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An�lise do pre�o de uma torta de ma�� |
UEFS
2002.2 – Uma torta de maçã de 25 cm de diâmetro
é vendida por R$30,00, e uma de 30 cm, por R$40,00. Sabe-se
que esses preços são obtidos pela equação
P = k.d2+D , onde D são as despesas gerais, k
uma constante real não nula, e P, o preço de venda da
torta. Se D não varia com o diâmetro da torta, então
o quociente D / k, em reais, é igual a:
A) 100
B)
200
C) 250
D) 300
E) 400
Solução
:
Da simples leitura do enunciado, poderemos escrever:
P
= k.d2 + D
Sendo P = R$30,00, o diâmetro da torta
mede 25 cm
Sendo P = R$40,00, o diâmetro da torta mede 30
cm
Substituindo, fica:
30 = k.252 + D
40
= k.302 + D
Subtraindo as igualdades, membro a
membro, vem:
40 – 30 = k.302 + D – k.252
– D
10 = k.302 – k.252
10 =
k.(302 – 252)
Lembrando que a2
– b2 = (a + b) (a – b), podemos simplificar o
cálculo acima:
10 = k.(30 + 25)(30 – 25)
10 =
k.55.5
10 = k.275
Daí tiramos k = 10 / 275
Para
determinar o valor de D, voltemos a uma das igualdades acima:
40
= k.302 + D
Substituindo o valor encontrado para k,
teremos:
40 = (10 / 275).900 + D , de onde concluímos que o
valor de D será:
D = 40 – (10 / 275).900
D = 40 –
9000 / 275
D = (40.275 / 275) – 9000 / 275
D = 11000 / 275
– 9000 / 275
D = 2000 / 275
Logo, o quociente D / k
procurado, será igual a:
D / k = (2000 / 275) / (10 /
275) = 2000 / 10 = 200
Portanto, a alternativa correta é
a de letra B.
Agora resolva
este:
Qual o preço a ser cobrado por uma torta
de 1m de diâmetro, considerando-se os dados do problema
anterior ?
Resposta : P =
k.d2 + D = (10 / 275).d2 + (2000 / 275)
Faça
agora d = 1m = 100 cm e conclua que a torta custaria aproximadamente
R$390,91.
Agora uma pergunta:
você pagaria quase R$400,00 por uma torta de um metro de
diâmetro? Provavelmente e usando o bom senso, não! O
cálculo entretanto, está absolutamente correto. O
problema é que o modelo adotado (a equação P =
k.d2 + D para o cálculo do preço da torta) ,
deve funcionar para valores razoáveis do diâmetro d
da torta. Por exemplo, não obstante ser possível usar a
fórmula P = k.d2 + D para o cálculo do preço
de uma torta de 10000 metros de diâmetro, não seria
razoável fazê-lo, pois isto iria contrariar o bom senso
! Uma torta de 10000 m de diâmetro não pode existir
fisicamente !
De uma forma geral, ao se adotar um modelo
matemático para a descrição de um determinado
problema, deve-se sempre atentar para os limites possíveis das
variáveis envolvidas. O conjunto dos valores possíveis
para uma variável é comumente conhecido como campo de
definição ou domínio.
Paulo
Marques, Feira de Santana – BA – 11 de agosto de 2002.