Calcule o valor da fun��o

Seja f  uma fun��o tal que  f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2  para todo  n  inteiro positivo  e 
f(1) = 2.  Nestas condi��es, o valor de f(101)  �:

(a) 102
(b) 101
(c) 86
(d) 76
(e) 52

Solu��o:

Teremos, fazendo n = 1, 2, 3, 4, ... na express�o  f(n+1) = [(2.f(n) + 1) / 2:

n = 1 �  f(1 + 1) = f(2) = [2.f(1) + 1] / 2 = [2.2 + 1] / 2 = 5 / 2
n = 2 �  f(2 + 1) = f(3) = [2.f(2) + 1] / 2 = [2.(5 / 2) + 1] / 2 = 3
n = 3 �  f(3 + 1) = f(4) = [2.f(3) + 1] / 2 = [2.3 + 1] / 2 = 7 / 2
n = 4 �  f(4 + 1) = f(5) = [2.f(4) + 1] / 2 = [2.(7 / 2) + 1] / 2 = 4
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Vamos resumir os valores obtidos acima:

f(1) = 2 = 4 / 2
f(2) = 5 / 2
f(3) = 3 = 6 / 2
f(4) = 7 / 2
f(5) = 4 = 8 / 2
........................
........................

Observe que o denominador � sempre 2 e o numerador � o valor de n acrescido de 3 unidades, pois:

f(1) = 4 / 2   e  4 = 1 + 3
f(2) = 5 / 2   e  5 = 2 + 3
f(3) = 6 / 2   e  6 = 3 + 3
f(4) = 7 / 2   e  7 = 4 + 3
f(5) = 8 / 2   e  8 = 5 + 3
.......................................
.......................................

Observe que a lei de forma��o para um n inteiro positivo qualquer ser� ent�o
f(n) = (n + 3) / 2

Portanto, o valor de f(101) ser� obtido fazendo n = 101, o que resulta:

f(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52

Agora resolva este:

Seja f  uma fun��o tal que  f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2  para todo  n  inteiro positivo  e 
f(1) = 2.  Nestas condi��es, determine o valor de f(105) + f(109).

Resposta: 110


Paulo Marques, 15 de dezembro de 2002 – Feira de Santana – BA.

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