A gênese das escalas musicais
A gênese das escalas musicais
A história do desenvolvimento das escalas musicais ocidentais é um problema interessante de matemática. Quem quiser se aprofundar pode procurar na Internet que tem muita coisa (wikipedia.org). Ou então sei lá, algum livro de harmonia aí... Mas o básico é o seguinte:
A primeira escala cromática (de 12 notas) criada foi a pitagórica. É atribuída, naturalmente, aos pitagóricos. A idéia básica é:
- Qualquer nota é "equivalente" à mesma nota com o dobro ou metade da freqüência.
- Qualquer nota com o triplo da freqüência de outra, também é uma nota da escala.
Isso é claro, tem a ver com as freqüências harmônicas... Análise de Fourier!...
Os gregos antigos não necessariamente pensavam em termos de freqüência. Pra eles o que importava era o comprimento das cordas que eles amarravam em liras, aplicando a mesma tensão nelas. Ou seja, é dos comprimentos das cordas que surgiu toda a teoria inicial...
Enfim, de acordo com as regras acima, é possível criar-se um procedimento para se obter todas as notas da escala pitagórica:
- Primeiro escolhe-se um comprimento/freqüência que será a nota principal.
- A seguir, acrescenta-se na escala uma nota com um terço do comprimento, ou 3 vezes a
- Freqüência.
- Para manter as cordas na mesma "ordem de grandeza", ao invés de ficar utilizando a cordas com um terço ou um nono do tamanho da última nota, utiliza-se à nota correspondente, com o comprimento multiplicado por 2 ou 4...
Em termos matemáticos mais simples, o que estamos fazendo é gerando uma seqüência exponencial, de base 3. Depois basta arredondar tudo pra mesma oitava... (ou seja, dividir a freq. por dois até ficar menor do que o dobro da nota fundamental).
Vamos pegar, por exemplo, uma nota fundamental de 261 Hz... As freqüências que obteríamos no processo seriam:
Freqüencia
|
| 0.00 261.00 - do
| 7.02 391.50 - sol
| 2.04 293.63 - re
| 9.06 440.44 - la
|
| 4.08 330.33 - mi
| 11.10 495.49 - si
| 6.12 371.62 - fa#
| 1.14 278.71 - do#
|
| 8.16 418.07 - sol#
| 3.18 313.55 - re#
| 10.20 470.33 - la#
| 5.22 352.75 - fa ("mi#")
| 0.23 264.56 - do?????
|
Surpresa!... As primeiras notas do processo são as nossas "teclas brancas do piano", exceto o fá, e mais pra frente à gente acaba caindo nessa nota de 264Hz... Os pitagóricos, coitados, acreditavam que tinham esbarrado no próprio dó de novo, e perderam horas de sono tentando provar que a sérierealmente se repetia. Mas infelizmente as proporções exatas e belas que eles perseguiam não são tão perfeitas quanto se imaginava.
Em alguns anos se percebeu que o sistema pitagóricos, apesar de fornecer a escala mais consoante possível para uma certa nota, não presta se você quiser tocar em tons diferentes daquele em que o instrumento foi afinado. Outras escalas com proporções diferentes chegaram a ser criadas, desafinando a escala pitagórica pra criar uma escala mais genérica.
A música barroca mais moderna começou a exigir a escala "bem temperada". É isso que é o "cravo bem temperado " do Bach!... Nessa escala, a proporção utilizada para se encontrar as outras notas é 2^(1/12). Assim garantimos que a décima segunda nota é EXATAMENTE o dobro da freqüência da nota fundamental.
É interessante analisar o erro da escala pitagórica em comparação com a escala bem-temperada. Na tabelinha acima, a primeira coluna é o valor da nota em "semitons bem-temperados" a partir da tônica. Dá pra ver que o erro vai crescendo... No final temos um erro de um quarto de semitom, que já é bastante desafinado...
A proporção fundamental da escala pitagórica (entre o dó o sol) é o Intervalo conhecido como "uma quinta". Quem sabe um mínimo de harmonia conhece a importância desse intervalo. É interessante ver o que acontece com esse intervalo na escala bem-temperada. Na pitagórica, a proporção era de 3,0000 vezes, e na escala bem-temperada vira 2^(19/12)=2,9966. Do ponto de vista da escala pitagórica, esse é que será o erro que vai ser acumulado.
Hoje em dia ainda é comum músicos utilizarem a escala pitagórica. Violinistas, por exemplo, podem afinar os violinos desta forma quando a música é predominantemente em um único tom. Isso acontece muito no período romântico, se não me engano. Mas pra música barroca e dodecafônica, isso fica inviável. Notem que o motivo da escala cromática ter 12 semitons é que esse é o número de iterações necessárias na escala pitagórica pra esbarrar de novo em uma freqüência muito próxima da fundamental. Ninguém definiu que a escala cromática deveria ter 12 semitons, ou que a escala diatônica deveria ter 7 notas... Tudo surgiu a partir da relação pitagórica que tem a ver com a exploração de uma relação entre freqüências que soa agradável. Hoje sabemos que a agradabilidade se deve ao fato das notas terem freqüências harmônicas em comum.
Existem várias outras escalas, algumas chegando a 55 ou 72 semitons por oitava. Aí a divisão já começa a desafiar o próprio limiar humano de discriminação de notas...