Gabriel, o jardineiro

Em um caminho retil�neo h� um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao longo do caminho. A distancia entre quaisquer duas roseiras consecutivas � 1,5 m. Nesse caminho, h� ainda uma torneira a 10 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar tr�s  roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1� roseira, molha-a, caminha at� a 2� roseira, molha-a e, a seguir, caminha at� a 3� roseira, molhando-a tamb�m, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel volta � torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as tr�s  roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a �ltima das roseiras, quantos metros Gabriel ter� percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?

Nota: este arquivo foi enviado para solu��o por um ilustre visitante do site.

Solu��o:

Sejam r₁, r₂, r₃,... , r₄₈, r_49, r₅₀ e r₅₁ as 51 roseiras. Veja o esquema a seguir:
Nota: nomear as roseiras desta forma, lembra-me a hist�ria dos tr�s porquinhos: considere tr�s porquinhos P1, P2 e P3 numa floresta!. Rarar�... ...


Nota: esta figura veio anexa ao arquivo que o nosso amigo internauta e visitante do site me enviou para resolu��o; n�o fui autorizado por ele a publicar o seu nome, mas, ele se auto-intitulou  "concurseiro". Rarar� ... ...

Podemos observar que:

a) quando Gabriel tiver molhado a roseira r₄₈, o regador estar� vazio; ele ter� que voltar para ench�-lo, retornar � roseira r₄₈ e avan�ar, molhando as roseiras r₄₉, r₅₀ e r₅₁; a�, o regador estar� novamente vazio, mas, ele n�o ter� mais que retornar para ench�-lo novamente, uma vez que o objetivo de molhar as 51 roseiras ter� sido alcan�ado.

b) todos os movimentos de Gabriel at� a roseira r₄₈ s�o de ida e volta. Como s�o tr�s roseiras a cada movimento, teremos 48/3 = 16 movimentos de ida e volta. Ap�s isto, haver� mais um movimento (aquele da finaliza��o da tarefa), totalizando 17 movimentos, sendo 16 de ida e volta � origem e um, apenas de ida.  Observe que estes 17 movimentos podem tamb�m ser inferidos do que segue: 51 roseiras distribu�das em conjuntos de tr�s , resultar�, nas condi��es descritas no enunciado em 51/3 = 17 movimentos.

Ent�o, os 16 movimentos iniciais de Gabriel poder�o ser assim descritos:
1� movimento (de ida e volta): da torneira at� a roseira r₁: 10 + 2.1,5 = 13 m
2� movimento (de ida e volta): 13 + 3.1,5 = 17,5 m
3� movimento: (de ida e volta): 17,5 + 3.1,5 = 22 m
4� movimento: (de ida e volta): 22 + 3.1,5 = 26,5 m
5� movimento: (de ida e volta): 26,5 + 3.1,5 = 31 m
e assim, sucessivamente, at� o  16� movimento (tamb�m de ida e volta).

Como esses 16 movimentos s�o de ida e volta, poderemos escrever a seguinte seq��ncia  num�rica das distancias percorridas a cada movimento:
<s_n> : (13; 13; 17,5; 17,5; 22; 22; 26,5; 26,5; 31; 31; ...)
D� para perceber de relance, que  a seq��ncia num�rica acima poder� ser decomposta em duas seq��ncias iguais a saber:
<x_n>: (13; 17,5; 22; 26,5; 31; ...) e <y_n> = (13; 17,5; 22; 26,5; 31; ...)
Observem que ambas as seq��ncias <x_n> e <y_n> s�o iguais e que ambas s�o Progress�es Aritm�ticas � PA�s  de raz�o  4,5 (caso voc� visite este link, para retornar, clique em VOLTAR no seu navegador).

Efetuando a soma dos 16 termos de cada uma dessas PA�s, teremos determinado a soma total dos 16 movimentos de ida e volta.

Ent�o,

J� sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma PA de primeiro termo a₁, n-�simo termo a_n  � dada por

.

Como n = 16, vem que a₁₆ = a₁ + (n � 1).r = 13 + (16 � 1).4,5 = 80,5
Substituindo os valores conhecidos na f�rmula da soma acima, teremos:

S₁₆ = (13 + 80,5).16/2 = (93,5).8 = 748 m

Como s�o duas progress�es iguais, a distancia total dos 16 movimentos de ida e volta ser� igual ao dobro ou seja:
D = 2.748 = 1496 m

Agora, observe que a distancia calculada acima, refere-se ao total das movimenta��es de �ida e volta�; ent�o, ao final desse 16� movimento, Gabriel estar� no in�cio do percurso, junto � torneira; lembre-se que ao regar a roseira r₄₈ ,  o regador ficou vazio e ele teve que voltar! Portanto, falta acrescentar a distancia da torneira at� a �ltima roseira r₅₁. Ora, entre a roseira r₁ e a roseira r₄₈ existem 47 espa�os iguais a 1,5 m , totalizando 47.1,5 = 70,5 m .
Logo, a distancia d do �ltimo movimento ser� igual a d = 70,5 + 10 + 3.(1,5) = 85 m
Nota: 10 m � a distancia da torneira � roseira r₁ , e 3.1,5 as tr�s �ltimas distancias percorridas de r₄₈ a r_{51 .}
Finalmente, a distancia total percorrida ser� igual a y = D + d  = 1496 + 85 = 1581 m

Portanto, Gabriel, o jardineiro, ter� percorrido 1581 m. 

Agora, resolva este:
Vamos botar o Gabriel para trabalhar mais!

Em um caminho retil�neo h� um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao longo do caminho. A distancia entre quaisquer duas roseiras consecutivas � 10 m. Nesse caminho, h� ainda uma torneira a 100 m da primeira roseira.
Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar tr�s  roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1� roseira, molha-a, caminha at� a 2� roseira, molha-a e, a seguir, caminha at� a 3� roseira, molhando-a tamb�m, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel volta � torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as tr�s  roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a �ltima das roseiras, quantos metros Gabriel ter� percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?

Resposta: 11640 m

Paulo Marques - 17 de fevereiro de 2008 - Feira de Santana - BA 

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