Um ciclo de confer�ncias no Rio Grande do Norte, e tamb�m na Bahia

Em um ciclo de tr�s confer�ncias que ocorreram em hor�rios distintos, havia sempre o mesmo n�mero de pessoas assistindo a cada uma delas. Sabe-se que a metade dos que compareceram � primeira confer�ncia n�o foi a mais nenhuma outra; um ter�o dos que compareceram � segunda confer�ncia assistiu a apenas ela e um quarto dos que compareceram � terceira confer�ncia n�o assistiu nem a primeira nem a segunda. Sabendo ainda que havia um total de 300 pessoas participando do ciclo de confer�ncias, e que cada uma assistiu a pelo menos uma confer�ncia, o n�mero de pessoas em cada confer�ncia foi:

a) 180   
b) 80    
*c) 156    
d) 210    
e) 96

Solu��o:  Veja o diagrama de Venn a seguir, que ilustra os dados do enunciado.
Nota: John Venn - matem�tico ingl�s - 1834 - 1923.

Seja P o n�mero de pessoas que compareceram a cada uma das confer�ncias. Do enunciado da quest�o e lembrando que o mesmo n�mero de pessoas ( P )compareceram �s tr�s confer�ncias, poderemos escrever, com base na figura acima:

P/2 + x + y + t = P
P/3 + x + y + z = P
P/4 + x + z + t = P

Lembrando que o n�mero total de pessoas � igual a 300, � l�cito escrever tamb�m:

P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

Efetuando todas as opera��es indicadas em rela��o a P nas equa��es acima e arrumando, fica:

x + y + t = P/2
x + y + z = 2P/3
x + z + t = 3P/4
x + y + z + t = 300 � 13P/12

Substituindo o valor de x +  y + t = P/2 na equa��o x + y + z + t = 300 � 13P/12, fica:

P/2 + z = 300 � 13P/12, de onde vem: z = 300 � 19P/12
Substituindo o valor de x + y + z = 2P/3 na equa��o x + y + z + t = 300 � 13P/12, fica:
2P/3 + t = 300 � 13P/12, de onde vem: t = 300 � 21P/12

Substituindo o valor de x + z + t = 3P/4 na equa��o x + y + z + t = 300 � 13P/12, fica:
3P/4 + y = 300 � 13P/12, de onde vem: y = 300 � 22P/12

Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equa��o
x + y + z + t = 300 � 13P/12, vem:

x + (300 � 22P/12) + (300 � 19P/12) + (300 � 21P/12) = 300 � 13P/12
Desenvolvendo e simplificando a express�o acima, vem:
x + 900 � 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 � 13P/12
x + 600 = 49P/12
x = 49P/12 � 600

Em resumo:
x = 49P/12 � 600
y = 300 � 22P/12
z = 300 � 19P/12
t = 300 � 21P/12

Ora, como x, y, z e t  referem-se a quantidade de pessoas, ser�o necessariamente n�meros inteiros e positivos ou seja: x > 0, y > 0, 
z > 0 e t > 0. Observe tamb�m que nas express�es de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, 
para que x, y, z e t sejam inteiros, P dever� ser necessariamente um m�ltiplo de 12.

Ent�o poderemos escrever:
49P/12 � 600 > 0  , logo,  49P/12 > 600 , logo, 49P > 7200 , logo, P > 7200/49 e, portanto P > 146,93

Analogamente,
300 � 22P/12 > 0 , logo, 300 > 22P/12  , logo,  22P/12 < 300  , logo, 22P < 3600 e, portanto P < 163,63

E, tamb�m,
300 � 19P/12 > 0 , logo, 300 > 19P/12  , logo,  19P/12 < 300  , logo,   19P < 3600 e, portanto P < 189,47

E, finalmente,
300 � 21P/12 > 0  , logo,  300 > 21P/12 , logo,  21P/12 < 300  , logo, 21P < 3600  , e , portanto P < 171,42

Logo, o valor de P tem que ser inteiro e m�ltiplo de 12 e atender simultaneamente �s desigualdades P > 146,93  e  P < 163,63  e  
P < 189,47  e P < 171,42. Ent�o, o valor de P � um n�mero m�ltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
A sucess�o de inteiros que satisfazem � segunda condi��o �:
147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163.
Destes, o �nico que � m�ltiplo de 12 � 156, que � a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta � a de letra C.

Uma outra pergunta: quantas pessoas assistiram �s tr�s confer�ncias?
Agora � f�cil: observando a figura abaixo, este n�mero ser� igual a x.
 

Ora, j� sabemos que P = 156 e x = 49P/12 � 600.
Ent�o, substituindo, vem: x = 49.156/12 � 600 = 637 � 600 = 37
Portanto, 37 pessoas assistiram as tr�s confer�ncias.

Uma outra forma de solu��o para este problema:
O problema acima foi enviado pelos Professores Jo�o Mesquita e  Carlos Gomes,  de Natal � Rio Grande do Norte � RN. Agradecemos aos diletos amigos a contribui��o ao site www.paulomarques.com.br . 
Vamos reproduzir a seguir, a solu��o do mesmo problema apresentada pelos citados Professores.

 Colocando as informa��es do enunciado em um diagrama e designando de x, y, z e t as regi�es desconhecidas e n�o citadas, teremos:

 

A partir da� podemos escrever:

y = 300 - (P + P/2 + P/3) = 300 - 11P/6
z = 300 - (P + P/3 + P/4) = 300 - 19P/12
t = 300 - (P + P/2 + P/4) = 300 - 7P/4

E ainda, x = P/2 - (y + t) = P/2 - (600 - 11P/6 - 7P/4) = 49P/12 - 600

Os n�meros  x, y, t, z representam inteiros; ent�o P  representa um m�ltiplo de 12. Chamemos P = 12k

Da�,

y = 300 - 22k
z = 300 - 19k
t = 300 - 21k
x = 49k - 600

Mas, esses n�meros s�o inteiros positivos, o que implica:

300 - 22k > 0 , logo k < 13,63
300 - 19k > 0, logo  k < 15,78
300 - 21k > 0, logo  k < 14,28
49k - 600 > 0, logo  k > 12,24

O �nico inteiro com essa caracter�stica � k = 13 e,  assim, como P = 12k fica  P = 12.13 = 156.
Carlos Gomes - Jo�o Mesquita - novembro 2007, Natal - RN

Agora resolva os seguintes:

1 - Com base nos dados do problema anterior, qual o n�mero de pessoas que assistiram a apenas uma confer�ncia?
Resposta: 169

2 - UNEB-1997 - Um minicurso foi dado em tr�s dias. Feito um levantamento nas listas de freq��ncia, observou-se que, em cada dia, o n�mero de presentes foi sempre o mesmo. No entanto, 5 participantes frequentaram-no apenas no primeiro dia;  2, apenas no segundo; 1, apenas no terceiro; 42, no primeiro e segundo dias e 40, nos tr�s dias. O n�mero de presentes, no primeiro dia de curso, correspondeu a:
(01) 47
(02) 49
*(03) 50
(04) 54
(05) 56
Dica: n�o esque�a de desenhar o diagrama de Venn (John Venn - matem�tico ingl�s - 1834 - 1923) para facilitar a solu��o.
Nota: este � bem mais direto e f�cil, do que o exerc�cio que foi resolvido acima. (UNEB = Universidade do Estado da Bahia).
Resposta: 50 pessoas estiveram presentes no primeiro dia de curso.

Feira de Santana, 01 de dezembro de 2007 � Paulo Marques - revisado e ampliado em 01/03/2008.

VOLTAR