Planilhas

UEFS - 2008.1) O n�mero de pontos obtidos por 2500 candidatos que fizeram as provas de um concurso foi distribu�do em tr�s planilhas distintas, P1, P2 e P3, de modo que P1 e P3 cont�m a pontua��o de 90 candidatos.  
Sabendo-se que a m�dia aritm�tica dos pontos contidos em P1 e P2 � 70, que a m�dia aritm�tica dos pontos contidos em P2 e P3 � 80 e que a m�dia aritm�tica dos pontos contidos em P1 e P3 � 60, pode-se afirmar que a m�dia aritm�tica dos pontos obtidos pelo total de candidatos � igual a:

a) 68,0
b) 69,3
c) 70,2
d) 71,1
e) 72,0

Solu��o:

Esta quest�o foi enviada por um visitante do site, solicitando a resolu��o. Ei-la:

Sejam:
X1, X2, X3, ... , Xn  as pontua��es contidas na planilha P1, num total de n candidatos.
Y1, Y2, Y3, ... ,Ym  as pontua��es contidas na planilha P2, num total de m candidatos.
Z1,  Z2, Z3, ... , Zr as pontua��es contidas na planilha P3, num total de r candidatos.

Nota: a m�dia aritm�tica de p valores w1, w2, w3, ... , wp � definida por:
Ma  = (w1 + w2 + w3 + ... + wp) / p
Exemplo: qual a m�dia aritm�tica de 6, 8 e 7? Teremos: Ma = (6 + 8 + 7) / 3 = 21/3 = 7.

Retornando � quest�o, sabe-se do enunciado que a m�dia aritm�tica dos pontos contidos em P1 e P2 � 70; logo, usando a defini��o de m�dia aritm�tica poderemos escrever:

[(X1+X2+...+Xn) + (Y1+Y2+Y3+...+Ym)] / (m+n) = 70
De onde tiramos:
[(X1+X2+...+Xn) + (Y1+Y2+Y3+...+Ym)] = 70(m + n)   

Analogamente, de acordo com o enunciado, teremos para P2 e P3:

[(Y1+Y2+Y3+...+Ym) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] / (m + r) = 80
De onde tiramos:
[(Y1+Y2+Y3+...+Ym) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] = 80(m + r)

E, tamb�m:

[(X1+X2+X3+...+Xn) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] / (n + r) = 60
De onde tiramos:
[(X1+X2+X3+...+Xn) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] = 60(n + r)

Ent�o, at� agora, estamos com as seguintes equa��es:

[(X1+X2+...+Xn) + (Y1+Y2+Y3+...+Ym)] = 70(m + n)
[(Y1+Y2+Y3+...+Ym) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] = 80(m + r)
[(X1+X2+X3+...+Xn) + (Z1+Z2+Z3+...+Zr)] = 60(n + r)

Para facilitar a visualiza��o, vamos adotar a seguinte simbologia:
X1+X2+...+Xn = SX
Y1+Y2+Y3+...+Ym = SY
Z1+Z2+Z3+...+Zr = SZ
onde o s�mbolo S (letra sigma mai�scula do alfabeto grego) significa somat�rio (de soma).

Nestas condi��es, o sistema acima fica escrito de uma forma simplificada:
SX + SY = 70(m + n)
SY + SZ = 80(m + r)
SX + SZ = 60(n + r)

Somando membro a membro estas tr�s igualdades, teremos:
2. SX + 2. SY + 2. SZ = 70(m+n) + 80(m+r) + 60(n+r)
Colocando o 2 em evidencia no primeiro membro, fica:
2(SX + SY + SZ) = 70(m+n) + 80(m+r) + 60(n+r)
Dividindo ambos os membros por 2, vem:
SX + SY + SZ = 35(m+n) + 40(m+r) + 30(n+r)

Lembrando que s�o 250 candidatos, a m�dia aritm�tica  - Ma - desejada ser� obtida dividindo ambos os membros por 250 ou seja:
(SX + SY + SZ) / 250  = Ma = [35(m+n) + 40(m+r) + 30(n+r)] / 250  ou seja:

Ma = [35(m+n) + 40(m+r) + 30(n+r)] / 250

Como � dito no enunciado que P1 e P3 cont�m a pontua��o de 90 candidatos, ent�o temos que n + r = 90; substituindo este valor na igualdade acima, fica:

Ma = [35(m+n) + 40(m+r) + 30.90] / 250
Ma = (35m + 35n + 40m + 40r + 2700) / 250
Ma = (75m + 35n + 40r + 2700) / 250

Ora, do enunciado, temos tamb�m que: n + m + r = (n + r) + m = 250 e como n + r = 90 vem, substituindo:
m + 90 = 250, de onde tiramos m = 160. Ent�o:
Ma = (35n + 75.160 + 40r + 2700) / 250
Ma = (35n + 40r + 14700) / 250 = 0,14n + 0,16r + 58,8
Lembrando ainda que n + r = 90, vem que r = 90 � n; substituindo, fica:
Ma = 0,14n + 0,16(90 � n) + 58,8
Ma = 0,14n + 14,4 � 0,16n + 58,8 = 73,2 � 0,02n
Portanto, a m�dia aritm�tica ser� dada por Ma = 73,2 � 0,02n, onde n � o n�mero de candidatos na planilha P1. 
Como n e r s�o positivos e r = 90 � n ent�o 90 � n > 0 ou 90 > n ou na forma equivalente: n < 90, ou seja: 0 < n < 90.
Portanto n = 1, 2, 3, 4, ... , 89.

Ent�o, em resumo, a m�dia aritm�tica procurada ser� igual a:
Ma = 73,2 � 0,02n com n = 1, 2, 3, 4, ... , 89.
Logo, os valores extremos da m�dia aritm�tica neste caso ser�o:
n = 1 � Ma = 73,2 � 0,02n = 73,2 � 0,02.1 = 73,18
n = 89 � Ma = 73,2 � 0,02.n = 73,2 � 0,02.89 = 71,42
Portanto, a m�dia aritm�tica procurada ser� um n�mero real situado no intervalo fechado
[71,42; 73,18] ou seja:  71,42 ≤  Ma ≤ 73,18.
  
Observe que das alternativas apresentadas:
a) 68,0
b) 69,3
c) 70,2
d) 71,1
e) 72,0
a �nica que atende � condi��o 71,42 ≤ Ma ≤ 73,18 � a de letra E, ou seja: Ma = 72,0.

Coment�rios adicionais e pertinentes:

I � como Ma = = 73,2 � 0,02n com n = 1, 2, 3, 4, ... , 89, conclu�mos que para cada valor inteiro atribu�do a n resultar� uma m�dia aritm�tica Ma; logo, existem 89 solu��es poss�veis para o problema proposto.

II � s� � poss�vel achar a alternativa correta, por exclus�o daquelas que n�o atendem ao crit�rio acima. Observe que as alternativas 68,0; 69,3; 70,2 e 71,1 n�o atendem ao crit�rio, j� que a m�dia aritm�tica Ma tem que satisfazer � desigualdade 71,42 ≤  Ma ≤ 73,18.

III � apenas a t�tulo de curiosidade, vamos determinar n de modo que Ma = 72,0; como Ma = 73,2 � 0,02n, vem, fazendo Ma = 72,0:
 72,0 = 73,2 � 0,02n � 72,0 � 73,2 = - 0,02n � -1,20 = -0,02n � n = 60;
Ora, vimos anteriormente que n + r = 90 e, portanto resulta r = 30;  e como m + n + r = 250, vem imediatamente que m = 160. Portanto, a m�dia aritm�tica ser� igual a 72,0 nas seguintes condi��es:  60 candidatos na planilha P1, 160 candidatos na planilha P2 e 30 candidatos na planilha P3.

Agora resolva este:

Nas mesmas condi��es do enunciado anterior, determine o n�mero de candidatos em cada planilha P1, P2 e P3 , para:
a) M�dia Aritm�tica = 71,42
b) M�dia Aritm�tica = 73,18

Resposta:

a) 89 candidatos na planilha P1, 160 candidatos na planilha P2 e 1 candidato na planilha P3.
b) 1 candidato na planilha P1, 160 candidatos na planilha P2 e 89 candidatos na planilha P3.

 Paulo Marques, 12 de abril de 2009 - Feira de Santana - BA

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