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OLHAI OS LÍRIOS DO CAMPO |
Um grupo de abelhas,
cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo
o enxame, pousou numa rosa, deixando para trás oito nonos do
enxame.
Apenas um zangão desse enxame voava em torno de um
lírio, atraído pela abelha rainha, que desfrutava
do
perfume dos lírios do campo.
Nestas condições,
qual o número de abelhas do enxame?
Solução:
Seja x o número
total de abelhas do enxame. Do enunciado, poderemos escrever:
a) o
grupo possuía Ö (x/2)
abelhas
b) ficaram para trás (8/9)x das abelhas
c) mais
duas abelhas: o zangão e a rainha
A soma dos itens (a), (b) e (c) resulta em x que é o número total de abelhas do enxame.
Portanto, poderemos escrever:
(8/9)x + Ö (x/2) + 2 = x
Esta é uma equação irracional, pois possui incógnita sob radical.
Vamos
resolvê-la:
Isolando o radical no primeiro membro, vem:
Ö
(x/2) = x – (8/9)x – 2
Efetuando as operações
indicadas no segundo membro, fica:
Ö
(x/2) = (9x / 9) – (8x / 9) – (18 / 9) = (x – 18) /
9
Ö (x/2) = (x –
18) / 9
Quadrando ambos os membros, teremos:
[Ö (x/2)]2 = [(x – 18) / 9]2
De onde vem:
x / 2 = (x –
18)2 / 81
Como o mínimo
múltiplo comum – mmc dos denominadores 2 e 81 é
162, vem, multiplicando ambos os membros por 162:
162(x / 2) = 162[(x –
18)2] / 81]
Efetuando as operações indicadas:
81x = 2(x – 18)2
Desenvolvendo o quadrado do binômio do segundo membro, fica:
81x = 2(x2
– 36x + 324)
81x = 2x2 – 72x + 648
Ou
escrevendo de uma forma equivalente, igualando a zero:
2x2
– 72x + 648 – 81x = 0
Reduzindo os termos
semelhantes em x vem:
2x2 – 153x + 648 =
0
Temos então uma equação do segundo grau
em x, cuja solução será dada pela fórmula
de Bhaskara – matemático hindu do século
XII.
Nota: você sabia que a
fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele e sim
por outro matemático
hindu do século XI –
Sridhara?
Sabemos que dada a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, com a ¹ 0, a solução geral desta equação é dada pela célebre fórmula de Bhaskara:
x = ( - b ±
Ö D
) / 2 a onde D = b2
– 4ac (conhecido como discriminante da equação).
No
nosso caso temos a = 2, b = -153 e c = 648
Logo, D
= (-153)2 – 4.2.648 = 23409 – 5184 =
18225
Fatorando o número
18225 obteremos:
18225 = 36 . 52
Portanto,
D = 36 .
52
Substituindo, vem:
x = - (-153) ± Ö (36 . 52) / 2 .2
x = 153 ±
(33. 5) / 4 = (153 ±
135) / 4
Daí obtemos as raízes:
x1
= (153 + 135) / 4 = 288 / 4 = 72
x2 = (153 –
135) / 4 = 18 / 4 = 9 / 2
Como o problema fala em número
de abelhas, somente a raiz inteira satisfaz. Aliás, você
pode verificar por simples substituição que a raiz 9/2
não satisfaz à equação original
(8/9)x
+ Ö (x/2) + 2 = x . Esta raiz
estranha ao problema surgiu devido a termos elevado ambos os membros
ao quadrado, a certa altura da resolução do
problema.
Portanto, o pequeno enxame possui 72 abelhas.
O enunciado deste
problema foi baseado num problema antigo proposto por Bhaskara –
matemático
hindu do século XII, no célebre
livro Lilavati. Sabe-se que Lilavati era o nome de sua filha.
Obtive a
tradução do problema original no
site
http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/BhaskaraII-2.htm
a qual reproduzimos a seguir:
De um grupo de abelhas, a raiz quadrada de metade foi para a árvore malati. De novo oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e a sua amada respondeu. Então, ó amada, quantas abelhas havia?
O título deste
arquivo – Olhai os Lírios do
Campo – é uma singela homenagem ao
escritor – gaúcho de Cruz Alta – RS –
Érico Veríssimo – 1905/1975, que publicou os
seguintes romances, jóias da Literatura brasileira:
Clarissa
- 1933
Caminhos Cruzados – 1935
Música ao longe
Um lugar ao sol
O resto é silêncio
Olhai os Lírios do Campo
O Tempo e o Vento (O
Continente, O Retrato, O Arquipélago)
Incidente em Antares
Solo de Clarineta,
entre outros.
Quem tiver interesse pode saber mais sobre ÉRICO
VERÍSSIMO no
site:
http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/2776/erico.html
Paulo
Marques, Feira de Santana – BA – 15 de março de
2003 - revisado 03/12/2004.
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