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Esquema
1. Mediana
2. Moda
3. Media
4. Generalización de la Media: j-Media.
5. Cuantiles
6. Momentos
Se define la mediana como el valor de la variable estadística que divide en dos partes iguales a los individuos de la población supuestos ordenados por valor creciente del carácter.
Así, si se considera la estatura de 5 personas: 170, 183, 167, 162, 178. Para calcular la estatura mediana ordenamos los datos por valor creciente del carácter: 162, 168, 170, 178, 183 y el valor situado en el centro correspondería a la mediana.
En general, la mediana M será el valor de la variable para el cual F(M) = ½ en la curva de distribución.
a) Si la población es impar la mediana corresponde a un valor de la variable estadística. Es el valor de xi tal que: n1+ n2+ …+ni-1 < n/2 < n1+ n2+ …+ni o bien, F(xi-0)<1/2<F(xi+0).
b) Si la población es par, no existe ningún valor exactamente en el centro de la distribución. Se conviene en designar al intervalo (xi, xi+1) como el intervalo mediano, siendo xi, el valor tal que F(xi)=1/2 y se considera la mediana como M=(xi+x i+1)/2.
La ecuación F(M)=1/2 tiene una única solución. En general se sitúa entre dos extremos de clase. Se determina el intervalo mediano, calculándose la mediana por interpolación lineal.
Las desviaciones absolutas medias respecto de un valor a, son mínimas cuando a es la mediana. Es decir:
es mínimo para a=M.
Es el valor más frecuente de la variable estadística. Corresponde al máximo en el diagrama de barras o en el histograma, según proceda. Si la v.e es discreta, la moda está bien definida. Si la variable estadística es continua, solo se puede definir la clase modal que corresponde al máximo de la frecuencia media por unidad de amplitud. Algunos autores asignan la Moda a la
marca de clase. También hay quien le asigna el valor:
donde D1 y D2 son las diferencias entre las frecuencias absolutas de la clase modal y de las clases anterior y posterior, respectivamente. Y L1 es el extremo inferior del intervalo modal y c la amplitud del intervalo.
La media de una variable estadística es la suma ponderada de los valores posibles por las frecuencias:
.
Esta definición no es directamente aplicable cuando la variable estadística es continua. En este caso convenimos en asignar todos los valores de un intervalo a su marca de clase, con lo cual la variable estadística continua se trataría como si fuese discreta.
1. La media de las diferencias a la media es nula.
2.
La media de los cuadrados de las desviaciones a un valor a,
es mínima para a=
.
.
Se llama
j-media de una variable estadística discreta
X con valores xi y con
frecuencias fi la cantidad Mj tal
que:
Ejemplos
1.
Cuando j
(x)=Ln (x), tenemos la media geométrica.
2. Cuando j (x)=xr, tenemos la media de orden r.
· Si r=2 tenemos la media cuadrática.
· Si r=-1 tenemos la media armónica.
Las medias de orden r son crecientes
con r. La media geométrica se puede considerar como la media de orden 0. Por
tanto, se tiene:
, siendo H la media armónica, G la geométrica y Q la media cuadrática.
El cuantil de orden
, siendo 0£
a
£1
denotado por xa
es la raíz de la ecuación F(x)=
a
Es decir, introduciendo la función F-1, inversa de la función F:
xa = F-1(a ).
Una proporción igual a a de los individuos posee un carácter X inferior a xa .
Se utilizan los cuartiles Q1 y Q3: Q1 es el cuantil de orden ¼. Q3 es el cuantil de orden ¾.
Análogamente se utilizan los deciles, los centiles o percentiles, los mililes, …
Los cuantiles se utilizan también como índices de dispersión: los intervalos intercuantílicos. Así, el intervalo intercuatílico Q3-Q1 contiene el 50% de la población, dejando el 25% de la población a la izquierda y el 25% a la derecha.
Se llama momento de orden r respecto del valor a la cantidad:
q Momentos no centrales, cuando a=0.
q
Momentos centrales, cuando a
=
.
.