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Esquema

1. Medidas de dispersión.

2. Características de forma

3. Características de concentración

4. Ejercicios para resolver

Medidas de dispersión.

Si C es una medida de posición central y x_i un valor posible. Las cantidades:

x_i – C  y  |x_i – C|

se llaman, respectivamente, la desviación a la tendencia central y la desviación absoluta a la tendencia central.

Según se consideren las desviaciones o las desviaciones absolutas con respecto a la media o a la mediana y según que se considere la mediana o la media de la serie de desviaciones, se obtendrán varios índices de dispersión:

La desviación mediana o también desviación probable es la mediana de las desviaciones a la mediana.

Desviación absoluta media respecto a la mediana, es la media de las desviaciones a la mediana. Es, según se puede demostrar, la menor desviación absoluta media.

Desviación absoluta media respecto a la media es la media de las desviaciones absolutas a la media.

Estos índices de dispersión son a causa de sus complicaciones algebraicas, menos utilizados que la desviación típica. La desviación típica se define como la raíz cuadrada de las medias de las desviaciones cuadráticas a la media. Es decir:

Entre estas tres últimas se puede demostrar que verifican la siguiente desigualdad:

Cuando la variable estadística es discreta el calculo de la desviación típica no ofrece dificultad alguna. Cuando la variable es continua, no se puede trabajar directamente, indirectamente se puede trabajar haciendo la variable discreta  y asignando todos los efectivos a la marca de clase. Por lo general, el error cometido será tanto menor cuanto más pequeños sean los intervalos. El resultado de esta “discretización” tiene como efecto aumentar la desviación típica. También se utiliza en los cálculos la varianza s² que se define como el cuadrado de la desviación típica.

Coeficiente de variación se define como la razón de la desviación típica a la media.

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Características de forma.

Coeficiente de asimetría. Si una distribución es simétrica sus diversos momentos centrales de orden impar son nulos. Fisher ha propuesto el siguiente coeficiente de asimetría:

Es invariante por cambio de origen y de escala y no tiene dimensiones.

Cuando >0 el apuntamiento de la distribución está más acentuado hacia la derecha, si <0, lo está hacia la izquierda y cuando vale 0, la curva es simétrica.

Coeficiente de aplastamiento. Fisher ha propuesto  el coeficiente:

que utiliza como prototipo para comparar la distribución normal, que tiene de coeficiente de aplastamiento 3. Si >0 la distribución está menos aplastada que la normal ( de la misma media y desviación típica), en caso de que esté mas aplastada el coeficiente será negativo.

Puesto que  el coeficiente de aplastamiento siempre es mayor o igual que –2.

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Características de concentración.

Para variables estadísticas continuas cuyos valores son siempre positivos, como por ejemplo la distribución de salarios y de rentas, es posible definir una curva que representa la proporción de individuos p_i  en % cuyo valor de la variable estadística (el sueldo) es inferior o igual a x_i  (frecuencia absoluta acumulada en %), en función de q_i que representa, también en %, la proporción de los salarios ganados por el conjunto de los individuos cuyo sueldo es inferior o igual a x_i, con relación al total de los salarios (acumulada). La curva de p en función de q, se llama curva de concentración y está inscrita en un cuadrado de lado unidad, puesto que p y q son porcentajes y varían entre 0 y 1.

Se define el índice de concentración o de Gini, como el doble del área comprendida entre la curva de concentración y la primera bisectriz. Este índice no depende de un cambio de escala aunque sí está influenciado por un cambio de origen.

Se define la mediala como el valor de la variable estadística (sueldos) tal que los obreros que individualmente ganan menos que la mediala ganan globalmente tanto como los obreros cuyo salario sobrepasa al salario medial. Es decir el valor de x tal que: q(x)=1/2.

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EJERCICIOS.

1.      Se ha revisado un lote de 1.060 piezas esmaltadas, obteniéndose el nú­mero de defectos que se indica en la siguiente tabla:

Determinar la media y la desviación típica de la distribución.

2.    Las sumas de calificaciones de matemáticas de 11 alumnos han sido:

21, 36, 19, 23, 32, 25, 28, 20, 34, 33, 31.

Se pide:

a) determinar la mediana;

b) ¿qué porcentaje de alumnos tiene nota inferior a 32?

3.      Si usted conduce un coche una distancia de 10 km a la velocidad de 60 km/h, y después otros 10 a 80 km/h, ¿cuál es la velocidad media?

4.      Si usted conduce su coche 10 minutos a 60 km/h y otros 10 minutos a 80 km/h, ¿cuál es la velocidad media?

5.   Comentar el siguiente párrafo traducido libremente de una obra de la literatura inglesa Afortunadamente para todos y gracias a los estadísticos, hay  personas cuya inteligencia es superior al promedio como inferior. Es, pues, falso afirmar, como algún pesimista, que más del 80 % de los individuos tienen inteligencia inferior al promedio.

¿A qué promedio se refiere para que sea correcto?

6.   Comentar la conocida anécdota según la cual la Estadística enseña que si Pedro se come un pollo y Juan no come nada, esto equivale a que ambos coman medio pollo’, ¿Cuál es la desviación típica en cada caso?

7.      Un fabricante de neumáticos comprueba para 28 cubiertas el número de kilómetros recorridos antes de estar gastadas y encuentra la siguiente distribución               

¿Qué promedio debe utilizar para describir la duración de tales cubiertas?

 8.   Si nos dicen que Pedro ocupa el lugar 7 en su clase no sabemos mucho su posición relativa en la clase ya que ésta dependerá del número de alumnos. Si son 350, ¿cuál es su percentil?

 9.  Un viajante ha hecho 7 viajes en el mes pasado y los gastos se indican a continuación:        

 El Jefe del viajante dice que los gastos del viajante han sido excesivos porque el gasto medio por día ha sido 3.500/7 =500 ptas. y el viajante dice que el gasto medio ha sido 5.250/25= 210 ptas. ¿Quién tiene razón? ¿Qué ocurre si utilizan las medianas?

10.  Supongamos que la talla media de una muestra de 300 hombre es 1,70 con desviación típica 0,8 y que otra muestra de 300 mujeres da como media 1,68 y desviación típica 0,07. Calcular la media y desviación típica de la muestra formada por el conjunto de las dos.

 11. Cinco lotes de 2.000 piezas de determinada lámpara fabricada por tina empresa eléctrica contienen el siguiente número de piezas defectuosas 4, 9, 3, 2, 1. Hallar la media, varianza y desviación típica.

 12. El número de accidentes de aviación en 1960 fue superior  al de 1950. ¿Basta esto para afirmar que era más peligroso Volar en 1960 que en 1950?

 13. Tomando una catapirina se cura un catarro en 5 días. ¿ Basta esto para afirmar que dicha medicina cura el catarro?

14. Se da la tabla de una muestra de viviendas según la duración de las obras de la construcción.         

Calcular la media, mediana, desviación típica y los cuartiles de esta distribución. Construir histograma y la curva de distribución.

15. La tabla siguiente da la repartición de autocares de una compañía según el número de kilómetros recorridos entre dos revisio­nes  consecutivas.

a) Representar gráficamente estas distribuciones para compararlas cómodamente.

b) Calcular y comparar la mediana, los cuartiles, la media y la desvia­ción típica.

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