O homem que sabia javan�s

1 - Em quantos dos anagramas da palavra JAVAN�S as letras A n�o aparecem juntas?
a) 2520           b) 520           c) 1700           d) 1800             e) 720

Solu��o:

J� sabemos o que � um anagrama: palavra formada pela mudan�a de posi��o das letras que comparecem nela. Exemplo: AMOR � um anagrama da palavra ROMA; MORA � um anagrama da palavra RAMO, etc

Para calcular o n�mero de anagramas da palavra JAVAN�S nos quais as letras A n�o aparecem juntas, basta calcular o n�mero de anagramas nos quais as letras A aparecem juntas e subtrair do total de anagramas poss�veis.

Conforme j� sabemos da An�lise Combinat�ria, o n�mero total de anagramas da palavra JAVAN�S ser� dado por:

n = 7! / 2! =  7.6.5.4.3.2! / 2! = 2520

Nota: a divis�o por 2! = 2.1 = 2 decorre da repeti��o da letra  A duas vezes.

Vamos agora calcular o n�mero de anagramas nos quais as letras A aparecem juntas.

Para isto, basta considerar os anagramas do tipo AAJVN�S, JAANSV�, etc  ou seja, considerar AA como um �nico elemento. Neste caso, � como se tiv�ssemos apenas 6 letras.

O n�mero total de anagramas nestas condi��es ser� ent�o:

m = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas

O n�mero procurado ser� ent�o igual a n � m = 2520 � 720 = 1800 que � a resposta do problema, o que nos leva tranq�ilamente � alternativa D.

2 - Quantos s�o os n�meros de seis algarismos que s�o m�ltiplos de 188 e terminam
em 188?
a) 20          b) 19           c) 31            d) 188             e) 30

Solu��o:

A forma geral dos n�meros de seis algarismos que terminam em 188 �: 
N = n.10³ + 188, onde n � um n�mero natural de tr�s algarismos.
Exemplo: n = 123 � N = 123.10³ + 188 = 123000 + 188 = 123188

O problema exige que al�m de terminar em 188, o n�mero dever� ser m�ltiplo de 188, ou seja, da forma 188.k onde k � um inteiro.

Assim, deveremos ter a seguinte igualdade:
n.10³ + 188 = k.188

Da�, vem:

n.10³ = k.188 � 188
n.10³ = (k � 1).188  � k � 1 = n.10³ / 188

Ora, se k � inteiro, k � 1 tamb�m ser� inteiro. Para que k � 1 seja inteiro, o quociente do segundo membro dever� ser tamb�m inteiro, ou seja, N = n.10³ / 188 dever� ser um n�mero inteiro.

Observando que 188 = 2².47 teremos: 
N = n.10³ / 2².47 = n.1000 / 4.47 = n.250 / 47

Ent�o, para que N seja inteiro, n dever� ser m�ltiplo de 47, ou seja, n dever� ter a forma geral n = p.47 onde p � inteiro.

Lembrando que n � um n�mero de tr�s algarismos, teremos que determinar os valores inteiros poss�veis para p que satisfa�am � express�o n = p.47. (Lembre-se que n possui tr�s algarismos e N possui seis algarismos).

O menor n�mero de tr�s algarismos � 100 e o maior � 999.
Temos ent�o:
100: 47 = 2,1276...     e    999 : 47 = 21,2513...

Ent�o, p pode variar de 3 at� 21, admitindo portanto 21-3+1 = 19 valores poss�veis, ou seja de 3 a 21 existem 19 n�meros e, portanto, existir�o 19 n�meros  n  que satisfazem ao problema e, em conseq��ncia, existir�o tamb�m 19 n�meros N que satisfazem ao problema proposto, o que nos leva tranq�ilamente � alternativa B.

Se voc� quiser saber quais s�o os 19 n�meros que satisfazem ao problema apresentado, basta substituir o valor de n = 47p na express�o geral do n�mero N = n.10³ / 188 e fazer p variar de 3 at� 21.

Teremos: N = n.10³ + 188 = 47p. 10³ + 188 = 47000p + 188. Fazendo p variar de 3 at� 21, podemos construir a tabela a seguir:

p	N
3	141188
4	188188
5	235188
6	282188
7	329188
8	376188
9	423188
10	470188
11	517188
12	564188
13	611188
14	658188
15	705188
16	752188
17	799188
18	846188
19	893188
20	940188
21	987188

Observe que os n�meros que satisfazem ao problema formam uma 
Progress�o Aritm�tica de primeiro termo 141188, �ltimo termo 987188 e raz�o 47000.

Agora resolva este:

Quantos s�o os n�meros de seis algarismos que s�o m�ltiplos de 356 e terminam
em 356?
a) 10          b) 11           c) 21            d) 356             e) 33

Resposta: A

Nota: O t�tulo deste arquivo � uma simpl�ssima E singela homenagem ao grande escritor brasileiro - Afonso Henrique de LIMA BARRETO - 1881/1922 - um escritor quase esquecido!  Aprovado no vestibular em 1896 para Engenharia na ent�o Escola Polit�cnica - RJ, teve que abandonar o curso em 1902 devido a graves problemas familiares: o seu pai enlouquecera!

Principais obras :
1904 - Clara dos Anjos
1909 - Recorda��es do escriv�o Isa�as Caminha
1915 - O triste fim de Policarpo Quaresma
1915 - Numa e ninfa
1919 - Vida e morte de M. J. Gonzaga de S�
1920 - Hist�rias e sonhos
O homem que sabia javan�s (conto) - publicado postumamente.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 01 de dezembro de 2002. 

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