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9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99...9999 |
1 � Determine a soma seguinte em fun��o de n:
S = 10 + 102 + 103 + ... + 10n
Solu��o:
Verificamos tratar-se de uma progress�o
geom�trica � PG, de primeiro termo 10 e raz�o 10, com n
termos. Aplicando diretamente a f�rmula da soma dos n primeiros termos de uma
PG, vem imediatamente:
2 � Determine a soma seguinte em fun��o de n:
S = 9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + ... + 99...9999 , onde a �ltima parcela
possui n algarismos iguais a 9.
Solu��o:
Observe que poderemos reescrever a igualdade, na forma:
S = (10 � 1) + (100 � 1) + (1000 � 1) + (10000 � 1) + ... + (10n
�1)
lembrando que 100 = 102, 1000 = 103, etc
Lendo atentamente o segundo membro da igualdade acima, poderemos perceber que
o n�mero 1 aparece n vezes, j� que ele aparece em cada uma das n parcelas.
Assim, poderemos escrever:
S = 10 + 100 + 1000 + ... + 10n � 1.n, ou na sua forma
equivalente:
S = (10 + 102 + 103 + ... +
10n) � n
Ora, a parte em vermelho corresponde � soma cujo resultado j� encontramos no
exerc�cio anterior. Substituindo, fica:
que � a f�rmula procurada.
Paulo Marques, Feira de Santana, 06 de julho de 2002.
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