Dois terremotos

UEFS 2000.2 – A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula   
I = (2/3).log₃(E / k), em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k medidas em kWh – quilowatt-hora.
Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo E_x a energia liberada em X e  E_y a energia liberada em Y, pode-se afirmar:
A) E_y = 2E_x
B) E_y = 2⁸E_x
C) E_y = 3²E_x
D) E_y = 3³E_x
E) E_y = 3⁶E_x

Solução:

Temos que I_X = 4  e I_Y = 8, pelo enunciado do problema.

Substituindo na fórmula do enunciado, vem:

4 = (2/3).log(E_X / k) \4 / (2/3) = log(E_X / k)  \ log₃(E_X / k) = 6
8 = (2/3).log(E_Y / k) \8 / (2/3) = log(E_X / k)  \ log₃(E_Y / k) = 12

Já sabemos de Logaritmos que se log_bN = x, então b^x = N.

Logo,

De  log₃(E_X / k) = 6   tiramos E_X / k = 3⁶
De  log₃(E_Y / k) = 12 tiramos E_Y / k = 3¹²

Dividindo membro a membro as expressões em azul negrito acima, fica:

(E_X / k) / (E_Y / k) = 3⁶ / 3¹²

Efetuando as divisões indicadas no primeiro e segundo membros, vem:
Nota: lembre-se que para dividir duas frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Teremos então:
E_X / E_Y = 3^6-12 = 3^-6 = 1 / 3⁶
Nota: Lembre-se que a^-n = 1 / aⁿ

Daí vem imediatamente que:

E_X / E_Y = 1 / 3⁶ Þ E_Y / E_X = 3⁶ Þ E_Y = 3⁶.E_X

Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E de Errado. ra ra ra ra ....
Brincadeira à parte, E é a alternativa correta.

Nota: A escala logarítmica Richter foi criada em 1935 para avaliar a energia liberada por terremotos, pelo norte-americano Charles Richter (1900 – 1985). Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.
Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruída! Ah ah ah ah ah ... Risos à parte, isto é verdadeiro,  já que na escala Richter, o terremoto na cidade Y teve intensidade 8!  Bastava 5! portanto, a cidade Y , bem, a ex-cidade Y ...

Paulo Marques, 28 de agosto de 2001 – Feira de Santana – BA.

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