Um expoente no Colégio Naval

Considere as igualdades abaixo:

 

O valor de 4x² - 3y² é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Nota: Questão do Colégio Naval – 1997.

Solução:

Vamos inicialmente recorrer ao produto notável
(a + b) (a – b) = a² – b²

Observe que segundo a igualdade do produto notável acima, poderemos escrever:
(2 + Ö 3) (2 – Ö 3) = 2² – (Ö 3)² = 4 – 3 = 1

Então, é fácil concluir que 2 – Ö 3 = 1/ (2 + Ö 3)
Fazendo (2 + Ö 3)¹⁹⁹⁷ = k , poderemos concluir que:

(2 – Ö 3)¹⁹⁹⁷ = [1 / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1¹⁹⁹⁷ / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1 / (2 + Ö 3)]¹⁹⁹⁷ = 1 / k

Substituindo em x e y acima, teremos:

Entao, b = 4x² – 3y² = (k+1/k)² – (k-1/k)² = k² + 2 + (1/k)² – (k² – 2 + (1/k)²
b = k² + 2 + (1 / k)² – k² + 2 – (1 / k)²
Efetuando as operações indicadas, vem finalmente: b = 4, o que nos leva tranqüilamente à alternativa E.

Paulo Marques – 07 de setembro de 2002 – Feira de Santana – BA.

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