Considerações sobre uma identidade importante

Vamos iniciar, propondo o desenvolvimento da seguinte divisão, para x ¹ 1:
Nota: a condição x ¹ 1, decorre do fato de que se x = 1, x - 1 = 0 e, como sabemos, não existe divisão por zero.



Podemos imaginar o número 1, como um polinômio, no caso, um monômio M = x⁰ = 1, e o denominador como o binômio  B = x⁰ – x¹ . 
Nota: x⁰ = 1

Percebemos que estes polinômios estão ordenados segundo as potências crescentes de x.
Interpretando o numerador e o denominador da expressão dada como polinômios, podemos efetuar a divisão indicada, usando o método das divisões sucessivas, também conhecida como método da chave, ou mais precisamente, como Algoritmo de Euclides.

Nota: entende-se como algoritmo,  uma seqüência lógica de procedimentos, ou um conjunto de regras de operação, cuja aplicação permite resolver um problema dado.

Antes de efetuar a divisão indicada no início do texto, vamos  relembrar o algoritmo de Euclides, através de um exemplo:

Seja dividir o polinômio A = x³ - 4x² + 1 pelo polinômio > B = x² - 1:
Nota: observe que A = x³ - 4x² + 1 =  x³³ - 4x² + 0x + 1

Teremos:

Passos para entender o dispositivo acima:
1 - Divida x³ por x², obtendo x³/x² = x
2 - Multiplique x por x² - 1, obtendo x(x² -1) = x³ - x, tendo o cuidaddo de colocar as potências de mesmo expoente, alinhadas.
3 - Efetue a subtração indicada na figura acima por \ , obtendo -4x² + x + 1
4 - Repita o item (1), dividindo o resultado do item (3) por x², obtendo -4.
5 - Multiplique -4 por x² - 1, obtendo -4x² + 4
6 - Efetue a subtração, como no item (3), obtendo x -3.
7 - Como x - 3 possui grau 1, inferior ao grau do polinômio divisor x² -1, que possui grau 2, encerra-se a operação.

Temos então que o quociente é o polinômio Q = x - 4 e o resto é o polinômio x - 3.

Retornando ao exercício proposto, teremos:
Nota: desejamos efetuar a divisão 1/(1 - x). O numerador 1 pode ser escrito como o polinômio  1 + 0x + 0x² + ... + 0xⁿ 
Observe que escrever o número 1 como o polinômio 1 + 0x + 0x² + ... + 0xⁿ  facilita muito a visualização do algoritmo de Euclides conforme indicado abaixo:

Então, a divisão proposta 1/(1-x), tem como resultado:
Quociente = Q = 1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ  e  Resto = R = xⁿ⁺¹

Ora, se considerarmos um polinômio A dividido por um polinômio B, tendo como resultado um polinômio Q e resto R, poderemos escrever:
A = B.Q + R
Então,  lembrando que:
Dividendo = 1
Divisor = 1 - x
Quociente: 1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ
Resto: xⁿ⁺¹
poderemos escrever:
^{1 = (1 - x) . (}1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ ) + xⁿ⁺¹

Nota: a igualdade acima é fundamentada na propriedade (dividendo = divisor x quociente + resto), nossa velha conhecida propriedade da divisão dos números naturais. 

Poderemos escrever da igualdade anterior:
1 – xⁿ⁺¹ = (1 – x).(1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ)  para x  ¹ 1.

Assim, poderemos obter fórmulas muito importantes, a saber, simplesmente atribuindo valores a  n . 

Se n = 1, então: 1 - x² = (1 - x)(1 + x)
Se n = 2, então: 1 - x³ = (1 -x)(1 + x + x²)
Se n = 3, então: 1 - x⁴ = (1 - x)(1 + x + x² + x³)
e assim, sucessivamente.

Por exemplo:
1 - x⁷ = (1 - x)(1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶)

Esta é uma forma muito tranqüila, para fatorar 1 - xⁿ , como podemos observar.

Exercício proposto: Fatorar o polinômio  1 – x⁸ 
Resposta: 1 – x⁸ = (1 – x) (1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷)

Paulo Marques, Feira de Santana - BA -  18/04/2008.

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