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Ejercicio 1

Los datos que figuran en la tabla son los resultados de un diseño completamente aleatorizado para el cual la respuesta son los kilowats hora, empleados por los sistemas de calentamiento (en cientos de kilowats hora) para casas muy similares en un mes dado. Con base en esta información, existe alguna razón para creer que por lo menos algunos de los consumos de energía promedio para los 5 niveles de aislamiento son diferentes Supóngase un error de tipo I con a = 0,01.

Calculados los datos

Continuando con el ejemplo, compárese m₄ contra m₅; m₂,m₃,m₄ contra m₅; m₁ contra m₂ y m₃ y m₄ contra m5, empleando el método Scheffé con a=0,01.

Los contrastes para las cuatro comparaciones son:

L₁ = m₄ - m₅;  L₂= m_{2 +} m_{3 +}   m₄ - m₅;  L₃= m₁ - m₂ y L₄= m₃ + m₄ - m₅.

Se ilustrará el cálculo del intervalo de confianza para L₂.

Ejercicio 2

Una planta de enlatado emplea un número muy grande de máquinas para su proceso de llenado. Se da por hecho que cada máquina vacía un peso especificado del producto en cada lata. El gerente sospecha que hay una gran variación de la cantidad del producto que se vacía entre las distintas máquinas. Para verificar la sospecha escoge 4 máquinas al azar y pesa el contenido de 5 latas, seleccionadas de forma aleatoria, llenadas por cada una de las 4 máquinas. el resultado se muestra en la tabla. ¿Qué proporción de la varianza de los pesos puede atribuirse a las diferencias que existen entre las máquinas?

Solución

Para estimar la varianza en los pesos y qué proporción de ésta puede atribuirse a las diferencias entre las máquinas, reacuérdese que para un modelo de efectos aleatorios

Un estimador de s² es CME=0,000075 y un estimador de s² +5 s_t² es CMTR=0,001565. En otras palabras

0,000075+5 s_t²=0,001565

de donde st²=0,000298. Es un estimador de st². Entonces un estimador de la varianza en el peso es  s²(Y_ij)=0,000075+0,000298=0,00373, de la cual 000298/00373=79,89 %, se debe a diferencias entre las máquinas.

Ejercicio 3

La agencia de protección del medio ambiente (APMA) anualmente clasifica  de acuerdo con la eficiencia en el quemado de combustible a todos los automóviles disponibles para la venta en Estados Unidos, generalmente basadas en pruebas de laboratorio. Una empresa independiente desea determinar en condiciones reales de rodamiento ( 400 millas por zonas tanto urbanas como de carretera) si existe alguna diferencia en el quemado de combustible. Para ello elige 5 automóviles que tienen la misma clasificación APMA. Los tratamientos están constituidos por los 5 automóviles, la respuesta medible es el número de de millas recorridas por galón durante las 400 millas. Pero, ¿cuál es la unidad experimental?; esta tiene que ser la persona que conduce el automóvil. No es probable que la empresa utilice un solo conductor para todo el experimento. Esto introduce un riesgo potencial que puede tomarse en cuenta mediante la creación de 4 bloques, uno para cada conductor, de tal manera que los tratamientos dentro de cada bloque ( los 5 automóviles) se apliquen a unidades experimentales homogéneas ( el mismo conductor). La pregunta que surge en este momento es como asignar los automóviles a los conductores. El diseño aleatorizado indica que la asignación debe hacerse de forma aleatoria. Para ello se concibe un método aleatorio simple, como el expuesto en la tabla:

Supóngase que los resultados del experimento  son

Solución

Empleando la hoja de cálculo para los cálculos

llevando estos datos a la hoja de ANOVA

Se rechaza la hipótesis nula de igualdad de efecto del tratamiento.

Ejercicio 4

Se desea determinar si la cantidad de carbón empleado en la fabricación de acero tiene algún efecto sobre la resistencia de este. Se investigaron 5 porcentajes diferentes de carbón: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 y 0,6. Para cada porcentaje de carbón se seleccionaron, en forma aleatoria del mismo lote, cinco muestras de acero y se midieron las resistencias a la tensión. Se obtuvo la tabla, en donde la tensión se encuentra en kilogramos por centímetro cuadrado

a) Con base en esta información, determínese si el porcentaje de carbón tiene un efecto estadísticamente significativo sobre la resistencia a la tensión del acero. Úsese a=0,01.

b) Si la anterior respuesta es afirmativa, propóngase los contrastes relevantes y pruébese su significancia estadística.

Solución

b) Algunos contrastes significativos pueden ser:

L₁: m₅-m₄=0;  ó  L₂: 3m₅-m₄-m₃-m₂=0

Para el 1º se obtiene:

y para el 2º se obtiene:

Ejercicio 5

Los cigarrillos producen cantidades apreciables de monóxido de carbono. Cuando se inhala humo del cigarrillo, el monóxido de carbono se combina con la hemoglobina para formar carboxihemoglobina. En un estudio reciente, los investigadores deseaban determinar si una concentración apreciable de carboxihemoglobina reduce la tolerancia al ejercicio en aquellos pacientes que sufren de bronquitis crónica y enfisema. Se seleccionaron 7 de estos pacientes y, en un ambiente controlado, se les pidió que caminaran durante 12 minutos respirando una de las siguientes 4 mezclas gaseosas: aire, oxígeno, aire mas monóxido de carbono u oxigeno mas monóxido de carbono. La cantidad de monóxido de carbono respirado fue suficiente para elevar la concentración de carboxihemoglobina de cada sujeto en un 9%. Para controlar el consumo de monóxido de carbono se les pidió a los 7 fumadores que dejaran de fumar durante 12 horas antes del experimento. Los datos de la tabla representa la distancia caminada por los sujetos en 12 minutos para cada condición.

a) Escríbase el modelo para este problema

b) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula de que no existe ningún efecto, debido a la mezcla de gas, en la distancia caminada durante el lapso de 12 minutos para un nivel a=0,05?

c) Llévese a cabo una prueba F conservadora para la hipótesis nula. ¿Es la conclusión diferente de la parte b?

d) Si la respuesta a la parte b, es sí;  constrúyase los contrastes pertinenetes y empléese el método de Scheffé para determinar si estos son estadísticamente significativos.

 Solución

a)      El modelo para el problema es

b)

c) Se rechaza pues F= 16,4839719>5,09191977.

d) Dos contrastes y sus intervalos de confianza son

Para el 1º se tiene un intervalo de (12,01; 111,13) y como no contiene al cero, se rechaza

y para el 2º

Se acepta.

Ejercicio 6

Se llevó a cabo una investigación para determinar si pueden encontrarse diferencias apreciables en los salarios iniciales para contadores graduados con base en el sexo, localidad del lugar de trabajo o la interacción de los dos. El estudio se llevó a cabo en grandes ciudades del noroeste, el oeste medio y el oeste. Se piensa que será suficiente un arreglo factorial en un diseño completamente aleatorizado. Se decide emplear los salarios iniciales de 4 personas para cada una de las 6 combinaciones de tratamientos. Para asegurar que las unidades experimentales son homogéneas, se seleccionaron personas con antecedentes muy similares en la medida de lo posible. Tienen la misma edad y el mismo promedio de calificaciones durante sus estudios; ninguno tenía experiencia profesional y todos se graduaron en universidades del mismo nivel académico. Con base en la información de la muestra, determínese cuáles efectos son estadísticamente apreciables.

Solución

Ejemplo

Un fabricante de partes electrónicas emplea dos hornos y dos temperaturas con el propósito de probar la duración de cierto componente. Se seleccionan 12 componentes de algún lote y se prueba su duración de acuerdo con las 4 combinaciones posibles de hornos y temperaturas. El tiempo de duración de los componentes en horas es el siguiente

a)      Escríbase el modelo apropiado para este problema

b)      Establézcase la hipótesis a probar

c)      Determínese la tabla del análisis de varianza y obténgase conclusiones apropiadas para a=0,05.

Solución

a)      El modelo apropiado es

b)      la hipótesis a probar son

c)      El análisis de la varianza

Ejercicio 7

El objetivo de un experimento de agricultura fue determinar si existían diferencias apreciables en la cantidad de trigo cosechado, de entre cuatro variedades y tres tipos de fertilizantes. Para el experimento se encontró un área muy grande de siembra en las que las condiciones del suelo eran, prácticamente, homogéneas. El área fue subdividiva en 12 zonas de igual tamalo para las 12 combinaciones de variedad de trigo y tipo de fertilizante. Para medir el error experimental, cada zona se dividió a su vez en cuatro y cada una de estas recibió el mismo tratamiento. Las tres clases de fertilizante se seleccionaron en forma aleatoria, de entre un número grande de fertilizantes, pero el interés no se mostró mas allá de las 4 variedades de trigo seleccionado para el experimento. En el momento de la cosecha se observaron los datos que aparecen en la tabla:

a)      Escríbase el modelo apropiado para este problema

b)      Establézcase la hipótesis nula a probar

c)      Determínese el análisis de la varianza y obténgase las conclusiones apropiadas, para a=0,05.

Solución