Triplicando seu dinheiro
UESC � 2002 � Quest�o discursiva para o curso de Ci�ncias Cont�beis
UESC � Universidade Estadual de Santa Cruz � Ilh�us - BA
Sabendo-se que log 3 @ 0,48 e log (1,03) @ 0,012, determine o tempo, em meses, que um capital aplicado � taxa de juros compostos de 3 % a. m. ser� triplicado.
Solu��o:
Sabemos que o valor futuro S de um capital inicial P aplicado por n per�odos a uma taxa i � dado por:
S = P ( 1 + i ) n .
O problema fala claramente em triplicar o capital inicial P, ou seja, ao final do per�odo, deveremos ter
S = 3.P .
Assim, fazendo S = 3P na f�rmula acima, vem:
3P = P ( 1 + i ) n
Simplificando, fica: 3 = (1 + i) n
Substituindo o valor da taxa i que conforme o enunciado � igual a 3 % ao m�s, ou seja 3/100 = 0,03 ao m�s, teremos:
3 = (1 + 0,03) n = 1,03 n ou seja:
1,03n = 3
Ora, sabemos da teoria dos logaritmos que se 1,03n = 3 ent�o n = log1,03 3, ou seja, n � o logaritmo de 3 na base 1,03.
Sabemos tamb�m que logbN = logN / logb onde log N e log b s�o os logaritmos decimais de N e b, ou seja, s�o os logaritmos de N e b na base 10. Assim, teremos, substituindo os valores dados no enunciado:
log 3 @ 0,48 e log (1,03) @ 0,012
n = log 1,03 3 = log 3 / log 1,03 = 0,48 / 0,012 = 0,480 / 0,012 = 480 / 12 = 40.
Portanto, o capital inicial ser� triplicado em 40 meses.
Observe que foram utilizados valores aproximados para os logaritmos decimais, seguindo orienta��o do enunciado da quest�o. Se utilizarmos valores mais aproximados para os logaritmos (com 5 casas decimais, por exemplo) :
log 3 = 0,47712 e log 1,03 = 0,01284 (utilize uma calculadora � a do Windows serve) e efetuando as contas , obteremos n = 0,47712 / 0,01284 @ 37 meses.
Notas:
1 � os logaritmos dos n�meros reais podem ser determinados atrav�s do uso das t�buas de logaritmos. As t�buas ou tabelas de logaritmos decimais constam dos comp�ndios de Matem�tica do segundo grau. Com o advento das calculadoras cient�ficas, pouco ou nenhum uso se faz hoje em dia dessas tabelas, que simplificaram sobremaneira os c�lculos num�ricos numa �poca em que n�o existiam calculadoras de bolso nem computadores, no sentido que entendemos hoje.2 � os logaritmos foram inventados no in�cio do s�culo XVII, pelo esfor�o conjunto de grandes matem�ticos, a exemplo de John Napier (escoc�s � 1550/1617), Jobst B�rgi (su��o � 1552/1632) e Henry Briggs (ingl�s � 1556/1631). A id�ia original entretanto, coube a John Napier.
Paulo Marques � Feira de Santana � 02 de fevereiro de 2002.