Solução:
Como já sabemos que em R – conjunto dos números reais - só existe logaritmo de número real positivo, para que exista o logaritmo de x na função dada, deveremos ter x > 0. Portanto, o domínio Df da função é o intervalo (0, ¥), ou seja, o conjunto dos números reais positivos, o qual pode também ser representado como R*+ , ou ainda por R+ \ {0}.
Então, Df = (0, ¥) = R*+ = R+ / {0} = {x Î R; x > 0}
Nota: plotando (marcando) os pontos (x, y) no plano cartesiano xOy, tais que
y = x log x , obteremos a curva a seguir:
Gráfico da função y = x log x, usando o aplicativo Graphmatica obtido na WEB
Observe no gráfico acima que a variável independente x é sempre positiva, o que confirma que o domínio da função é o intervalo (0, ¥).
Para x £ 0, a função não está definida.
2 – Qual o conjunto imagem da função y = x log x ?
Solução:
O conjunto imagem da função será o conjunto dos valores possíveis para a variável dependente y. Do gráfico acima, podemos inferir (deduzir) facilmente que y ³ 1, ou seja, o conjunto imagem é o intervalo [1, ¥).
Vamos obter este resultado, algebricamente:
Como y = x log x , poderemos escrever: log x = logxy = log y / log x
Daí, vem que logx . logx = logy = (logx)2. Como (logx)2 é positivo ou nulo, vem que logy ³ 0 , de onde tiramos
y ³ 100 ou y ³ 1.
Notas que justificam as passagens acima:
a) lembre-se que se A = bw, então w = logbA , para 0 < b ¹ 1.
b) logbN = logN / logb, onde logN e logb são os logaritmos decimais de N e b.
3 – Os valores de k para os quais a equação x logx = kx admite solução real, .são todos os números reais tais que k ³ p. Nestas condições, p é igual a:
a) 10 –1 / 4
b) 10 –3 / 4
c) 10 –1 / 2
d) 1
e) Ö10
Solução:
Já sabemos que se bw = A então w = logb A . Então poderemos escrever:
Se x logx = kx então logx = log x (kx) = log (kx) / logx . Então:
logx = log (kx) / logx. Daí tiramos:
(logx)2 = log kx
Aplicando a propriedade de logaritmo de produto ao segundo membro, vem:
(logx)2 = logk + logx. Igualando a zero, fica: (logx)2 – logx - logk = 0
Fazendo logx = y (uma mudan&cccedil;a de variável), teremos:
y2 – y – logk = 0
Temos uma equação do segundo grau da forma ay2 + by + c = 0, onde a = 1,
b = -1 e c = -logk. Para que esta equação possua raízes reais, deveremos ter o discriminante positivo ou nulo, ou seja: b2 – 4ac ³ 0.
Substituindo os valores conhecidos, fica:
(-1)2 – 4.1.(-logk) ³ 0 ou 1 + 4logk ³ 0. Logo,
4logk ³ -1
logk ³; -1/4 ; como a base é igual a 10, poderemos escrever:
k ³ 10 -1/4
Portanto, a alternativa correta é a de letra A.
Agora resolva este:
Qual o conjunto solução da equação x logx = x ?
Resposta: S = {1, 10}
Dica: se b n = w então n = log b w = log w / log b
Paulo Marques, 21 de fevereiro, carnaval de 2004 – Feira de Santana - BA