Dado un espacio probabilístico (E, A, p) se llama variable aleatoria X(a) a una función que toma valores reales y está definida para los sucesos elementales a del espacio probabilístico. Además se supone para cada número real x el conjunto {a / X(a) £ x }de sucesos elementales a en que X toma valores menores o iguales que x es un suceso de la familia A. El caso de variable aleatoria discreta supone además que hay un numero finito o numerable de valores xi tales que P[X=xi] = pi ³ 0,
Una variable aleatoria puede ser discreta o continua según sea el rango de esta función.
Este conjunto de valores P[X=xi]=pi es lo que se llama la ley o distribución de la probabilidad de la variable X. En otras palabras se llama función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable aleatoria su probabilidad pi.
Dada una variable aleatoria discreta X, a la función acumulativa:
se le llama función de distribución de X.
En general una distribución acumulativa F(x) de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente de los valores de X, de tal manera que
1. 0 £ F(x) £ 1 para cualquier x.
2. F(x i) ³ F(x j) si xi ³ xj
3.
P( X > x) = 1 – F(x)
Además,
puede establecerse que para variables aleatorias de valor entero se tiene que:
4.
P(X = x) = F(x) – F (x-1)
5. P (xi£
X £ xj)=
F(xj) - F(
xi -1)
Ejemplo. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas y anotar sus resultados. El espacio muestral estaría formado por E={(C,C) (C,X) (X,C) (X,X)}.
Sea X la v.a. que nos da el número de caras obtenido. Los valores que puede tomar X son 0, 1,2 y la función de distribución de probabilidad viene dada por :
X |
pi=P[X=xi] |
0 |
¼=0,25 |
1 |
½=0,5 |
2 |
¼=0,25 |
Si una variable aleatoria discreta X toma los valores xi con probabilidad pi, su media, también llamada esperanza matemática, es:
Su varianza es:
y la desviación típica:
Se dice que una variable aleatoria es continua cuando toma valores en cualquier punto de un intervalo (a, b) de la recta real. En este caso no tiene sentido preguntarse por la probabilidad de que la variable tome un valor determinado (en teoría puede toma r un conjunto infinito de valores). Cuando trabajamos con variables continuas, siempre preguntaremos por la probabilidad de que los valores de la variable se encuentren dentro de un determinado intervalo.
Una v.a continua está caracterizada
por una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad. Como la
probabilidad de que P( X=x) =0, la función f(x) no representa la probabilidad
de que X = x. Más bien proporciona un medio para calcular la probabilidad de un
intervalo. P (a £
X £ b).
Veamos un ejemplo.
Supóngase que se miden los tiempos, entre dos llegadas consecutivas, de 110 clientes a una tienda y se agrupan en 10 intervalos de un minuto cada uno
0<x £1 |
22 |
0,200 |
|
|
1<x £ 2 |
18 |
0,164 |
|
|
2<x £ 3 |
17 |
0,155 |
|
|
3<x £ 4 |
13 |
0,118 |
|
|
4<x £ 5 |
14 |
0,127 |
|
|
5<x £ 6 |
8 |
0,073 |
|
|
6<x £ 7 |
6 |
0,055 |
|
|
7<x £ 8 |
7 |
0,064 |
|
|
8<x £ 9 |
3 |
0,027 |
|
|
9<x £ 10 |
2 |
0,018 |
|
Puesto que cada rectángulo tiene una base 1, las áreas de cada uno de ellos coincide con la frecuencia relativa y la suma de todas es, por tanto, igual a la unidad.
Si en lugar de establecer 10 intervalos, establecemos 20 intervalos de amplitud medio minuto; y, en lugar de 110 clientes, observamos 1000 clientes, el histograma que se obtiene es menos irregular. Si continuamos aumentado el número de observaciones y disminuyendo la amplitud de los intervalos, llegaremos a una curva límite que define la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria.
Formalmente la definición es la siguiente:
La función de densidad de una variable aleatoria X se define como y=f(x) que verifica:
1. f(x)
³
0.
Al igual que en el caso de variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X es:
Se define la media de una distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua X como:
.
La varianza de X se define como:
.
Para los momentos centrales alrededor de la media
Var(aX+b)=E[(aX+b)2]-E2[(aX+b)]=E[(a2X2+2abX+b2)] – a2E2[X]-2abE[X]-b2=
a2E(X2)+2abE[X]+b2- a2E2[X]-2abE[X]-b2=a2E2[X2]-a2E2[X]=a2(E2[X2]-E2[X])
=a2Var(X)
Cualquier momento central puede expresarse a través de los momentos alrededor de cero.
desarrollando
Llevando la expresión
]
19. Sea el experimento que consiste
en el lanzamiento de tres monedas y anotar el número de caras obtenidas. Se
pide:
a) La función de probabilidad y su
representación.
b) La función de distribución y
su representación.
c) La media y la desviación típica.
d) Si X es la variable aleatoria
que expresa el número de caras, hallar p [ 1 £
x < 3].
La variable aleatoria X puede tomar los valore 0, 1, 2, 3. La probabilidad con que toma estos valores es la función de probabilidad de X a)
|
|
b) La función de distribución de la variable aleatoria discreta X se define como:
por tanto
|
|
c) Media y desviación típica.
X |
p(X) |
|
xi*pi |
x2i*pi |
0 |
0,125 |
|
0 |
0 |
1 |
0,375 |
|
0,375 |
0,375 |
2 |
0,375 |
|
0,75 |
1,5 |
3 |
0,125 |
|
0,375 |
1,125 |
|
Suma |
|
1,5 |
3 |
|
|
|
|
|
Varianza = 3 - 1,52 = 0,75 y Desviación típica =
0,8660
d) p [ 1 £
x < 3]=p[X=1] + p[X=2]=0,375+0,375=0,75
21. Una variable aleatoria discreta
tiene la siguiente función de probabilidad:
X |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
0,08 |
0,21 |
0,1 |
|
0,23 |
0,04 |
a)
Calcular el dato que falta de la función de probabilidad.
b)
Hallar la función de distribución de dicha variable.
c)
Hallar la media y la desviación típica.
d)
Calcular p[X>1] y p[-1,5<X<2].
a) Si p es una función de probabilidad la suma de todas ha de ser 1. Por tanto, el dato que falta es 1-0,66=0,34.
b)
La función de distribución de la variable
aleatoria discreta X se define como:
por
tanto
X
|
F(x) |
-2 |
0,08 |
-1 |
0,29 |
0 |
0,39 |
1 |
0,73 |
2 |
0,96 |
3 |
1 |
c) La Media y la varianza son:
X |
p |
xi*pi |
x2i*pi |
-2 |
0,08 |
-0,16 |
0,32 |
-1 |
0,21 |
-0,21 |
0,21 |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
1 |
0,34 |
0,34 |
0,34 |
2 |
0,23 |
0,46 |
0,92 |
3 |
0,04 |
0,12 |
0,36 |
Sumas |
1 |
0,55 |
2,15 |
|
|
|
|
Esperanza
de X = |
0,55 |
|
|
Varianza
de X = |
1,8475 |
|
La desviación típica es 1,36.
d)
p[X>1] y p[-1,5<X<2]
. P[X>1]=p[X = 2] + p[X =
3]=0,23+0,04=0,27. y
p[-1,5<X<2]=p[X<2]-p[X<-1,5]=0,73-0,08 =0,65
22. Sea X una variable aleatoria continua con función densidad:
Calcular el valor de c.
Calcular p[1/2 < X < 3/2] y
p[X > l].
Calcular la función de distribución.
a) Si f(x) es una función de densidad se verifica: .
b)
p[1/2 < X
< 3/2]=F(3/2)-F(1/2)=1/2; p[X > l]=1-p[X<=1]=1-F(1)=3/4.
23. Sea f(x) la función densidad
de una cierta variable aleatoria X, definida por:
Halla la función de distribución
de X.
Calcula la media de la distribución.
a) La función de distribución F(x) es igual a:
b) Calcula la media de la distribución
24. La distribución de los ingresos de las familias de cierta población, en millones de pesetas, es una variable aleatoria continua X con función de densidad:
Si sólo realizan la declaración de la renta las familias con ingresos superiores a tres millones de pesetas, ¿qué porcentaje de familias quedarán exentas de realizar la declaración?
Nos piden
que calculemos en % la probabilidad p[X<=3]. Esta probabilidad es igual:
Es decir,
un 6,075% de las familias quedarán exentas de hacer la declaración de la
renta.
25. La ley de probabilidad de una
variable aleatoria discreta es:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0,1 |
a |
b |
c |
0,2 |
Sabiendo que p[X £ 2] = 0,7 y que p[X ³ 2]= 0,75, hallar la
esperanza matemática y su desviación típica.
De p[X £ 2] = 0,7; se deduce que a+b=0,6; de p[X ³ 2]= 0,75; se obtiene que b+c=0,55. Por otro lado, la suma de todos vale 1, luego a+b+c=0,7; se obtiene que c=0,1; b=0,45; a=0,15.
X |
p(x) |
xi*pi |
xi2*pi |
0 |
0,1 |
0 |
0 |
1 |
0,15 |
0,15 |
0,15 |
2 |
0,45 |
0,9 |
1,8 |
3 |
0,1 |
0,3 |
0,9 |
4 |
0,2 |
0,8 |
3,2 |
Suma |
1 |
2,15 |
6,05 |
|
|
|
|
Media
= |
2,15 |
|
|
Varianza
= |
1,4275 |
|
|
Desv.
Tip. = |
1,1948 |
|
|
26. La demanda diaria de azúcares
es una variable continua con función densidad:
a) Comprobar que a = 1/2.
b) Porcentaje de días en los que
la demanda supera las dos toneladas.
a) Puesto que se trata de una función de densidad
por tanto:
b)
Un 25% de los días.
27. En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2. Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Si en la rifa hay un solo
premio, ¿qué probabilidad tenemos de conseguirlo?
b) Si en la rifa hay dos premios:
• ¿Qué
probabilidad tenemos de conseguir los dos premios
• ¿Qué
probabilidad tenemos de conseguir al menos un premio?
a) p=2/100=0,02.
b) La primera parte equivale a elegir dos números de entre dos para los casos favorables y de entre 100 para los casos posibles. Luego:
.
c) Al menos uno es el contrario a no conseguir ninguno. Por tanto, la probabilidad es igual a:
28. En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas. Calcular:
a) La probabilidad de que al
extraer dos bolas, con reemplazamiento, la primera sea negra y la segunda sea
blanca.
b) La probabilidad de que al
extraer dos bolas, sin reemplazamiento, la primera sea negra y la segunda sea
blanca.
Sea N1 el suceso “sacar bola negra en la 1ª extracción” y B1 “sacar bola blanca en la 1ª extracción”. Sea N2 el suceso “sacar bola negra en la 2ª extracción” y B2 “sacar bola blanca en la 2ª extracción”.
a) Con reemplazamiento. En este caso los sucesos N1 y B2 son independientes y por tanto p(N1ÇB2)=p(N1).p(B2)=8/13.5/13=40/169=0,2367.
b) Sin reemplazamiento. p(N1ÇB2)=p(B2/N1).p(N1)=5/12.8/13=40/156=0,2564.
29. Se sabe que para un alumno
cualquiera de un Instituto la probabilidad de que éste practique algún deporte
es 0,5 acuda al cine con asiduidad con una probabilidad 0,6 y practique deporte
o vaya al cine con una probabilidad 0,9. Elegido al azar un alumno de este
Instituto, calcular
a) La probabilidad de que vaya al
cine y practique algún deporte.
b) La probabilidad de que no
practique deporte ni vaya al cine.
Sea A el suceso de que un alumno del
instituto practique un deporte y B de que acuda con asiduidad al cine. P(A)=0,5;
p(B)=0,6; p(AÈB)=0,9;
de donde
a)
p(AÇB)=0,5
+ 0,6 –0,9=0,2.
b)
P(A*ÇB*)=1-
p(AÈB)=1-0,9=0,1.
30. Tenemos dos urnas como sigue:
A: 4 bolas rojas y 6 blancas.
B: 7 bolas rojas y 3 blancas.
Se selecciona al azar una urna, se
extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola
de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que bolas sean del mismo color.
Sean U1 y U2 los sucesos elegir la 1ª ó 2ª urna, respectivamente; y sean R1 y B1 los sucesos sacar bola roja ó bola blanca en la 1ª extracción. Por último, sean R2 y B2 los sucesos sacar bola roja ó blanca en la 2ª extracción. La probabilidad que nos piden es p(R1ÇR2) + p(B1ÇB2) = [p(R1ÇR2/U1) .p(U1) + p(R1ÇR2/U2) .p(U2)] + [ p(B1ÇB2/U1) .p(U1) + p(B1ÇB2/U2) .p(U2)]=[4/10.8/11.1/2+7/10.5/11.1/2] + [6/10.4/11.1/2 + 3/10.7/11.1/2]= 32/220 + 35/220 + 24/220 + 21/220 = 112/220=0,5090.
Se puede hacer también a través del diagrama de árbol.
1. La variable aleatoria X representa
el tiempo entre dos llegadas consecutivas a una tienda y su función de densidad
de probabilidad está dada por:
para una constante k apropiada.
Calcular:
P(2<X<6)=F(6) – F(2)=0.3181
P( X ³
8)=1 – P (X<8) =
1 – F(8)=0.0183
2.
Dos vendedores de seguros de vida, A y B, visitan de 8 a 12 clientes potenciales
por semana, respectivamente. Sean X e Y sendas v.a que representan el número de
seguros vendidos por A y B como resultado de sus visitas. Con base en una gran
cantidad de información pasada, las probabilidades de los valores X e Y son las
siguientes:
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
p(x) |
0,02 |
0,09 |
0,21 |
0,28 |
0,23 |
0,12 |
0,04 |
0,01 |
0 |
Comparar y contrastar las distribuciones de probabilidad de X e Y empleando sus medias varianzas y factores de forma.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
p(x) |
xip(xi) |
xi2pi |
xi3pi |
xi4pi |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
0,02 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
0,09 |
0,09 |
0,09 |
0,09 |
0,09 |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
0,21 |
0,42 |
0,84 |
1,68 |
3,36 |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
0,28 |
0,84 |
2,52 |
7,56 |
22,68 |
|
|
|
||||||||||
|
4 |
0,23 |
0,92 |
3,68 |
14,72 |
58,88 |
|
|
|
||||||||||
|
5 |
0,12 |
0,60 |
3,00 |
15,00 |
75 |
|
|
|
||||||||||
|
6 |
0,04 |
0,24 |
1,44 |
8,64 |
51,84 |
|
|
|
||||||||||
|
7 |
0,01 |
0,07 |
0,49 |
3,43 |
24,01 |
|
|
|
||||||||||
|
8 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
Sumas |
1,00 |
3,18 |
12,06 |
51,12 |
235,86 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Media |
3,1800 |
|
m´2= |
12,06 |
|
m2= |
1,9476 |
|
||||||||||
|
Varianza |
1,9476 |
|
m
3´= |
51,12 |
|
m3= |
0,3825 |
|
||||||||||
|
D.e |
1,39556 |
|
m´4= |
235,86 |
|
m4= |
10,5650 |
|
||||||||||
|
Coef. Asim |
0,1407 |
|
Coef.
Aplast |
=2,7853 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
yi |
P(yi) |
yipi |
y2pi |
y3pi |
y4pi |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0,06 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
0,21 |
0,21 |
0,21 |
0,21 |
0,21 |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
0,28 |
0,56 |
1,12 |
2,24 |
4,48 |
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
0,24 |
0,72 |
2,16 |
6,48 |
19,44 |
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
0,13 |
0,52 |
2,08 |
8,32 |
33,28 |
|
|
|
|||||||||
|
|
5 |
0,05 |
0,25 |
1,25 |
6,25 |
31,25 |
|
|
|
|||||||||
|
|
6 |
0,02 |
0,12 |
0,72 |
4,32 |
25,92 |
|
|
|
|||||||||
|
|
7 |
0,01 |
0,07 |
0,49 |
3,43 |
24,01 |
|
|
|
|||||||||
|
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2,45 |
8,03 |
31,25 |
138,59 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Media |
2,4500 |
|
m´2= |
8,03 |
|
m2= |
2,0275 |
|
|||||||||
|
|
Varianza |
2,0275 |
|
m´3 |
31,25 |
|
m3 |
1,6418 |
|
|||||||||
|
|
D.e |
1,4239 |
|
m´4= |
138,59 |
|
m4= |
13,4504 |
|
|||||||||
|
|
Coef. Asim |
0,5687 |
|
Coef.Aplas= |
3,272 |
|
|
|
|
|||||||||
A primera vista parece existir poca diferencia entre las distribuciones de X e Y con respecto a la media y a la varianza, pero la distribución de Y tiene un sesgo positivo más grande que la de X. Además, la distribución de X es Platicúrtica (a4<3) mientras que la de Y es leptocúrtica (a4>3).
3.
Considérese las variables aleatorias X e Y, cuyas funciones de densidad de
probabilidad son
y
Determinar
la media, la varianza y los momentos estandarizados tercero y cuarto.
|
|
a3(X)=m3/d.e3(X) =0 a4(X)=m4/Var2(X)=10125/752=10125/5625=1,8 |
Var(Y)=2.108-100002=108;m3=2.1012; m4=9.1016 a3(Y)=m3/d.e3(Y)=2.1012/1012=2 a4(Y)=m4/Var2(Y)=9.1016/1016=9 |
Con estos datos se deduce que la distribución de X es simétrica respecto a la media, tiene de media 95 y varianza 75 y tiende a ser plana en su parte superior.
La distribución de Y está sesgada positivamente, tiene de media 10000 y desviación estándar 10000 y tiene un pico muy alto en su parte superior.
Para cualquier variable aleatoria X, se define a la mediana x0,5 de X, como:
En general para cualquier variable aleatoria X, el valor cuantil xq de orden q, 0<q<1, es el valor de X tal que:
4. Sea X una variable aleatoria que
representa el tiempo de duración, en horas, de un cierto componente eléctrico.
Si la función de densidad de probabilidad de X está dada por
determinar y comparar la media y la mediana.
En este caso la mediana resulta ser un valor más apropiado de tendencia central que la media.
5.
Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está
dada por:
Determinar la media, la varianza, la desviación estándar, la mediana, el recorrido intercuartil y el recorrido interdecil de X.
|
Esta
función de densidad exhibe un rápido decaimiento hacia el eje
horizontal. Esto puede utilizarse para representar la edad a la que
fallece una persona como resultado de las enfermedades padecidas en su niñez
|
El valor esperado de X es:
F(x)=1/2 ; x= 7.68753
Esto demuestra cuan inapropiada es la media como única medida de tendencia central.
Los Deciles y percentiles se determinan fácilmente:
F(x)=0.1; x0.1 = 0.177617 el cuartil primero F(x)=0.25; x0.25= 1.32415 y el tercero
F(x)=0.75;
x0.75= 30.7495
6. Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador en un intervalo de cinco minutos y cuya función de probabilidad está
a) Determinar las probabilidades de
que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
b) Graficar la función de
probabilidad para estos valores de X.
c) Determinar la función de distribución acumulativa para estos valores de X.
d) Graficar la función de
distribución acumulativa.
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
P(x) |
|
0,14936121 |
0,22404181 |
0,22404181 |
0,16803136 |
0,10081881 |
0,05040941 |
0,02160403 |
b)
|
La curva está representada como si fuese continua, en realidad no es así. La representación estaría formada por una sucesión de puntos (x, p(x)) aislados que no formarían ningún tipo de curva. Sin embargo, creo que de esta forma se aprecia mejor la forma de la gráfica. |
c)
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
F(x) |
0,0498 |
0,1991 |
0,4232 |
0,6472 |
0,8153 |
0,9161 |
0,9665 |
0,9881 |
d)
|
Aquí pasa lo mismo de antes, para dibujar la curva se ha hecho un trazado continuo, para apreciar mejor la forma; sin embargo, debe entenderse que la gráfica estaría formada por la sucesión de puntos aislados, exclusivamente. Puesto que se trata de una variable aleatoria discreta. |
7. Sea X una variable aleatoria
discreta. Determinar el valor de k para que la función p(x)=k/x, x=1, 2, 3, 4
sea la función de probabilidad de X.
Determinar
P[1 £X £3].
|
La suma tiene que valer 1 para que sea una función de probabilidad. Luego: k+(1/2)k+(1/3)k+(1/4)k=1; 25k=12. Por tanto k=12/25. P[1
£X £3]=p(1)+p(2)+p(3)=0.88 |
8.Sea X una variable aleatoria
continua.
a)
Determinar el valor de k, de manera tal que la función
sea la
función de densidad de probabilidad de X.
b)
Determinar la función de distribución acumulativa de X y graficar F(x).
c)
Calcular P(X ³ 1/2) y P(- 1/2 £ X £1/2).
|
b) Para calcular las probabilidades, empleamos la función de
distribución acumulativa P(X ³ 1/2)=1-F(1/2)=1-9/16=7/16= 0,4375 P(- 1/2 £ X £1/2)=F(1/2)-F(-1/2)=9/16-7/16=2/16=1/8=
0,125. |
9. Sea X una variable aleatoria
continua.
a)
Determinar el valor de k para que la función
sea la función de densidad de probabilidad de X.
b)
Graficar f(x).
c)
Calcular P(X £ 5) y P(0 £
X £ 8).
d)
Determinar F(x) y graficarla.
Gráfica
de f(x) |
Gráfica
de F(x) |
|
|
10. La duración en horas de un
componente electrónico, es una variable aleatoria cuya función de distribución
acumulativa es F(x) = 1 - exp(-x/100), x > 0.
a)
Determinar la función de probabilidad de X. b) Determinar la
probabilidad de que el componente trabaje más de 200 horas.
P(X ³ 200)=1-F(200)=1-(1-exp(-2))=
exp(-2)= 0.135335
11. La función de distribución
acumulativa de una variable aleatoria está dada por
a)
Graficar F(x).
b)
Obtener P(X < 1/2) y P(X > 3/4).
c)
Determinar f(x).
a) y c)
Gráfica
de F(x) |
Gráfica
de f(x) |
|
|
b)
P(X <
1/2)=F(1/2)=1-1/4=3/4
c)
P(X >
3/4)=1-F(3/4)=1-15/16=1/16
12. Sea X una variable aleatoria
que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de
una hora. Dada la siguiente información
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
|
8 |
p(x)
|
0.05 |
0.10 |
0.10 |
0.10 |
0.20 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.05 |
encontrar E(X) y Var(X).
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Suma |
p(x) |
0,05 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
1 |
xipi |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,8 |
1,25 |
0,6 |
0,35 |
0,4 |
4 |
xipi |
0 |
0,1 |
0,4 |
0,9 |
3,2 |
6,25 |
3,6 |
2,45 |
3,2 |
20,1 |
E[X]=4
Var(X)=E[X2]-E2[X]=20,1-16=4,1-
13. Una compañía de seguros debe determinar la cuota anual a cobrarse por un seguro de 50.000 € para hombres cuya edad se encuentra entre los 30 y 35 años. Con base en las tablas actuariales el número de fallecimientos al año, para este grupo, es de 5 por cada mil. Si X es la variable aleatoria que representa la ganancia de la compañía de seguros, determinar el monto de la cuota anual para que la compañía no pierda, a pesar de tener un número grande de tales seguros.
Calculamos el valor para una ganancia nula
E[X]=0=C*995/1000-50000*5/1000 => 995C=250000; C=250000/995=251,26 €
14. La función de densidad de
probabilidad de una variable aleatoria X está dada por:
Determinar:
a) E(X) b)
Var (X)
15. Sea X una variable aleatoria
que representa la magnitud de la desviación, a partir de un valor prescrito,
del peso neto de ciertos recipientes, los que se llenan mediante una máquina.
La función de densidad de probabilidad de X está dada por:
Determinar:
a) E(X)
c) a3(X)
b) Var(X)
d) a4(X)
Luego Var(X)=100/3-25=25/3
Luego E(X- m)3=250-3*(100/3)*5+2*125=0;
a3(X)=0
E[(X-m)4]=2000-4*250*5+6*(100/3)*25-3*625=125.
Luego a4(X)=125/(25/3)2=1,8