Iniciando 2004 com as l�nulas de Hip�crates de Chios

Entende-se por L�NULA , a figura geom�trica limitada por dois arcos circulares de raios distintos. Consta nos comp�ndios de Hist�ria da Matem�tica que as l�nulas foram objeto de estudo do matem�tico grego do s�culo V A.C. , Hip�crates de Chios, nascido na ilha de Chios.

Notas:

a) n�o confundir Hip�crates de Chios, com o seu contempor�neo Hip�crates de Cos, m�dico grego do s�culo V A.C., nascido na ilha de Cos. Uma das obras de Hip�crates intitulada "O Juramento" � at� hoje citada nos textos pronunciados nas cerim�nias de formatura nos cursos de Medicina. Hip�crates de Cos � conhecido como o Pai da Medicina Moderna.

b) uma l�nula tamb�m � popularmente conhecida como uma "meia-lua".

c) na figura a seguir, identificamos duas l�nulas (pintadas em vermelho).

Vamos abordar o tema, resolvendo o cl�ssico problema a seguir:

Provar que a soma das �reas das l�nulas da figura a seguir, � igual � �rea do tri�ngulo ABC.

Notas:

1 � a figura acima foi constru�da da seguinte forma:

a) constr�i-se o tri�ngulo ret�ngulo ABC.
b) com centro em O (ponto m�dio de AB) tra�a-se um semic�rculo de raio AO = OB.
c) com centro em D (ponto m�dio de AC) tra�a-se o semic�rculo de raio AD = DC
d) com centro em E (ponto m�dio de BC) tra�a-se o semic�rculo de raio CE = EB
e) a figura n�o est� em escala.

2 � observe que o tri�ngulo ABC � ret�ngulo em C, pois o �ngulo ACB est� inscrito num semic�rculo

Solu��o:

Identificamos na figura abaixo:

a) as duas l�nulas de �reas L1 e L2.
b) os segmentos circulares de �reas A1 e A2.
c) o tri�ngulo ret�ngulo de �rea A3.

Observe que � v�lido escrever:
L1 + L2 = (L1 + A1) + (L2 + A2) � [(A1 + A2 + A3) � A3]
Com efeito, efetuando as opera��es indicadas no segundo membro da igualdade acima, obteremos : 
L1 + A1 + L2 + A2 � A1 � A2 � A3 + A3, que simplificada resulta L1 + L2 que � a soma das �reas das l�nulas.

Para entender o argumento acima, verifique que a soma das �reas das l�nulas pode ser obtida somando-se as �reas dos dois semic�rculos de di�metros AC e CB e subtraindo-se do resultado, a diferen�a entre as �reas do semic�rculo de di�metro AB e do tri�ngulo ABC. Se voc� n�o conseguir enxergar desta forma, resta o consolo propiciado pela igualdade descrita acima, que n�o deixa pairar d�vidas quanto � veracidade do argumento.

Ent�o, vamos utilizar a igualdade acima para ajudar na solu��o do problema proposto.

(L1 + A1) + (L2 + A2) � [(A1 + A2 + A3) � A3] = L1 + L2

1� parte: C�lculo de L1 + A1 (�rea do semic�rculo de di�metro AC).
Como a �rea de um c�rculo de raio R � dada por S = p R², a �rea do semic�rculo ser� a metade, ou seja, no caso: 
L1 + A1 = p (AC/2)² , onde AC/2 � o raio do semic�rculo de di�metro AC.

Portanto, L1 + A1 = p (AC)² / 4

2� parte: C�lculo de L2 + A2 (�rea do semic�rculo de di�metro CB).

Analogamente, L2 + A2 = p (CB/2)² , onde CB/2 � o raio do semic�rculo de di�metro CB.

Portanto, L2 + A2 = p (CB)² / 4

3� parte: C�lculo de A1 + A2 + A3 (�rea do semic�rculo de di�metro AB).
Analogamente, A1 + A2 + A3 = p (AB/2)² , onde AB/2 � o raio do semic�rculo de di�metro AB. Portanto,

A1 + A2 + A3 = p (AB)² / 4

4� parte: C�lculo de A3 (�rea do tri�ngulo ret�ngulo).

A �rea de um tri�ngulo � igual ao semiproduto da medida de uma das bases pela medida da altura correspondente. No presente caso do tri�ngulo ret�ngulo ABC, fica:
A3 = (BC).(AC) / 2

Portanto, como j� sabemos que a soma das �reas das l�nulas (L1 + L2) � igual a:

L1 + L2 = (L1 + A1) + (L2 + A2) � [(A1 + A2 + A3) � A3]
Vem, por simples substitui��o dos valores obtidos acima:

L1 + L2 = (L1 + A1) + (L2 + A2) � [(A1 + A2 + A3) � A3]
L1 + L2 = p (AC)² / 4 + p (CB)² / 4 � [(p (AB)² / 4) � (BC).(AC) / 2]

Desenvolvendo, vem:

L1 + L2 = p (AC)² / 4 + p (CB)² / 4 � p (AB)² / 4 + (BC).(AC) / 2]

Colocando p em evidencia, fica:

L1 + L2 = p [(AC)² / 4 + (CB)² / 4 � (AB)² / 4] + (BC).(AC) / 2]

Efetuando a soma indicada entre colchetes, fica:

L1 + L2 = p [(AC)² + (CB)² ] / 4 � (AB)² / 4] + (BC).(AC) / 2]

Ora, pelo c�lebre teorema de Pit�goras, (AC)² + (CB)² = (AB)² no tri�ngulo ret�ngulo ABC do enunciado do problema. Logo, substituindo, fica:

L1 + L2 = p [(AB)² ] / 4 � (AB)² / 4] + (BC).(AC) / 2] = p .0 + (BC).(AC) / 2]
Como p . 0 = 0, vem finalmente:

L1 + L2 = (BC).(AC) / 2 , onde L1 + L2 �, como sabemos , a soma das �reas das l�nulas.

Ocorre que (BC).(AC) / 2 � justamente a �rea do tri�ngulo ret�ngulo ABC. Portanto, est� provada a assertiva do enunciado, ou seja: a soma das �reas das l�nulas da figura dada � igual � �rea do tri�ngulo ret�ngulo ABC.

Trata-se de um resultado bel�ssimo e at� surpreendente!

Agora resolva este:

Construa um tri�ngulo ret�ngulo is�sceles ABC, onde BC � a hipotenusa e AB e AC os catetos. Com centro em A, trace um semic�rculo de raio AB = AC. Agora construa um semic�rculo com centro no ponto m�dio de BC (hipotenusa do tri�ngulo ABC), de raio BC/2. Prove que a �rea da l�nula obtida � igual � �rea do tri�ngulo ABC.

Feliz 2004!

Paulo Marques, 31 de dezembro de 2003, Feira de Santana - BA.

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