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O SAPO e o pernilongo |
Um sapo e um pernilongo encontram-se respectivamente na
origem e no ponto (8, 2) de um sistema cartesiano ortogonal. Se o sapo s� pudesse saltar nas dire��es
positivas dos eixos cartesianos e cobrisse uma unidade de comprimento em
cada salto, o n�mero de trajet�rias poss�veis para o sapo alcan�ar o
pernilongo seria igual a:
a) 35
b) 45
c) 70
d) 125
e) 256
Solu��o:
Considere a figura a seguir, onde est� representada em vermelho, uma das
trajet�rias poss�veis, onde S = sapo e I = pernilongo.
O enunciado diz que o sapo s� pode se mover nas dire��es positivas dos
eixos cartesianos, ou seja, para a direita ou para cima.
Convencionando que um deslocamento para a direita seja indicado por D e
um deslocamento para cima seja indicado por C, o deslocamento indicado na
figura seria representado por DCDDDCDDDD.
Agora resolva este:
Outros deslocamentos poss�veis seriam, por exemplo:
DDDDDDDDCC
DDCCDDDDDD
CDDDDDDDDC
etc
Para entender isto, basta observar a figura dada.
Observe que para o sapo alcan�ar o pernilongo segundo as regras ditadas,
teremos sempre 8 deslocamentos para a direita (D) e 2 para cima (C).
Ora, teremos sempre 10 deslocamentos, sendo 8 para a direita (D)e 2 para
cima (C).
Ent�o, para obter o n�mero total de deslocamentos poss�veis, basta
calcular o n�mero de
permuta��es com repeti��o dos 10
elementos, observando que existem repeti��es de 8 e de 2 elementos.
Ent�o, do que j� sabemos da An�lise
Combinat�ria, poderemos escrever, finalmente:
P(10; (8,2)) = 10! /(8!.2!) = (10.9.8!) / (8!.2.1) = (10.9) / 2 = 45
Portanto, s�o 45 trajet�rias poss�veis, ou seja, alternativa B.
Esta quest�o compareceu num vestibular da PUC - RS.
Um coelho e um jacar� encontram-se respectivamente na origem e no ponto (9,
3) de um sistema cartesiano ortogonal. Se o coelho s� pudesse saltar nas
dire��es positivas dos eixos cartesianos e cobrisse uma unidade de
comprimento em cada salto, o n�mero de trajet�rias poss�veis para o
coelho alcan�ar o jacar� seria igual a:
Resposta: 220 trajet�rias poss�veis.
Nota: no problema inicial, provavelmente o sapo ir�
"tra�ar" o pernilongo. J� aqui neste problema, acho que
quem vai sobrar � o coelho!. ...