Uma soma de fra��es irredut�veis

FUVEST 1997 � A soma das fra��es irredut�veis, positivas e menores do que 10, de denominador 4 �:
A) 10
B) 20
C) 60
D) 80
E) 100

Solu��o:

A forma geral das fra��es que atendem ao enunciado da quest�o �  n / 4  onde n � um n�mero inteiro positivo, com a condi��o  mdc(n,  4) = 1, onde mdc = m�ximo divisor comum. Esta condi��o da obrigatoriedade de mdc (n, 4) = 1, decorre da informa��o dada no enunciado, de que as fra��es s�o irredut�veis, ou seja, o numerador n e o denominador 4 devem ser n�meros primos entre si.

Posto isso, poderemos escrever com base no enunciado, que n / 4 < 10, de onde tiramos que n < 40, j� que n � positivo. Percebemos facilmente que n n�o pode ser par, pois isto contrariaria a condi��o mdc (n, 4) = 1.

Assim, os valores poss�veis para n seriam:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 e 39, num total de 20 valores poss�veis.

A soma procurada de todas as fra��es irredut�veis da forma n / 4, ser� igual ent�o a:

S = 1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + ... + 37/4 + 39/4

Observando atentamente o segundo membro da igualdade acima, verificamos que se trata da soma dos termos de uma Progress�o Aritm�tica de primeiro termo 1 / 4 e raz�o 1 / 2, pois 
3 / 4 � 1 / 4 = 5 / 4 � 3 / 4 = 7 / 4 � 5 / 4 = ... = 2 / 4 = 1 / 2.

Ent�o, a soma procurada ser� dada por:

S = 1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + ... + 31/4 + 33/4 + 35/4 + 37/4 + 39/4
S = (1/4 + 39/4) + (3/4 + 37/4) + (5/4 + 35/4) + (7/4 + 33/4) + ... , num total de 10 parcelas, j� que agrupamos os 20 valores poss�veis em 10 grupos de 2.
Observe que cada uma das 10 parcelas � igual a 10. Logo,
S = 10.10 = 100, que � o valor da soma procurado, o que nos leva tranq�ilamente � alternativa E.

Para o c�lculo da soma dos termos da PA � Progress�o Aritm�tica  acima , utilizei o mesmo m�todo aplicado por Gauss (Carl Friedrick Gauss � 1777 � 1855 � matem�tico alem�o) aos 9 anos, ou seja, no remoto ano de 1786, quando instigado pelo seu professor para calcular a soma de todos os n�meros naturais de 1 a 100 � tarefa passada talvez como um poss�vel castigo �   quando Gauss resolveu o problema rapidamente, observando que:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = ... = 101

Como s�o 100 parcelas, tomadas duas a duas, resultam em 50 resultados iguais a 101, sendo a soma procurada igual a 50.101 = 5050.

Esta hist�ria, j� contada v�rias e v�rias vezes ao longo dos �ltimos s�culos, foi aqui repetida como uma forma simples de registrar a genialidade de Gauss.

Poderemos, entretanto calcular diretamente a soma S usando a f�rmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, ou seja:

S = [(a₁ + a _n).n] / 2

S = 1/4 + 3/4 + 5/4 + 7/4 + 9/4 + 11/4 + ... + 31/4 + 33/4 + 35/4 + 37/4 + 39/4

a₁ = 1/4, a_n = 39/4 e n = 20

S = [(a₁ + a _n).n] / 2 = [(1/4 + 39/4).20] / 2 = 10.20 / 2 = 100.

Agora resolva este:

A soma das fra��es irredut�veis, positivas e menores do que 10, de denominador 2 �:
a) 10     b)  20       c)  30    d)  40     e) 50

Resposta: 50

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 21 de outubro de 2002. 

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