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En una población de 60 individuos se ha observado dos variables estadísticas X e Y, obteniéndose los datos que aparecen en la tabla.

	1	2	3	4	5
3	1	2
4		4	6
5			10	12
6				15	4
7				1	5

a) Determina los parámetros de la distribución marginal de X.

b) Representa la nube de puntos de la distribución bidimensional.

c) Calcula las razones de correlación y el coeficiente de correlación lineal.

d) Halla las rectas de regresión.

Solución Hagamos el problema, por una sola vez paso por paso. Las medias marginales y la varianzas

Las medias condicionadas y las varianzas

Resumiendo:

	1	2	3	4	5	Media Y/X	Varianzas Y/X
3	1	2				1,666667	0,22222222
4		4	6			2,6	0,24
5			10	12		3,545455	0,24793388
6				15	4	4,210526	0,16620499
7				1	5	4,833333	0,13888889

Medias X/Y	3	3,666667	4,625	5,607143	6,555556
Varianzas X/Y	0	0,222222	0,234375	0,309949	0,246914

Media Marginal Y		3,633333				Media Marginal X		5,25
Varianza Marginal Y		0,832222				Varianza Marginal X		1,020833

Varianza de Medias Y/X			0,623682			Varianza Medias de X /Y		0,754431
Media de las Varianzas Y/X			0,208541			Media Varianzas de X/Y		0,266402

Razón de Correlacion Y/X			0,749417			Recta de regresión de X sobre Y: Y= -1,886 +1,051X

Razón de Correlacion X/Y			0,739035			Recta de regresión de Y sobre X: Y= -0,438 +0,776X

Coeficiente de Correlación Lineal

0,858905

Ejemplo de Independencia

La tabla siguiente muestra el resultado de los exámenes realizados por una empresa
a sus empleados según la edad de los mismos.

			Puntuaciones
			(0,3]	(3; 5]	(5; 7]	(7;10]
			1,5	4	6	8,5	Media Y/X	Varianzas Y/X
Edad	(20; 25]	22,5	3	6	9	15	6,363636	5,2768595
	(25; 35]	30	4	8	12	20	6,363636	5,2768595
	(35; 39]	37	12	24	36	60	6,363636	5,2768595
	(39; 41]	40	20	40	60	100	6,363636	5,2768595
	(41; 45]	43	9	18	27	45	6,363636	5,2768595
	(45; 55]	50	6	12	18	30	6,363636	5,2768595
	(55; 65]	60	3	6	9	15	6,363636	5,2768595

		Medias X/Y	40,32456	40,32456	40,32456	40,32456
		Varianzas X/Y	57,92536	57,92536	57,92536	57,92536

		Media Marginal Y		6,363636			Media Marginal X		40,32456
		Varianza Marginal Y		5,27686			Varianza Marginal X		57,92536

		Varianza de Medias Y/X			0		Varianza Medias de X /Y		0
		Media de las Varianzas Y/X			5,27686		Media Varianzas de X/Y		57,92536

		Razón de Correlacion Y/X			0		Recta de regresión de X sobre Y: X= 40,325

		Razón de Correlacion X/Y			0		Recta de regresión de Y sobre X: Y= 6,364

		Coeficiente de Correlación Lineal			0

Dependencia funcional no recíproca.

Para cada valor de Y existe uno solo de X. Las distribuciones condicionadas de X a las modalidades de Y son degeneradas y se reducen a un único valor.

El siguiente ejemplo nos muestra las puntuaciones obtenidas por un grupo de trabajadores en una prueba de habilidad, según el tiempo de permanencia en la empresa.

			Puntuaciones
			2	3	4	5	6	7		Media Y/X	Varianzas Y/X
Tiempo de Servicio	(0; 5]	2,5	5	0	0	3	0	0		3,125	2,109
	(5; 12]	8,5	0	3	5	0	0	0		3,625	0,234
	(12; 18]	15	0	0	0	0	0	4		7,000	0,000
	(18; 30]	24	0	0	0	0	1	0		6,000	0,000

		Medias X/Y	2,5	8,5	8,5	2,5	24	15
		Varianzas X/Y	0	0	0	0	0	0

		Media Marginal Y		4,19					Media Marginal X		8,190
		Varianza Marginal Y		3,107					Varianza Marginal X		33,107

		Varianza de Medias Y/X			2,214				Varianza Medias de X /Y		33,107
		Media de las Varianzas Y/X			0,893				Media Varianzas de X/Y		0,000

		Razón de Correlacion Y/X			0,713				Recta de regresión de X sobre Y: Y= 0,681 +0,429X

		Razón de Correlacion X/Y			1,000				Recta de regresión de Y sobre X: Y= 2,397 +0,219X

		Coeficiente de Correlación Lineal			0,715

Ejemplo 3.			Dependencia funcional no recíproca.
		Para cada valor de X existe uno solo de Y. Las distribuciones de Y condicionadas a X
		son degeneradas y solo toman un valor distinto de cero.


			Puntuaciones
			2	3	4	5	Media Y/X	Varianzas Y/X
Tiempo de Servicio	(0; 5]	2,5	2	0	0	0	2	0
	(5; 12]	8,5	0	8	0	0	3	0
	(12; 18]	15	0	0	5	0	4	0
	(18; 30]	24	0	2	0	0	3	0
	(30; 45]	37,5	0	0	0	7	5	0
	(45; 55]	50	0	0	6	0	4	0
	(55; 70]	62,5	0	3	0	0	3	0

		Medias X/Y	2,5	23,34615	34,09091	37,5
		Varianzas X/Y	0	489,4763	303,719	0

		Media Marginal Y		3,69697			Media Marginal X		28,66667
		Varianza Marginal Y		0,756657			Varianza Marginal X		373,0707

		Varianza de Medias Y/X			0,756657		Varianza Medias de X /Y		79,00703
		Media de las Varianzas Y/X			0		Media Varianzas de X/Y		294,0637

		Razón de Correlacion Y/X			1		Recta regresión X sobre Y: Y= 0,660 +0,106X

		Razón de Correlacion X/Y			0,211775		Recta regresión Y sobre X: Y= 3,148 +0,019X

		Coeficiente de Correlación Lineal			0,425049

	Ejerccio 4 Dependencia funcional recíproca
		Para cada valor de X existe uno solo de Y, y recípriocamente, para cada valor de Y, existe uno solo de X
		Tanto las distribuciones condiconadas de X a los valores de Y, como las de Y a los valores de X, se reducen
		a un único valor. Y es una función biunívoca de X


			Puntuaciones
			2	3	4	5	6	7	8	Media Y/X	Varianzas Y/X
Tiempo de Servicio	(0; 5]	2,5	5	0	0	0	0	0	0	2	0
	(5; 12]	8,5	0	3	0	0	0	0	0	3	0
	(12; 18]	15	0	0	0	0	2	0	0	6	0
	(18; 30]	24	0	0	5	0	0	0	0	4	0
	(30; 45]	37,5	0	0	0	3	0	0	0	5	0
	(45; 55]	50	0	0	0	0	0	0	6	8	0
	(55; 70]	62,5	0	0	0	0	0	5	0	7	0

		Medias X/Y	2,5	8,5	24	37,5	15	62,5	50
		Varianzas X/Y	0	0	0	0	0	0	0

		Media Marginal Y		5,138						Media Marginal X		31,483
		Varianza Marginal Y		4,740						Varianza Marginal X		468,422

		Varianza de Medias Y/X			4,740					Varianza Medias de X /Y		468,422
		Media de las Varianzas Y/X			0					Media Varianzas de X/Y		0

		Razón de Correlacion Y/X			1					Recta regresión X sobre Y: Y= 1,593 +0,113X

		Razón de Correlacion X/Y			1					Recta regresión Y sobre X: Y= 2,309 +0,090X

		Coeficiente de Correlación Lineal			0,893

Caso general I

La siguiente tabla muestra el nivel de ingresos de un conjunto de licenciados según los años
transcurridos desde que terminaron sus estudios.


		(0; 1]	(1; 2]	(2; 5]	(5; 10]	(10;20]
		0,5	1,5	3,5	7,5	15		Media Y/X	Varianzas Y/X
(0; 1000]	500	75	56	45	2	1		1,726	2,794
(1000; 1500]	1250	10	65	59	32	13		4,156	13,989
(1500; 2000]	1750	2	6	43	67	25		7,259	16,783
(2000; 3000]	2500	1	3	27	76	56		9,261	19,838
(3000; 5000]	4000		1	6	25	78		12,545	15,630
(5000; 8000]	6500			1	6	89		14,411	4,547
(8000; 15000]	11500			2	3	20		13,180	14,018

	Medias X/Y	636,36	1001,91	1598,36	2472,75	4684,40
	Varianzas X/Y	126291,32	283870,40	1853030,10	2325975,38	6781157,26

	Media Marginal Y		7,478771				Media Marginal X		2594,972
	Varianza Marginal Y		31,08167				Varianza Marginal X		5448661,871

	Varianza de Medias Y/X			18,630262			Varianza Medias de X /Y		2330815,7
	Media de las Varianzas Y/X			12,45141			Media Varianzas de X/Y		3117846,17

	Razón de Correlacion Y/X			0,599397		Recta de regresión de X sobre Y: Y= -2,010 +0,004X

	Razón de Correlacion X/Y			0,4277776		Recta de regresión de Y sobre X: Y= 3,431 +0,002X

	Coeficiente de Correlación Lineal			0,6531466

Caso general II

	La tabla siguiente muestra el número de matrimonios de un conjunto de familias según las edades
	de la esposa y del esposo

			Edad de la Esposa
			(15;20]	(20;25]	(25;30]	(30; 32]	(32;34]	(34; 40]	(40; 50]
			17,5	22,5	27,5	31	33	37	45	Media Y/X	Varianzas Y/X
Edad del esposo	(15; 20]	17,5	25	4						18,19	2,97265161
	(20; 25]	22,5	75	10	1					18,198	3,58301785
	(25; 30]	27,5	35	125	6	1	2			21,817	7,33025804
	(30; 32]	31	12	23	679	23	6	3		27,375	3,34772945
	(32; 34]	33	2	7	150	342	29	4	1	30,036	4,9851201
	(34;38]	36	1	2	45	234	675	145	12	32,975	6,10888351
	(38; 42]	40		3	5	45	456	1245	21	35,864	5,09859504
	(42; 50]	46		1	1	3	65	695	450	39,714	17,5278995

		Medias X/Y	23,743	28,083	31,626	34,550	37,898	41,690	45,465
		Varianzas X/Y	16,919	11,655	2,427	5,221	8,038	10,423	4,104

		Media Marginal Y		33,677			Media Marginal X		37,902
		Varianza Marginal Y		32,691			Varianza Marginal X		33,634

		Varianza de Medias Y/X			24,938		Varianza Medias de X /Y		25,905
		Media de las Varianzas Y/X			7,7526		Media Varianzas de X/Y		7,7291

		Razón de Correlacion Y/X			0,7629		Recta de regresión de X sobre Y: Y= -9,804 +1,147X

		Razón de Correlacion X/Y			0,7702		Recta de regresión de Y sobre X: Y= 1,565 +0,847X

		Coeficiente de Correlación Lineal			0,8594

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