Geometria XIV - UFBA 1993

Rebatimento das faces laterais de uma pir�mide quadrangular regular sobre o plano da base.

UFBA 1993 - Rebatendo-se as faces laterais de uma pir�mide quadrangular regular sobre o plano da base, externamente a esta, os quatro rebatimentos do v�rtice da pir�mide determinam um quadrado com 8 m de lado. Os v�rtices da base s�o os pontos m�dios dos ap�temas do quadrado de 8 m de lado. Sendo x m² a �rea total da pir�mide, determine x .

Notas:
1) UFBA � Universidade Federal da Bahia
2) Este problema � um pouco trabalhoso. Tenha paci�ncia.

Solu��o:

Constru�mos a figura abaixo, seguindo as instru��es do enunciado da quest�o.

Os tri�ngulos CMN, BMP, APO e DON s�o as faces laterais da pir�mide, rebatidas sobre o plano da base. Os pontos M, N, O e P s�o os v�rtices da base quadrada da pir�mide.
Os ap�temas do quadrado ABCD s�o os segmentos FR, RH, GR e RE. Sabemos que a medida do ap�tema de um quadrado de lado L � igual a L / 2. Portanto, como � dito no enunciado que o lado do quadrado ABCD mede 8 m, teremos que FR = RH = GR = RE = 4 m

Para calcular a �rea total da pir�mide, basta somar a �rea da base MNOP com as �reas das faces laterais CMN, BMP, APO e DON.


Como os v�rtices do quadrado da base � pelo enunciado � s�o os pontos m�dios dos ap�temas do quadrado ABCD de 8 m de lado, � claro que poderemos escrever observando a figura acima: 
FM = FR / 2 = 4 / 2 = 2 m. Como FR � um ap�tema do quadrado ABCD ent�o F � ponto m�dio de BC e, portanto, FC = 4 m , pois BC = 8 m, conforme enunciado.

Portanto, aplicando o teorema de Pit�goras no tri�ngulo ret�ngulo FMC, vem:
FM² + FC² = CM² \ 2² + 4² = CM² \ CM² = 20 \ CM = � 20 m

Como FM = MR (pois de acordo com o enunciado, M � o ponto m�dio da ap�tema do quadrado, teremos que MR= 2 , pois j� vimos que FM = 2).


Como MR=NR (metade das diagonais do quadrado PMNO), poderemos aplicar o teorema de Pit�goras ao tri�ngulo RMN, obtendo: MR² + NR² = MN²
Portanto, 2² + 2² = MN²
Da�, vem imediatamente que MN = � 8

Como o tri�ngulo CMN � is�sceles, podemos afirmar que MJ = JN = MN / 2 = (� 8) / 2

Aplicando o teorema de Pit�goras ao tri�ngulo CMJ, vem:
MJ² + CJ² = CM²
Substituindo os valores conhecidos, fica:

[(� 8) / 2]² + CJ² = (� 20)²
8/4 + CJ² = 20 \ CJ² = 18 \ CJ = � 18

Ora, CJ � a altura do tri�ngulo is�sceles CMN. Portanto, a �rea do tri�ngulo CMN ser� igual a: 

S = (1 / 2). MN. CJ = (1/2) . � 8 . � 18 = (1/2) . � 144 = (1/2).12 = 6

Como s�o 4 tri�ngulos iguais, teremos: 4.6 = 24
Falta calcular a �rea do quadrado PMNO: Como o lado MN = � 8, vem imediatamente que
a �rea do quadrado PMNO ser� igual a (� 8)² = 8.

Sendo x m² a �rea total da pir�mide, conforme enunciado da quest�o, finalmente, teremos: x = 24 + 8 = 32 , n�mero que representa a �rea total da pir�mide.
Portanto, a �rea total da pir�mide � igual a 32 m² , o que significa que o x do problema � igual a 32.

Nota: este problema, embora n�o seja dif�cil, � muito trabalhoso. Recomendo imprimir e estudar o arquivo para um melhor aproveitamento.

Agora resolva este:

Qual o volume da pir�mide do problema anterior?

DICA: Observe que VM nesta figura, corresponde a CJ na figura do problema resolvido acima e, portanto, � igual a � 18. Para calcular a altura H da pir�mide, aplique o Teorema de Pit�goras no tri�ngulo ret�ngulo 
VOM. Antes calcule o comprimento de OM , que coincide com o comprimento de RJ na figura do primeiro problema e conclua que OM = � 2. Agora j� temos todos os elementos necess�rios para calcular o volume.
Lembre-se que o volume de uma pir�mide � igual a 1/3 vezes a �rea da base vezes a altura.
V = (1/3).S_b.H

Resposta: Volume = 32 / 3 m³

Paulo Marques, 02 de novembro de 2003, Feira de Santana - BA, idem 15/10/06.

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