Se 70%
de uma certa população gosta de samba, 75% de
chorinho, 80% de bolero e 35% de rock, a percentagem mínima
dessa população que gosta de samba, chorinho,
bolero e rock é igual a:
A)
5%
B) 10%
C) 15%
D) 1%
E) faltam dados para a
resposta
Solução:
Notas:
a)
samba = música popular brasileira, de origem africana.
b)
bolero = música de origem espanhola.
c)
chorinho = muito provavelmente, o primeiro ritmo genuinamente
brasileiro.
d) rock
= música de origem nos EUA.
Vi
esta questão, proposta numa apostila antiga (década
de 90), informando que teria sido aplicada numa prova da Escola
Naval, sem especificar o ano. A resposta atribuída à
questão naquela antiga apostila (já com sinais de
traças) era 10%.
Fundamentado num argumento bastante
simples, sugerido por um visitante ilustre do site - Hélio
Fragoso - , vou compartilhar com vocês a solução
simples sugerida pelo ilustre professor, com
algumas adaptações minhas.
Apresentarei
inclusive ao final do arquivo, minhas considerações
sobre a questão, evidenciando a veracidade do método
simples utilizado. A resposta 10% da quase antiga apostila está errada.
Sejam
os conjuntos:
S = população que gosta de
samba
C =
população que gosta de chorinho
B =
população que gosta de bolero
R =
população que gosta de rock
P = população
total
Se 80% da população gosta de bolero e 75%
gosta de chorinho e como a soma dessas porcentagens excede 100%, no
mínimo, 55% da população gosta de bolero e
chorinho (80 + 75 – 100 = 55).
Nota:
lembre-se que a fórmula do n�mero de elementos da união de dois conjuntos
A e B é dada por:
n(AUB) = n(A) +
n(B) – n(A Ç B)
Logo,
100%P = 80%P + 75%P – n(A Ç
B) \
n(A Ç B) = 55%P onde P � a popula��o total.
Fazendo
o mesmo raciocínio para as seis combinações
possíveis tomadas duas a duas das quatro formas de música
, teremos o quadro seguinte:
Lembre-se
que pelo enunciado 70% da população gosta de
samba, 75% de chorinho, 80% de bolero e 35% de rock.
Ora,
como para gostar dos quatro gêneros de música é
preciso gostar de samba e rock e 5% é a mínima
porcentagem da população que gosta de samba e rock,
esta é também a mínima porcentagem da população
que gosta dos quatro gêneros de música.
Portanto, a
resposta correta é a alternativa A .
Como uma forma
de verificar esta solução apresentada pelo Prof.
Fragoso, construí o seguinte
raciocínio, aparentemente complicado mas, inteiramente
válido:
Considerando-se que, sendo P a população
total, S = {samba}, C = {chorinho},
B = {bolero} e R = { rock} ,
é verdadeiro pelo enunciado que:
0,70P = n(S), de onde vem P = n(S) / 0,70
0,75P = n(C), de onde vem P = n(C) / 0,75
0,80P = n(B), de onde vem P = n(B) / 0,80
0,35P = n(R), de onde vem P = n(R) / 0,35
Portanto, poderemos escrever:
P = n(S) / 0,70 = n(C) / 0,75 = n(B) / 0,80 = n(R) / 0,35
Daí, vem por
uma das propriedades das proporções, que:
n(S)/0,70 = n(C)/0,75 = n(B)/0,80 = n(R)/0,35 = [(n(S)+ n(C)+ n(B)+ n(R)] / [0,70 + 0,75 + 0,80 + 0,35]
=
[(n(S) + n(C) + n(B) + n(R)] / 2,60
Usando a primeira
igualdade (realçada em negrito) do conjunto de
igualdades acima:
n(S) /
0,70 = [(n(S) + n(C) + n(B) + n(R)] / 2,60
Daí,
vem:
2,60 n(S) = 0,70 [(n(S) + n(C) + n(B) + n(R)]
2,60 n(S) =
0,70 n(S) + 0,70 n(C) + 0,70 n(B) + 0,70 n( R)
Igualando a
zero:
2,60 n(S) - 0,70 [(n(S) – 0,70 n(C) – 0,70 n(B) –
0,70 n(R) = 0
1,90 n(S) – 0,70 n(C) – 0,70 n(B) –
0,70 n(R) = 0.
Ou,
de forma equivalente:
- 1,90
n(S) + 0,70 n(C) + 0,70 n(B) + 0,70 n(R) = 0
Procedendo de
forma análoga, usando as igualdades acima uma a uma,
chegaremos ao seguinte sistema linear
homogêneo de quatro equações e quatro
incógnitas:
-
1,90n(S) + 0,70n(C) + 0,70n(B) + 0,70n(R) = 0
0,75 n(S) –1,85
n(C) + 0,75n(B) + 0,75n(R) = 0
0,80 n(S) + 0,80n(C) –1,80n(B)
+ 0,80n(R) = 0
0,35 n(S) + 0,35n(C) + 0,35n(B) – 2,25n(R) =
0
cuja solução geral são as quádruplas
do tipo [(2k), (15k / 7), (16k / 7), (k)] sendo k um
número real.
Nota:
usei um software (que roda no modo DOS) para resolver o sistema
linear acima.
Manualmente, a solução deste sistema
linear seria um verdadeiro suplício!!!. O responsável
pelo suplício são os coeficientes decimais das
equações. O software que usei – LINSYS
- , obtive na Internet. Não coloquei o link porque os links
na WEB mudam freqüentemente de lugar. Porém, digitando
linsys num programa de busca, você certamente
encontrará páginas que disponibilizam este software
simples e bastante útil.
Voltando à questão:
Por exemplo:
Fazendo k =
35, teremos a quadra (70, 75, 80, 35) e P = 100.(a população
total é igual a 100% de P)
Para facilitar a
construção de conjuntos que atendam ao problema , fiz k =7, obtendo a quadra
(14, 15, 16, 7) e P = 20, o que mantém
os mesmos percentuais relativos do problema proposto,
pois 14/20
= 0,70, 15/20 = 0,75, 16/20 = 0,80 e 7/20 = 0,35.
Então,
construí os seguintes conjuntos, sendo A i
uma pessoa i da população P:
S = {samba}
= {A1, A2, A3, ... , A14}
C
= {chorinho} = {A1, A2, A3, ... ,
A14, A15}
B = {bolero} = {A1,
A2, ... , A15, A16}
R = {rock} =
{A14, A15, A16, A17,
A18, A19, A20}
Observe
que:
S Ç C Ç
B Ç R = {A14}
(um elemento) e
S U C U B U R = {A1, A2,
... , A20} (20 elementos).
Ora, se a
interseção dos quatro conjuntos possui apenas um
elemento e a união dos quatro conjuntos possui vinte
elementos, então 1/20 = 0,05 = 5%.
Se a resposta correta fosse
"no m�nimo 10%" (como sugerida na apostila antiga), teríamos
10% de
20 = 2., que conflita inapelavelmente com a quantidade 1,
encontrada logicamente acima para a interse��o.
Logo, a
resposta 10% não pode estar correta.
O problema
proposto não é tão simples assim como parece à
primeira vista!
Nota : o
título atribuído ao arquivo – DesenROCK-se
– é de uma música do grande cantor e compositor
de Irará – BA – do Brasil e do Mundo, TOM
ZÉ. Uma singela homenagem a Tom
Zé, um gênio baiano da música!.
Paulo
Marques, 12 de outubro de 2004 - Feira de Santana - BA - revisado e
ampliado em 16 /11/2008.