Em 1938, uma mo�a tinha tantos anos quantos expressavam os dois �ltimos algarismos do ano em que nascera. Qual a sua idade?

Solu��o:

Se uma pessoa nasce no ano x, no ano y sua idade ser� y � x. 
Por exemplo, uma pessoa que nasceu no ano 1983, no ano 2001 ter�  2001 � 1983 = 18 anos (completos ou incompletos, a depender obviamente do m�s de nascimento).

Vamos supor que a mo�a tenha nascido no ano 19ab onde a e b s�o
n�meros naturais entre 0 e 9. Pelo enunciado da quest�o, poderemos escrever:

1938 � 19ab = ab, onde  ab  representa a idade da neta. Claro que ab sendo um n�mero de 2 algarismos, a e b s�o n�meros naturais que podem variar de 0 a 9.

Observando que 1938 = 1000 + 900 + 30 + 8 = 1.1000 + 9.100 + 3.10 + 8,
poderemos escrever analogamente:
19ab = 1.1000 + 9.100 + a.10 + b = 1000 + 900 + 10a + b = 1900 + 10a + b
Tamb�m poderemos escrever para o n�mero ab:
ab = a.10 + b = 10.a + b
Exemplos: 26 = 2.10 + 6, 87 = 8.10 + 7, 76 = 7.10 + 6, etc

Teremos ent�o, voltando � express�o 1938 � 19ab = ab :
1938 � (1900 + 10.a + b) = 10.a + b

1938 � 1900 � 10.a � b = 10.a + b
38 � 10.a � b � 10.a � b = 0
38 � 20.a � 2.b = 0

Dividindo tudo por 2 fica:

19 � 10.a � b = 0
19 = 10.a + b

Ora, 10.a + b conforme visto acima, � justamente o n�mero ab.

Logo, a idade da mo�a � 19 anos.
 
Portanto, o ano de nascimento sendo 19ab, conclu�mos que a mo�a nasceu em 1919.

Em 1938, uma mo�a tinha tantos anos quantos expressavam os dois �ltimos algarismos do ano em que nascera.Ao contar isto a sua av�, que nascera no s�culo anterior, ambas espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria � velha senhora.

Pergunta-se:
a) Quais os anos de nascimento?
b) Qual a idade da av� e da neta?

Solu��o:

Este problema � uma continua��o do primeiro j� resolvido acima. J� encontramos a idade e o ano de nascimento da mo�a, respectivamente iguais a 19 anos e 1919. Vamos repetir o mesmo racioc�nio para determinar o ano de nascimento e a idade da av�.

� razo�vel supor que, nas condi��es do problema, o ano de nascimento da av� seja 18mn .

Teremos analogamente:
1938 � 18mn = mn

Nota: 1938 = mil novecentos e trinta e oito.
18mn = mil oitocentos e mn.
Observe que o s�mbolo 18mn n�o significa 18 vezes mn.

Usando o conhecimento adquirido no exerc�cio (1) acima, teremos diretamente:

1938 � 18mn = mn
1938 � (1000 + 800 + 10.m + n) = 10.m + n
1938 � (1800 + 10.m + n) = 10.m + n
1938 � 1800 � 10.m � n = 10.m + n
138 � 10.m � n � 10.m � n = 0
138 � 20.m � 2.n = 0
Dividindo tudo por 2, fica:
69 � 10.m � n = 0
69 = 10.m + n = mn
Logo, a idade da av� � igual a 69 anos, e ela nasceu no ano de 1869.

Respostas:
a) anos de nascimento: neta: 1919; av�: 1869.
b) idades: neta: 19 anos; av�: 69 anos.

Paulo Marques, Feira de Santana � BA , 07 de outubro de 2001.

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