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Pruebas de bondad de ajuste y análisis de tablas de contingencia

Esquema

1. Introducción

2. Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado

3. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov

4. Prueba de chi-cuadrado para el análisis de tablas de contingencia con dos criterios de clasificación

1.    Introducción

En este capítulo se examinarán pruebas de hipótesis en las que la característica que se desconoce es alguna propiedad de la forma funcional de la distribución que se muestrea. Además se discutirán pruebas de independencia de dos variables aleatorias en las cuales la evidencia muestral se obtiene mediante la clasificación de cada variable aleatoria en un cierto número de categorías. Este tipo de prueba recibe el nombre de bondad de ajuste. Para un tamaño específico del error de tipo I, la hipótesis nula será rechazada si existe una diferencia suficiente entre las frecuencias observadas y las esperadas.

La hipótesis alternativa es compuesta y a veces no suele estar identificada. El resultado es que la función potencia es difícil de obtener. En consecuencia, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por sí misma para aceptar la afirmación de la hipótesis nula.

2.    Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado

Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos se ajusta a una distribución dada

Considérese una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución de una variable aleatoria X dividida en k clases exhaustivas e incompatibles, y sea N_i  i = 1, 2, …, k. el número de observaciones en la i-ésima clase. Considérese la hipótesis nula

H₀: F(x)=F₀(x)

en donde el modelo de probabilidad propuesto F₀(x) se encuentra especificado de manera completa, con respecto a todos los parámetros.

Es posible, pues, calcular p_i: probabilidad de obtener una observación en la i-ésima clase, bajo H₀. Es obvio, también, que

Sea n_i la realización de N_i para i = 1,2,…, k de manera que

La probabilidad de obtener de manera exacta n_i observaciones en la i-ésima clase es

Dado que existen k categorías mutuamente excluyentes con probabilidades p₁, p₂, …, p_k; entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

 Para deducir una prueba estadística para H₀, considérese el caso de k = 2. Este es el caso de la distribución binomial con x = n₁, p = p₁, n-x =n₂ y 1-p =p₂. Sea la variable aleatoria estandarizada:

para n grande, esta variable aleatoria se distribuye según una N(0;1). Además sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chi-cuadrado con un grado de libertad. Entonces el estadístico

Si se sigue este razonamiento, puede demostrarse que para k≥2 categorías distintas

Nótese que N_i es la frecuencia observada en la i-ésima clase y np_i la esperada bajo la hipótesis nula.

Esta estadística recibe el nombre de prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada de Pearson.

Si existe una concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor, también muy grande. Por ello se desprende que para un valor dado del error de tipo I, la región crítica estará en el extremo superior la distribución chi-cuadrada con k-1 grado de libertad.

Una ventaja de la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada es que para valores grandes de n, la distribución límite chi-cuadrada de la estadística, es independiente de la forma que tenga la distribución F₀(x) propuesta en la hipótesis H₀. Como consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utiliza también para distribuciones de probabilidad en las que F₀(x) es continua. Sin embargo, debe insistirse en que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias que se observan y se esperan para un número finito de categorías.

De acuerdo con lo anterior, si F₀(x) es continua, la prueba no compara las frecuencias que se observan aisladas con la función de densidad propuesta tal y como implica la hipótesis nula; sino, más bien, la comparación se lleva a cabo aproximando la distribución continua bajo H₀ con un número finito de intervalos de clase.

No obstante, esta prueba es un procedimiento razonablemente adecuado para probar suposiciones de normalidad siempre y cuando el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.

¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra? Se ha encontrado que con n igual a 5 veces el número de clases, los resultados son aceptables. Una regla conservadora es que ninguna clase tenga una frecuencia inferior a 5; si esto sucediera, se agruparían clases vecinas.

A menos que se especifique una hipótesis alternativa que consista en un modelo alternativo particular F₁(x), la potencia de la prueba (probabilidad de que un valor se encuentre en la región crítica cuando H₀ es falsa) es muy difícil de determinar. Por otra parte, puede demostrarse que la potencia tiende a 1 cuando n tiende  a infinito. Esto implica que cuando n es muy grande es casi seguro que se rechaza H₀, pues es muy difícil especificar una F₀(x) lo suficientemente cercana a la distribución. Por tanto esta prueba es cuestionable para muestras muy grandes.

Recuérdese que el modelo de probabilidad propuesto F₀(x) se especificó completamente. Por regla general, solo se conoce la normalidad de F₀(x), necesitándose estimar la media y la varianza, en consecuencia las frecuencias esperadas np_i; i =1,2,…,k no pueden determinarse.

Sea T el estadístico del parámetro desconocido θ de F₀(x). Tanto N_i (frecuencias observadas) como np_i(T) frecuencias esperadas son variables aleatorias, donde p_i(T) indica que la probabilidad bajo la hipótesis nula es función del estadístico T de θ.

Puede demostrarse que si T es el estimador de máxima verosimilitud de θ, entonces:

en donde r es el número de parámetros que se está intentando estimar.

Ejemplo 1

El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de empleados que asisten al consultorio médico de la planta se encuentran distribuido en forma equitativa durante los 5 días de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de 4 semanas completas de trabajo, se observó el siguiente número de consultas:

Con a=0,05, ¿existe alguna razón para creer que el número de empleados que asisten al consultorio médico, no se encuentra distribuido de forma equitativa durante los días de la semana?

Solución

Una distribución uniforme lleva consigo que la probabilidad sería la misma para cada día de la semana. Por tanto p_i=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5.

La hipótesis nula H₀:  p_i=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5. Dado que n=200, la frecuencia esperada para cada día de la semana es 200*0,2=40. Luego, el valor del estadístico es:

El estadístico sigue una chi-cuadrada con k-1 grado de libertad, con k=5. Luego

Por otro lado PRUEBA.CHI.INV(0,05;4)= 9,48772846. Como 4,9<9,48772846, no puede rechazarse la hipótesis nula.

Ejemplo 2

En la tabla siguiente se dan las calificaciones obtenidas en la prueba de matemáticas SAT por los estudiantes de tercer año preparatorio

los datos están ajustados a una normal de media 491 y desviación típica 120. Con base en la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado, ¿existe alguna razón para creer que el número de respuestas correctas no se encuentra distribuidas según una N(491; 120) a un nivel a=0,05?

Solución

Nótese que la sumas de las probabilidades no es la unidad y por tanto la clasificación en clases no es exhaustiva; sin embargo, mediante un reajuste esto puede lograrse, haciendo que la primera clase no tenga límite inferior ni la última superior. La P(X ≤250)= 0,02230387 y la P(X≥750)= 0,01545091. Sustituyendo estos valores y calculando

Se obtiene que el valor de χ² con 12 clases es igual a 12.667,64. Por otro lado el valor crítico

Por tanto la hipótesis nula debe rechazarse. Este ejemplo ilustra el comentario formulado anteriormente con respecto a muestras muy grandes, en las cuales con casi toda seguridad la hipótesis nula será rechazada.

Ejemplo 3

Sea la tabla siguiente en la que se indican el número de anotaciones de 6 puntos en un partido de rugby americano en la temporada de 1979

Con base en los resultados ajustamos una distribución de Poisson de parámetro la media muestral λ=2,435. ¿Existe alguna razón para creer que a un nivel de 0,05; el número de anotaciones es una variable de Poisson?

Solución

Dado que el valor del parámetro λ no se conoce el estimado de máxima verosimilitud es la media muestral

Los datos ajustados se muestran en la tabla siguiente:

El valor de χ²=6,491. Para k=8 categorías con un parámetro estimado, el número de grados de libertad es 6. El valor crítico de  χ² _{0,95; 6} = PRUEBA.CHI.INV(0,05;6)= 12,5915774. Como el valor obtenido 6,491< 12,591 no se puede rechazar la hipótesis nula.

3.    El estadístico de Kolmogorov-Smirnov

La prueba de bondad de ajuste de Pearson se encuentra limitada cuando F₀(x) es continua y la muestra aleatoria disponible es de tamaño pequeño. Una prueba de bondad cuando F₀(x) es continua es la de Kolmogorov-Smirnov. No necesita que los datos esten agrupados en intervalos y es aplicable cuando la muestra es pequeña. Ésta se basa en  una comparación entre las funciones de distribución acumulativas que se observan en la muestra ordenada y en la distribución propuesta bajo la hipótesis nula.

Consideremos la hipótesis nula H₀: F(x)=F₀(x), en donde F₀(x) se especifica de forma completa. Denótese por x₍₁₎, x₍₂₎, …, x_(n) a las observaciones ordenadas de una muestra aleatoria de tamaño n; y defínase la función de distribución acumulativa muestral como

Si la hipótesis nula es correcta las diferencias entre S_n(x) y F₀(x) serán pequeñas. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov se define como

El estadístico D_n tiene una distribución que es independiente del modelo propuesto bajo la hipótesis nula, y depende tan solo del tamaño de la muestra. En la tabla adjunta en la hoja de cálculo, se proporcionan valores cuantiles superiores de D_n para varios tamaños de la muestra.

Para un error de tipo I de tamaño a, la región crítica es de la forma

Ejemplo 4

A continuación se dan los valores ordenados de una muestra aleatoria con las respuestas correctas de los estudiantes que ingresaron en la universidad en la prueba del SAT: 852, 875, 910, 933, 957, 963, 981, 998, 1010, 1015, 1018, 1023, 1035, 1048, 1063. En años anteriores el número de respuestas correctas estaba representado por una N(985; 50). Con base en la muestra, ¿existe alguna razón para creer que ha ocurrido un cambio en la distribución de respuestas correctas en las pruebas del SAT? Empléese un nivel a=0,05.

Solución

La máxima desviación es 0,1207. El valor crítico para a=0,05 para D₁₆ es 0,328 como puede obtenerse en la hoja adjunta de Excel, como 0,1207<0,328 no puede rechazarse la hipótesis nula.

4.    Prueba de chi-cuadrado para el análisis de tablas de contingencia con dos criterios de clasificación

Muchas veces surge la necesidad de determinar si existe alguna relación entre dos rasgos diferentes en los que una población ha sido clasificada y en donde cada rasgo ha sido subdividido en cierto número de categorías. Cuando una muestra se clasifica de esta manera recibe el nombre de tabla de contingencia de 2 criterios de clasificación. Es posible analizar tablas que contengan más de dos clasificaciones.

El análisis de una tabla de  este tipo supone que las dos clasificaciones son independientes. Esto es, bajo la hipótesis nula de independencia se desea saber si existe una diferencia entre las frecuencias que se observan y las correspondientes frecuencias que se esperan. La prueba chi-cuadrada da los medios apropiados.

Sea n una muestra que se clasifica según A y B, cada uno de los cuales tiene r y c categorías. Además, sea N_ij el número de observaciones de las categorías i, j de A y B. Se pueden tabular los datos en una matriz de r _x c. El total del i-ésimo renglón es la frecuencia de la i-ésima categoría de A, de manera similar para las columnas. Sea

Sea p_ij la probabilidad de que un objeto seleccionado al azar se encuentre en la categoría (i, j), sea p_i. la marginal de i de A y p_.j la marginal de j de B. Si las características son independientes, la probabilidad conjunta es igual al producto de las marginales

bajo la hipótesis nula, el estadístico

cuando n es grande.

Sin embargo, la mayoría de las veces no se conocen las probabilidades marginales, y de esta forma se estiman con base en una muestra.

Afortunadamente, la prueba de bondad de ajuste de la chi-cuadrado permanece como la estadística apropiada siempre que se empleen los estimados de máxima verosimilitud y se reste un grado de libertad del total para cada parámetro que se esté estimando. Dado que

existen r-1 parámetros de filas y c-1 de columnas a ser estimados.

De esta forma el número de grados de libertad será

rc-1-(r-1)-(c-1)=rc-r-c+1=r(c-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)

Puede demostrarse que los estimadores de máxima verosimilitud son

al sustituir se obtiene

Ejercicio 5

Una compañía evalúa una propuesta para fusionarse con una corporación. El consejo de directores desea muestrear la opinión de los accionistas para determinar si esta es independiente del número de acciones que posee cada uno. Una muestra aleatoria de 250 accionistas da los siguientes resultados:

Con base en esta información, ¿existe alguna razón para dudar de que la opinión con respecto a la propuesta es independiente del número de acciones que posee el accionista? Úsese a =0,1.

Solución

Formulamos la hipótesis nula de independencia de los dos caracteres; es decir:

H₀: p_ij = p_i.p_.j  i=1,2,3;  j=1,2,3.

Como las probabilidades marginales no se conocen, hay que estimarlas de la muestra, en consecuencia, el estadístico

El valor obtenido de la muestra para χ²=10,7957323. El valor crítico que se obtiene en la distribución chi-cuadrado es χ_0,9;4= PRUEBA.CHI.INV(0,1;4)= 7,77943396. Como 10,795 > 7,779 el estadístico de prueba se encuentra dentro de la región crítica y por tanto la hipótesis nula debe rechazarse.