m0
comprendido entre 500,45 y 507,05, el mejor estimador de m
viene dado por
Dado
que la media muestral es 503,75 y la cuasidesviación típica muestral s =6,2.
Para el límite 500,45 se tiene:
y
para el límite 507,05
Si calculamos la región crítica bilateral para T en una
t-Student con 15 grados de libertad, obtenemos:
P ( | T | > c
)=0,05
El valor de c que se obtiene es de 2,131. De esta forma,
cualquier valor propuesto de m0
interior al intervalo (500,45 ; 507,05) no llevará al rechazo de H0
con a=0,05.
Para ilustrar el cálculo del valor de p en este contexto,
considérese la hipótesis nula
H0: m
= 508
contra la alternativa
H1: m
¹ 508
Dado que 508 está fuera del intervalo (500,45 ; 507,05), H0
será rechazada a un nivel de 0,05. El valor de p será la probabilidad
P ( | T | > t0 )=p , donde
Puesto que es una hipótesis bilateral, se calcula P ( | T
| > 2,742 )=0,016. Por tanto si la hipótesis nula es cierta, existe una
probabilidad menor del 2% para observar un valor de la distribución t de
Student cuya magnitud sea igual o mayor al valor observado 2,742.
Ejemplo
Un investigador diseña un experimento en el que se pedirá
a un determinado número de sujetos que lleven a cabo una tarea específica en
un medio controlado y bajo dos niveles diferentes de ruido de fondo. El
investigador selecciona 32 personas que son capaces de realizar la misma tarea y
de manera práctica en el mismo tiempo. Del total de personas, 16 seleccionadas
al azar realizarán esta tarea bajo un nivel modesto de ruido de fondo. Las
restantes 16 llevarán a cabo la tarea bajo un nivel de ruido 2, el cuál es más
severo que el 1. Los siguientes datos representan los tiempos observados
necesarios para completar la tarea para cada una de las 16 personas de cada
nivel.
|
Nivel
1
|
14
|
12
|
15
|
15
|
11
|
16
|
17
|
12
|
14
|
13
|
18
|
13
|
18
|
15
|
16
|
11
|
|
Nivel
2
|
20
|
22
|
18
|
18
|
19
|
15
|
18
|
15
|
22
|
18
|
19
|
15
|
21
|
22
|
18
|
16
|
Asumiendo que estos datos constituyen muestras aleatorias
de dos distribuciones normales e independientes con varianzas iguales pero
desconocidas, ¿existe alguna razón para creer que el tiempo promedio para el
nivel 2 es mayor por más de 2 minutos que para el nivel 1 con a=0,01?
Solución
Sean m1
y m2 las medias desconocidas
de los niveles 1 y 2. Se afirma que m2
es mayor que m1 por más de 2
minutos. En base a lo anterior, consideremos la hipótesis nula
H0: m2-m1=2
contra la hipótesis alternativa
H1: m2-m1>2
Como
Como la varianza es desconocida, el estadístico
sigue una T-Student con nX+nY-2
grados de libertad.
La media muestral de Y es 18,5 y la de X, 14,375; la
varianza muestral de Y es 6 y la de X, 5,1833. Por tanto S p =2,36467.
Luego
eso da t = 2,5417. Dado que el valor de t = 2,5417 se
encuentra por encima de la región crítica de tamaño 0,01, se rechaza la hipótesis
nula. El cálculo de la región crítica de tamaño 0,01 se puede hacer con la
función t inversa de la hoja de cálculo para una sola cola. Eso da DISTR.T.INV(0,02;30)=2,45726369
(el valor 0,02 es porque solo tiene una
cola).
Bajo
la hipótesis de H0, el valor de p es: P (T ³ 2,5417 )= 0,00821748. Por
tanto, con base en este experimento, puede concluirse que la diferencia entre
las medias de los niveles 1 y 2 es mayor de 2 minutos es estadísticamente
discernible con valor p de 0,00821748.
Ejemplo.
Un
investigador médico se interesa por determinar si un fármaco experimental
tiene el efecto colateral no deseable de elevar la presión sistólica sanguínea.
En un ambiente controlado de laboratorio se le toman la presión sanguínea de
los n sujetos y se les administra el fármaco durante un lapso adecuado de
tiempo después del cual se las vuelve a tomar la presión sanguínea.
Sean
(X1, Y1), (X2, Y2), …, (Xn,
Yn) los n pares, donde (Xi, Yi) denota la presión
sanguínea del i-ésimo individuo antes y después de tomar el fármaco. Cada
individuo forma un par, así pues al considerar las diferencias de cada par, se
eliminan las influencias externas que pudieran haber por otros motivos distintos
a la ingesta del fármaco.
Supongamos
que las diferencias D1, D2, …, Dn constituyen
v.a IID normalmente distribuidas con E(Di)=mD y Var(Di)=sD2.
Vamos
a probar la hipótesis nula
H0: mD=0
contra
la hipótesis alternativa
H1: mD>0
con a=0,01.
Suponiendo la media y
la varianza desconocidas, se tiene que:
La media muestral de las diferencias vale 3,75 y SD=3,7929
se tiene que t=3,425. El valor crítico c es igual a P(T>=c)=0,01 con
T siguiendo una t-Student de 11 grados de libertad, lo que equivale a
c=DISTR.T.INV(0,02;11)=2,71807949. Por tanto se rechaza la hipótesis nula de no
efecto del medicamento. Por tanto, con base en los resultados de este estudio,
un incremento en el valor promedio de la presión sanguínea es estadísticamente
discernible con un valor de p igual a
P(T>=3,425)= 0,00283646.
Ejemplo.
Un investigador cree que ha desarrollado una variedad de maíz
nueva que es superior a la mejor variedad disponible. Para verificar lo
anterior, el investigador diseña el siguiente experimento: se seleccionan 10
parcelas de igual tamaño cada una en distinta localidad geográfica. Cada
parcela se divide en 2 secciones iguales, de manera tal que puedan cultivarse
las 2 variedades en cada localidad. En el momento de recoger la cosecha se
anotan las toneladas por unidad de área.
|
Tipo
|
L1
|
L2
|
L3
|
L4
|
L5
|
L6
|
L7
|
L8
|
L9
|
L10
|
|
Variedad X
(estándar)
|
23
|
35
|
29
|
42
|
33
|
19
|
37
|
24
|
35
|
26
|
|
Variedad Y
(nueva)
|
26
|
39
|
35
|
40
|
38
|
24
|
36
|
27
|
41
|
27
|
Con base en estos datos, obténgase un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia media de la producción entre X e Y.
|
Diferencias
|
-3
|
-4
|
-6
|
2
|
-5
|
-5
|
1
|
-3
|
-6
|
-1
|
|
Media
|
Varianza
Muestral
|
Desviación T
muestral
|
|
-3
|
8,0000
|
2,8284
|
Dado que el valor cero no se incluye en dicho intervalo, se
rechaza la correspondiente hipótesis nula de que la diferencia es cero a un
nivel de a=0,05.
Pruebas para una muestra
Sea X1, X2, …, Xn una
muestra aleatoria de una distribución
normal con media m y varianza s2
desconocidas. Sea la hipótesis nula:
El estadístico de interés es la varianza muestral S2.
La hipótesis nula será rechazada si la realización de S2 calculada
a través de la muestra, es en forma suficiente, diferente, mayor o menor que s02,
dependiendo de la hipótesis alternativa.
Pero bajo la suposición de que H0 es cierta, el
estadístico (n-1)s2/s02
es un valor de la variable aleatoria chi-cuadrada con n-1 grado de libertad. Por tanto, se rechazará H0 si
dicho valor se encuentra dentro de la región crítica de tamaño a.
Véase la tabla:
|
Hipótesis
nula
|
Valor
del estadístico de prueba
|
|
|
|
|
|
|
H0:
s2=s02
|
|
|
|
|
|
|
|
Hipótesis
alternativa
|
Criterios
de rechazo
|
|
|
|
|
|
|
|
H1:
s2 ≠
s02
|
|
|
|
|
|
|
|
H1:
s2>
s02
|
|
|
|
|
|
|
|
H1:
s2<
s02
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pruebas para dos muestras.
Sea X1, X2, …, XnX y Y1,
Y2, …, YnY dos muestras aleatorias
de una distribución normal con media mX
y mY y varianzas sX2
y sY2
desconocidas. Sea la hipótesis nula:
Los estadísticos de interés son las varianzas maestrales
SX2 y SY2. Se sabe que
(nX-1)
SX2/sX2
y (nY-1)SY2/sY2
son dos variables aleatorias independientes chi-cuadrado
con nX-1 y nY-1 grados de libertad. Entonces el estadístico
sigue una F con con nX-1 y nY-1
grados de libertad. Por tanto, bajo la hipótesis nula cierta, se reduce a:
Para una hipótesis alternativa bilateral y un tamaño a
del error de tipo I, se rechazará la hipótesis nula cuando f = sX2/
sY2≥f1-a/2,
nX-1,nY-1 o cuando f≤1/ f1-a/2,
nY-1,nX-1
Ejemplo
El investigador del experimento del ruido de fondo, con los
datos
|
Nivel
1
|
14
|
12
|
15
|
15
|
11
|
16
|
17
|
12
|
14
|
13
|
18
|
13
|
18
|
15
|
16
|
11
|
|
Nivel
2
|
20
|
22
|
18
|
18
|
19
|
15
|
18
|
15
|
22
|
18
|
19
|
15
|
21
|
22
|
18
|
16
|
Asumiendo que estos datos constituyen muestras aleatorias
de dos distribuciones normales e independientes con varianzas iguales pero
desconocidas, ¿existe alguna razón para creer que las varianzas son
efectivamente iguales para el nivel
a=0,1?
Sea la hipótesis
H0: s12=s22
contra la alternativa
H1: s12≠
s22
Se observa que los valores críticos, izquierdo y derecho,
son f0,95; 15, 15 =DISTR.F.INV(0,05;15;15)=2,40 y 1/ f0,95; 15,
15=DISTR.F.INV(0,95;15;15)=1/2,40=0,42. Con base en los datos de la
muestra s12=5,1833 y s22=6. De esta
forma el estadístico de prueba es f=5,1833/6=0,8639.
Dado que f no es mayor que 2,40 ni menor que 0,42 no es
posible rechazar la hipótesis nula.
La población general se subdividió en dos grupos, zurdos
y derechos, y cada grupo fue dividido en fumadores y no fumadores. Sea p1
la proporción de personas zurdas que fuman y p2
la proporción de personas diestras que fuman. El interés recae en hacer una
comparación entre p1 y p2.
Supóngase que los zurdos y los derechos constituyen dos
distribuciones binomiales independientes tales que la proporción de fumadores
en los dos grupos es p1 y p2, respectivamente. Con base en
muestras aleatorias de tamaño n1 y n2, sean X e Y el número
observado de personas zurdas y derechas que fuman, respectivamente. las
proporciones muestrales
son los estimadores de máxima verosimilitud de p1
y p2. Dado que X e Y son variables aleatorias binomiales, las
varianzas de los estimadores están dadas por
Supóngase que se desea construir un intervalo de confianza
muestral grande para la diferencia entre p1 y p2. El estadístico
de interés es la diferencia entre las proporciones muestrales. Luego
Se demostró que para n1 y n2
grandes, la distribución de
es aproximadamente normal. Es decir:
es aproximadamente normal N(0,1). Nótese que el
denominador es un estimador de la desviación típica, puesto que se han
sustituido las proporciones muestrales p1 y p2. Por tanto,
la probabilidad del intervalo aleatorio
es aproximadamente 1-a,
y un intervalo de confianza aproximado del 100(1-a)%
para p1-p2 es:
son los estimadores de máxima verosimilitud de p1
y p2, respectivamente.
Ejemplo
Siguiendo con el estudio del hábito de fumar, en una
muestra de 400 zurdos 190 fumaban, y en una muestra de 800 diestros, 300
fumaban. Con base en esto construir un intervalo de confianza al 98%
para la diferencia real entre las proporciones p1 y p2.
Los estimadores de las proporciones son
Como los tamaños de las muestras son grandes, la
aproximación normal es adecuada. Para un intervalo del 98%, z 0,99=2,33.
lo que da un intervalo (0,0295, 0,1705). Dado que dicho
intervalo no incluye al cero, puede concluirse con un 98% de confiabilidad, que
el porcentaje de zurdos que fuman es mayor que el correspondiente para las
personas derechas.
Supóngase que el interés recae en probar la hipótesis
nula
H0: p1-p2
= 0
contra una de las hipótesis alternativas
H1: p1-p2
≠ 0, H1: p1-p2
> 0, H1: p1-p2
< 0
Dadas las muestras aleatorias de tamaños n1 y n2,
considérese el estadístico
La intuición sugiere que debe rechazarse la hipótesis
nula si un valor de la estadística es en forma suficiente, diferente, mayor
que, o menor que cero, dependiendo de la hipótesis alternativa.
Dado que bajo H0 se supone que las proporciones
son iguales, sea p = p1= p2 la proporción común.
Entonces, si H0 es cierta, el estadístico
Ya que el valor de p no se conoce, se combina la información
de las dos muestras para obtener el estimador combinado
Entonces un estimador de la desviación estándar de
en donde
es el estimador combinado de p.
Bajo H0, el estadístico
es aproximadamente normal N(0,1) para valores grandes de n1
y n2. Dependiendo de la hipótesis alternativa, no es difícil
decidir cuando rechazar H0, con base en un tamaño de error tipo I.
