Uma questão muito trabalhosa no concurso da Caixa Econômica Federal em jun/2008

Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?
A) 289
B) 300
C) 420
D) 448
E) 481

Solução:

Fui exaustivamente consultado através e-mail sobre esta questão, que foi aquela de número 10 numa prova de concurso da CEF - Caixa Econômica Federal em junho deste ano 2008. Confesso que não encontrei método indireto ou fórmula, como sugeriram alguns visitantes para a solução do problema proposto, a não ser a contagem direta, precedida de algumas observações pertinentes e relativas à distribuição do algarismo 1, na seqüência numérica  (1,2,3,4, 5, ... 99, 100, 101, ... , 1000, 1001, ... , 1111).
Vamos à solução:
Considere os números nos quais o algarismo 1 aparece na seqüência dada no problema:

1 a 10 : o algarismo 1 comparece 2 vezes.
11 a 19: o algarismo 1 comparece 10 vezes. (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)
20 a 99: o algarismo 1 comparece 8 vezes. (21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91)
Então, até aqui concluímos que de 1 a 99, o algarismo 1 comparece 20 vezes. 
Nota: Sinto-me agora, de uma certa forma ridículo , rarará... , por estar contando igual a um aluno das primeiras letras! Acho que uma questão deste tipo não deveria constar de um concurso onde milhares de pessoas disputam um emprego. 
Uma grande maldade com os candidatos!

Continuando!
100 a 109 : o algarismo 1 aparece 11 vezes. (100,101,102,103,104,105,106,107, 108, 109)
110 a 119 : o algarismo 1 aparece 21 vezes. (110,111,112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119)
Então, até aqui concluímos que de 100 a 119, o algarismo 1 comparece 32 vezes.

Poderemos concluir então que de 1 a 119, o algarismo 1 comparece 20 + 32 = 52 vezes.

Agora observe que:
120 a 129 : o algarismo 1 comparece 11 vezes. (120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129)
130 a 139 : o algarismo 1 comparece 11 vezes. (130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139)
e assim sucessivamente, até 199.
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190 a 199 : o algarismo 1 comparece 11 vezes. (190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199)

Ora, de 120 a 190, existem 8 seqüências pois a Progressão Aritmética de razão 10  :: (120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190) possui 8 termos. Então, como em cada seqüência o algarismo 1 comparece 11 vezes, teremos no total 8.11 = 88 vezes.
Então, até aqui concluímos que de 1 a 199, o algarismo 1 comparece 52 + 88 = 140 vezes.
Ô probleminha chato, sô!
Agora observe o que segue:
Nas seqüências
200 a 299 : o algarismo 1 comparece 20 vezes.
300 a 399 : o algarismo 1 comparece 20 vezes.
e assim sucessivamente, até 999.
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900 a 999 : o algarismo 1 comparece 20 vezes. 
Ora, de 200 a 900, existem 8 seqüências pois a Progressão Aritmética de razão 100  :: (200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900) possui 8 termos. Então, como em cada seqüência o algarismo 1 comparece 20 vezes, teremos no total 8.20 = 160 vezes.
Então, até aqui concluímos que de 1 a 999, o algarismo 1 comparece 140 + 160 = 300 vezes.
Nota: observe que à esta altura do campeonato, já poderiam ser eliminadas as alternativas A e B (Ou meu Deus: porquê não gosto do B? Será que o meu FLU vai cair para a série B? DEUS proverá!) do problema proposto!
A alternativa A é 289 e a alternativa B é 300. Ora, 289 é menor que 300 e a alternativa 300 não pode ser, pois ainda faltam algarismos para contar!
Você teria que escolher agora, 1 em 3 alternativas, ou seja: a probabilidade de acerto já seria igual a 1/3 = 0,3333... =, 33,33%, muito maior em relação à probabilidade inicial de acerto (1 em 5 alternativas) = 1/5 = 0,20 = 20% .  Você pode até achar pouco mas, isto significa um incremento (aumento) de aproximadamente 67% na probabilidade de acertar no "chute"! Mas, vamos deixar o "chute" em segundo plano; afinal, não somos jogadores de futebol. (rarará...) Vamos deixar o "chute" para os atacantes do Fluminense - RJ, para que o FLU não caia para série B! Com fé em DEUS, não cairemos neste ano e em nenhum outro por mais distante que seja: Deus proverá! Mas, os jogadores do Fluminense também terão que fazer a sua parte! rarará...

Continuemos! tem muito mais serviço!
Vamos agora, analisar os números inteiros a partir de 1000.
Agora observe o que segue:
Nas seqüências
1000 a 1009 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
1010 a 1019 : o algarismo 1 comparece 21 vezes.
Então, até aqui concluímos que de 1 a 1019, o algarismo 1 comparece 300 + 11 + 21 = 332 vezes.
Agora observe novamente que:
1020 a 1029 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
1030 a 1039 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
e assim sucessivamente, até 1099.
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1090 a 1099 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.

Ora, de 1020 a 1090, existem 8 seqüências pois a Progressão Aritmética de razão 10  :: (1020, 1030, 1040, 1050, 1060, 1070, 1080, 1090) possui 8 termos. Então, como em cada seqüência o algarismo 1 comparece 11 vezes, teremos no total 8.11 = 88 vezes.
Então, até aqui concluímos que de 1 a 1099, o algarismo 1 comparece 332 + 88 = 420 vezes.
Nota: olhando as alternativas, você percebe que a alternativa C (420) não pode ser a verdadeira, pois ainda faltam algarismos a contar. Só restam duas alternativas: D e E; agora, sua probabilidade de acertar no "chute" é de 1 em 2 ou seja, 1/2 = 0,50 = 50%! A coisa está melhorando, sô! (neste sotaque mineiro a coisa vai longe! meus amigos de Minas Gerais entenderão a homenagem!).

Quase que eu perdia a conta! mas estamos agora faltando analisar a partir de 1100!
1100 a 1109 : o algarismo 1 comparece 21 vezes.
1110 a 1111 : o algarismo 1 comparece 7 vezes.
Então, concluímos finalmente que de 1 a 1111, o algarismo 1 comparece 420 + 21 + 7  = 448 vezes.
Portanto, isto nos leva tranquilamente (e bota tranqüilo nisto!) à alternativa correta: D.

Se alguém arranjar outro método de solução, tenho grande interesse em conhecer.
Comentário: p'ra que tanta perversidade  num concurso de primeiro emprego para uma grande parte dos brasileiros?  Fica aqui a minha sugestão: os autores da questão deveriam  fazer a mesma prova junto com os concorrentes! Com um diferencial: fazer a mesma prova na metade do tempo disponibilizado para os simples mortais!

Paulo Marques, 17/11/2008 - Feira de Santana - BA.

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