Apéndice
Calculadores famosos
En el capítulo segundo de este libro, destacamos el párrafo siguiente:
“E indicando una pequeña higuera que se alzaba a poca distancia, prosiguió:
—Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientos ochenta y ocho ramas. Sabiendo que cada rama tiene por término medio trescientas cuarenta y siete hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas. ¿Será cierto, amigo mío?”
El Calculador efectuó en este caso mentalmente el producto de 284 por 347. Esta operación se considera por muy simple ante los cálculos prodigiosos que efectúan los calculadores famosos.
El americano Arthur Griffith, nacido en el Estado de Indiana, efectuaba mentalmente en veinte segundos, la multiplicación de dos números cualesquiera, de nueve cifras cada uno. En este tipo de cálculo, hay que recordar a un alemán: Zacarías Dase, que inició a los quince años la brillante carrera de calculador. Dase superó los mayores prodigios operando con números astronómicos. Los calculadores más hábiles no multiplican en general factores que presenten más de treinta cifras, pero Dase rebasaba este número.
En el siglo XVII, el inglés Jadedish Buxton consiguió efectuar una multiplicación en la que figuraban 42 cifras en cada uno de los factores. Esta proeza era considerada insuperable. Dase, sin embargo, determinaba mentalmente el producto exacto de dos factores con 100 cifras cada uno. Para la extracción de la raíz cuadrada de un número de 80 a 100 cifras, necesitaba solo 42 minutos; y esta complicada operación la efectuaba mentalmente del principio al fin. Dase aplicó su prodigiosa habilidad de calculador a la continuación de los trabajos sobre las tablas de números primos de Burckhard para los números comprendidos entre 7.000.000 y 10.000.000.
Es curioso constatar que los conocimientos de Dase se limitaban a las reglas del cálculo. En lo demás, su ignorancia era lamentable. Esta circunstancia se repite, por lo general, en muchos de los casos de calculadores prodigiosos.
A partir de estos calculadores citados, hubo otros muchos famosos por sus prodigios. Citemos tan solo los siguientes: Maurice Dagobert, francés; Tom Fuller, norteamericano; Giacomo Inaudi, italiano; etc…
Los árabes y las Matemáticas
La contribución de los árabes al progreso de la Matemática fue notable. No solo por las traducciones y amplia divulgación de las obras de Euclides, de Menelao, de Apolunio, etc., sino también por las notables renovaciones metodológicas en el cálculo numérico (sistema indo—arábigo).
La invención del cero, por ejemplo, se atribuye a un árabe. Mohammed Ibn Ahmad (siglo X), que aconsejaba en su libro Llave de la Ciencia: “Siempre que no haya un número para representar las decenas, póngase un pequeño círculo para ocupar el lugar”.
Los árabes contribuyeron poderosamente al progreso de la Aritmética, del Álgebra, de la Astronomía, e inventaron la Trigonometría plana y la Trigonometría esférica.
Es difícil valorar adecuadamente lo que nuestra civilización debe a los árabes en los amplios dominios del progreso científico.
Los filósofos Federico Enriques y G. de Santillana, en el libro Pequena Historia do Pensamento Cientifico exaltan sin exageración, antes bien, con juiciosos fundamentos, el notable papel representado por los árabes en el engrandecimiento moral y material de la Humanidad.
A los árabes debemos por encima de todo, el advenimiento del Renacimiento en el periodo histórico en que se realizó.
Veamos lo que dicen los sabios Santillana y Enriques:
“Si los árabes fuesen bárbaros destructores como lo fueron los mongoles, nuestro Renacimiento se habría visto al menos terriblemente retrasado. Pero los estudiosos del Islam no dudaron en efectuar largas y costosas investigaciones a fin de consultar y coleccionar los preciosos textos antiguos”.
Y ya en aquel tiempo (1234) construyeron los árabes una Universidad:
“…verdadera ciudad de los estudios donde se proveían todas las necesidades de los estudiantes”.
La primera gran obra orientada dentro del pensamiento democrático (dato que muchos ignoran) fue el Corán:
“Aceptaban el Corán, pero querían que fuera lícito interpretarlo de forma compatible con un sistema de pensamiento puramente lógico.
Los puntos sobre los que se discutía pueden hoy parecernos bagatelas, pero en ellas se encerraban problemas filosóficos de amplio alcance, como el de la eternidad del mundo, de la casualidad, del tiempo, de la razón suficiente.”
Mientas entre los cristianos pontificaban los astrólogos y embusteros con sus charlatanerías, entre los árabes los astrónomos observaban el cielo y procuraban descubrir las leyes que rigen los infinitos de Allah:
“En una época en que del cielo solo venían oscuros terrones y presagios, el único punto del mundo en que se observaba el firmamento con precisa intención científica era el observatorio de Al Batani o de Nassir Eddin”.
El pueblo árabe, por su amor al estudio de las ciencias, especialmente de la Matemática y de la Astronomía, fue el pueblo que más colaboró para el progreso moral y material de la Humanidad. La Historia avala y certifica esta afirmación.
Algunos pensamientos elogiosos sobre la Matemática
La Matemática honra el espíritu humano. — LEIBNIZ.
He aquí la Matemática, la creación más original del ingenio humano. — WHITEHEAD.
Se advierte, entre los matemáticos, una imaginación asombrosa… Repetimos: existía más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero. — VOLTAIRE.
No hay ciencia que hable de las armonías de la Naturaleza con más claridad que las Matemáticas. — PAULO CARUS
Toda educación científica que no se inicia con la Matemática es imperfecta en su base. — AUGUSTO COMTE.
La Matemática no es una ciencia, sino la Ciencia. — FÉLIX AUERBACH.
La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números. — BLAVATSKY.
Toda mi Física no pasa de una Geometría. — DESCARTES.
El mundo está cada vez más dominado por la Matemática. — A. F. RAMBAUD.
La Matemática es la llave de oro que abre todas las ciencias. —DURUY.
Sin la Matemática no nos sería posible comprender muchos pasajes de las Sagradas Escrituras. — SAN AGUSTIN.
Una ciencia natural es, tan solo, una ciencia matemática. — KANT.
El que no conoce la Matemática muere sin conocer la verdad científica. —SCHELBACH.
Dios es el gran geómetra. Dios geometriza sin cesar. — PLATÓN.
Las leyes de la Naturaleza son solo pensamientos matemáticos de Dios. — KEPLER.
La Matemática posee una fuerza maravillosa capaz de hacernos comprender muchos misterios de nuestra Fe. — SAN JERONIMO.
La Matemática es el lenguaje de la precisión; es el vocabulario indispensable de aquello que conocemos. — WILLIAM F. WHITE.
La Matemática es el más maravilloso instrumento creado por el genio del hombre para el descubrimiento de la Verdad. — LASANT.
La Matemática es una ciencia poderosa y bella; problematiza al mismo tiempo la armonía divina del Universo y la grandeza del espíritu humano. — F. GOMES TEIXEIRA.
Todo aquello que han realizado a lo largo de los siglos las mayores inteligencias en relación con la comprensión de las formas por medio de conceptos precisos, está reunido en una gran ciencia: la Matemática. — J. M. HERBART.
La Ciencia, por el camino de a exactitud, solo tiene dos ojos: La Matemática y la Lógica. — DE MORGAN.
Por la certeza indudable de sus conclusiones, la Matemática constituye el ideal de la Ciencia. — BACON
La Matemática es la más simple, la más perfecta y la más antigua de las ciencias. — JACQUES HADAMARD.
La Matemática es aquella forma de inteligencia con cuyo auxilio traemos a los objetos del mundo de los fenómenos hacia el control de la concepción de la cantidad. — G. H. HOWISON.
La Matemática de un modo general, es fundamentalmente la ciencia de las cosas que son evidentes por sí mismas. — FELIX KLEIN.
La Matemática es el instrumento indispensable para cualquier investigación física. — BERTHELOT.
Sin la Matemática no sería posible la existencia de la Astronomía, sin los recursos prodigiosos de la Astronomía sería imposible la Navegación. Y la Navegación fue el factor máximo del progreso de la Humanidad. — AMOROSO COSTA.
Consideraciones sobre los problemas planteados
Si bien entendemos que las resoluciones dadas por el ingenioso Beremiz, el Hombre que Calculaba, habrán sido suficientemente inteligibles, para la comprensión total de cada uno de los problemas planteados a lo largo de esta obra y de sus correspondientes soluciones, no es menos cierto que éstas, han sido alcanzadas en la mayoría de los casos por métodos logísticos y deductivos, aunque no por ello, menos exactos.
No obstante para alguno de los problemas encontrábamos a faltar la solución rigurosamente matemática, es decir, ceñida al frío cálculo numérico. Por ello hemos creído necesario incluir en este apéndice y para cada uno de los problemas planteados, unas consideraciones, que si bien en algunos de los casos solo se trata de unos comentarios a la solución ofrecida, en otros, es una exposición amplia de la resolución matemática del problema, pero que en todos ellos será una ayuda, que duda cabe, para una mejor interpretación de las ingeniosas soluciones ofrecidas por nuestro amigo, el Hombre que Calculaba.
El problema de los 3 camellos
Para el problema de los 35 camellos podemos presentar una explicación muy sencilla.
El total de los 35 camellos, de acuerdo con el enunciado de la narración, tenía que ser repartido entre los tres herederos del siguiente modo:
El mayor recibiría la mitad de la herencia, es decir 17 camellos y medio.
El mediano recibiría un tercio de la herencia, es decir 11 camellos y dos tercios.
El más joven recibiría una novena parte de la herencia, es decir 3 camellos y ocho novenos.
Hecha la partición de acuerdo con las determinaciones del testador, quedaría un resto:
1 2 8 1
17——— + 11 ——— + 3 ——— = 33 ———
2 3 9 8
Se advierte, pues, que la suma de las tres partes no es igual a 35, sino a:
1
33 ———
8
Y existe por tanto, un resto:
1 17
35 — 33 + ——— = 1 + —————
8 18
17
Este resto sería, pues, de un camello y ————— de camello.
17
La fracción —————— expresa la suma:
18
1 1 1
——— + ——— + ———
2 3 9
fracciones que representan los restos parciales.
Aumentando en ½ la parte del primer heredero, éste pasaría a recibir 18 camellos.
Aumentando en 1/3 la parte del segundo heredero, éste pasaría a recibir un número exacto de 12; aumentando en 1/9 la parte del tercer heredero, éste recibiría cuatro camellos —números exactos—. Obsérvese, sin embargo que, consumidos con este aumento en tres restos residuales, aún queda un camello fuera del reparto.
¿Cómo hacer el aumento de las partes de cada heredero?
Dicho aumento se hizo admitiendo que el total no era de 35, sino de 36 camellos —aumentando en una unidad el dividendo—; pero siendo el dividendo 36, el resto pasaría a ser de dos camellos. Hubo un error por parte del testador.
Todo ello es consecuencia del hecho siguiente:
La mitad de un todo, más su tercera parte, mas su novena parte, no es igual al todo. Veamos:
1 1 1 27 + 18 + 6 51 17
——— + ——— + ——— = ———————————————— = ————— = —————
2 3 9 54 54 18
Para completar el todo, falta aún 1/18 del mismo.
El todo en este caso es la herencia de los 35 camellos, y como
1 17
————— de 35 es igual a 1 + —————
18 18
Beremiz con el artificio empleado, distribuyó los 17/18 entre los tres herederos —aumentando la parte de cada uno— y se quedó con la parte entera de la fracción excedente.
En algunos autores encontramos este mismo y curioso problema, de origen folklórico, en el que el total de camellos es 17 y no 35. Ese problema de de los 17 camellos puede leerse en centenares de libros de entretenimientos matemáticos.
Para el total de 17 camellos, la división se hace por medio de un artificio idéntico —aumentando en un camello la herencia del jeque—, pero el resto es solo el camello en que fue aumentada. En el caso del total de 35 camellos, como ocurrió en el episodio de Beremiz, el resto es más interesante, pues el calculador obtiene una pequeña ganancia con su habilidad.
Si el total fuera 53 camellos, la división de la herencia hecha del mismo modo, aplicando el artificio, daría un resto de 3 camellos.
He aquí los números que podrían utilizarse: 17, 35, 53, 71, etc.
El problema del joyero
La dificultad del problema tiene su origen en la siguiente particularidad, que puede ser fácilmente comprendida:
No se verifica la proporcionalidad entre el precio cobrado por el hospedaje y la cantidad por la que las joyas serían vendidas.
Veamos:
Si el joyero vendiera las joyas por 100, pagaría 20 por el hospedaje. Si las vendiera por 200 tendría que pagar 40 y no 35 por el hospedaje.
No hay pues, como sería racional, una proporcionalidad entre los elementos del problema.
Lo proporcional, en buena lógica sería:
Para 100 —de venta— …………………….. hospedaje 20
Para 200 —de venta— …………………….. hospedaje 40
El acuerdo de los interesados fue, sin embargo, éste:
Para 100 —de venta— …………………….. hospedaje 20
Para 200 —de venta— …………………….. hospedaje 35
Admitida esta relación de valores y siendo 140 el importe de la venta, el precio del hospedaje podrá establecerse aplicando la fórmula de interpolación.
El problema de los cuatro cuatros
El problema de los cuatro cuatros es el siguiente:
“Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la expresión no puede figurar —aparte de los cuatro cuatros— ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc.
Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100.
A veces será necesario recurrir al signo de factorial —que se indica con el signo ! después del número y equivale al producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el número dado— y al de raíz cuadrada.
La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3.
La factorial de 4, representada por la notación 4!, es igual al producto 1 x 2 x 3 x 4, es decir, 24.
Con auxilio del factorial de cuatro escribo fácilmente la expresión:
4! + 4! + ———
4
cuyo resultado es 49, pues es expresión equivalente a 24 — 24 + 1.
Véase ahora la expresión:
4
4! x 4 + ———
4
cuyo valor es 97.
Para ciertos números, las formas presentadas por algunos matemáticos son algo forzadas. Así, para el número 24, la solución dada por uno de ellos, exigiría dos raíces cuadradas, una división y una suma.
Para el número 24 podemos indicar una solución más sencilla con ayuda de la notación factorial:
4! + 4 (4—4)
Del número 24 es fácil pensar al 25:
25 = 4! — 44—4
Expresión de rara belleza, en la que aparece el exponente cero. Sabemos que toda cantidad elevada a cero es igual a 1. Luego la segunda parte de la expresión es 1.
El número 26 aparecerá bajo una forma bastante sencilla:
4 + 4
26 = 4! + ———————
4
El problema de las 21 vasijas
Admite este problema una segunda solución tan ingeniosa como la primera, que sería la siguiente:
El 1° socio recibirá: 1 vasija llena, 5 mediadas y 1 vacía.
El 2! Socio recibirá: 2 vasijas llenas, 1 mediada y 3 vacías.
El 3° socio recibirá lo mismo que el segundo, es decir: 3 vasijas llenas, 1 mediada y 3 vacías.
En el libro del Dr. Jules Regnault, Les Calculateurs Prodiges, encontramos un problema semejante a los anteriores, cuyo enunciado es el siguiente:
Repartir, a partes iguales, 24 vasijas, 5 de ellas llenas, 8 vacías y 11 medidas entre tres personas.
La solución no habrá de ofrecer ninguna dificultad.
Bajo el título Un Partage Difficile, encontramos el siguiente problema:
“Un comerciante tiene una vasija con 24 litros de vino. Quiere repartir este vino entre tres socios en tres partes iguales con 8 litros cada una. El mercader solo dispone de tres vasijas vacías cuya capacidad es respectivamente, 13 litros, 11 litros y 5 litros. Usando estas tres vasijas ¿Cómo podrá dividir el vino en 3 porciones de 8 litros cada una?”
Se trata de un problema de otro tipo, pero de muy fácil solución para obtener la cual es menester efectuar las operaciones, en nueve tiempos.
El número p
El número p, uno de los más famosos en la Matemática, ya era conocido por los geómetras en la Antigüedad, así como la constancia de su valor.
Todo nos lleva a afirmar, conforme podemos inferir de dos citas bíblicas bien claras, que los judíos primitivos atribuían al número p un valor entero igual a 3. en el Libro de los Reyes, podemos leer realmente esta curiosa indicación:
“Hizo asimismo un mar redondo de fundición de diez codos de uno a otro lado, y de cinco codos de altura, y la medida de su circunferencia era un hilo de treinta codos”.
Ese mar de fundición, aclara el exegeta, era en realidad un pequeño pozo —de acuerdo con la costumbre egipcia— donde se bañaban.
Teniendo tal pozo redondo treinta codos de circunferencia, su diámetro era de 10 codos. La conclusión era bien clara. La relación ente la circunferencia —30— y el diámetro —10— es exactamente 3. Es ese el valor de p revelado por la Biblia.
En el papiro Rhind, que es uno de los documentos más antiguos de la Historia de la Matemática, encontramos un curioso proceso de cálculo de la circunferencia c, cuando conocemos su diámetro d. De las indicaciones reveladas en el Papiro, inferimos que los geómetras egipcios, 4000 años a. de C. atribuían al número p un valor equivalente al cuadrado de la fracción
16
————
9
que daría en número decimal 3.1605, valor en el que p presenta un error que no llega a 2 centésimas de unidad.
Arquímedes, ya en el siglo II a. de C., probó que el famoso número debería estar comprendido entre las fracciones siguientes:
1 10
3 ———— y 3 —————
7 71
Bhaskhara, geómetra hindú, admitía para el número p un valor expresado por el número:
17
3 ———————
120
que equivale al número decimal 3.1416.
El matemático holandés Adrián Anthonisz, llamado Metius, (1527—1607), según los historiadores, tomó el valor
355
113
para el número p, que fue muy empleado durante los siglos XVI y XVII.
El alemán Johann Heinrich Lambert, (1728—1777) tuvo la paciencia de obtener para el valor de p una fracción ordinaria cuyo numerador tenía dieciséis cifras y el denominador quince.
Para la fijación de un valor aproximado de p —en número decimal— por medio de un artificio nemotécnico, existen varias frases.
El matemático francés Maurice Decerf, gran investigador de curiosidades, escribió un poema en el que cada palabra, por el número de letras que contiene, corresponde a una cifra del número p —en decimal—.
Vamos a indicar los dos primeros versos de este poema:
Que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages Glorieux Archimède artiste ingenieux.
El lector puede contar a partir del que inicial el número de letras de cada palabra y obtendrá —para cada palabra— una cifra de la parte decimal de p:
3, 14 159 265 358 979
El curioso poema de Decerf, en su integridad, dará el valor de p con 126 casillas decimales. Pero en esas 126 primeras casillas decimales de p aparecen once ceros. Cada cero lo representó el ingenioso poeta por medio de una palabra de diez letras.
Para el valor de p, existen también frases nemotécnicas en español, portugués, alemán e inglés.
Actualmente, gracias a las máquinas electrónicas, el valor de p es conocido con más de diez mil cifras decimales.
No pertenece el número p al conjunto de los números racionales. Figura entre los números que los analistas denominan números trascendentes.
He aquí una serie famosa, debida a Leibniz, cuya suma es p:
1 1 1 1
1 — ——— + ——— — ——— + ——— — …
3 5 7 9
El número de términos de esta serie es infinito y éstos son, alternativamente positivos y negativos.
NOTA.— Del libro Les Mathématiques et l’imagination —Ed. Payot, París 1950, pág. 59— de los matemáticos Edgard Kasner y James Newman, copiamos el párrafo siguiente:
“Recurriendo a series convergentes, Abraham Sharp, en 1669 calculó p con 71 decimales. Dase, calculador rápido como un relámpago, orientado por Gauss, calculó en 1824 el número con 200 decimales. En 1854 el alemán Richter halló 500 decimales para el número p, y Shanks, algebrista inglés, alcanzó la inmortalidad de los geómetras determinando el número p con 707 cifras decimales.”
En nota incluida en su libro, el matemático francés F. Le Lionnais mutila y oscurece la gloria de Shanks. Escribe Le Lionnais:
“Se comprobó más tarde que el cálculo de Shanks, está equivocado a partir de la cifra 528”.
El problema del juego de ajedrez
Este es sin duda uno de los problemas más famosos en los amplios dominios de la Matemática recreativa. El número total de granos de trigo, de acuerdo con la promesa del rey Iadava, vendrá expresado por la suma de los sesenta y cuatro primeros términos de la progresión geométrica:
::1 :2 :4 :8 :16 :32 :64 :…
La suma de los indicados 64 primeros términos de esta progresión se obtiene por medio de una fórmula muy sencilla estudiada en la Matemática Elemental.
Aplicando dicha fórmula obtenemos para el valor de la suma S
S = 264 — 1
Para obtener el resultado final debemos elevar el número 2 a la sexagésima cuarta potencia, esto es; multiplicar 2 x 2 x 2 x 2… con sesenta y cuatro factores iguales a 2. Después del trabajoso cálculo llegamos al siguiente resultado:
S = 18 446 744 073 709 551 616 — 1
Queda ahora por efectuar la sustracción. De tal potencia de dos restar 1, y obtenemos el resultado final:
S = 18 446 744 073 709 551 615
Este número gigantesco de veinte cifras expresa el total de granos de trigo que el legendario rey Iadava prometió en mala hora al no menos legendario Lahur Sessa, inventor del juego de ajedrez.
Hecho el cálculo aproximado para el volumen astronómico de dicha masa de trigo, afirman los calculadores que la Tierra entera, convertida de Norte a Sur en un sembrado, con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad de trigo.
El matemático francés Etienne Ducret incluyó en su libro, junto con otros comentarios, los cálculos realizados por el famoso matemático inglés John Wallis, para expresar el volumen de la colosal masa de trigo que el rey de la India prometió al astuto inventor del ajedrez. De acuerdo con Wallis, el trigo costaría en aquel tiempo al soberano hindú un total de libras expresado por el número:
855 056 260 444 220
¡Es decir más de 855 billones de libras!
Si por simple pasatiempo, contáramos los granos de trigo del montón S, a razón de 5 por segundo, trabajando día y noche sin parar, dedicaríamos a esta tarea 1.170 millones de siglos. Repetimos
¡Mil ciento setenta millones de siglos!
De acuerdo con el relato de Beremiz, el Hombre que Calculaba, el ingenioso Lahur Sessa, inventor del juego de ajedrez, relevó a su soberano de su promesa, sacándolo así de un gravísimo compromiso, ya que por primera vez se hallaba ante la imposibilidad de cumplir la palabra empeñada. En efecto, solo para pagar una pequeña parte de aquella deuda, el honrado soberano hubiese tenido que entregar a Lahur Sessa todas sus tierras, todos sus palacios, todos sus esclavos, sus tesoros y riquezas. Despojado de todos sus bienes quedaba reducido a la miseria más absoluta y su condición social caía al nivel de un miserable sudra.
También nos dice el relato de Beremiz que el rey, olvidando la montaña de trigo que sin querer había prometido al joven brahmán, le nombró primer visir.
El problema de las abejas
x x x x
——— + ——— + 3 (——— — ———) + 1 = x
5 3 3 5
Esta ecuación admite una raíz que es 15. Ese número expresa la solución del problema. La notación algebraica era muy distinta en tiempos de Bhaskhara.
Ese problema aparece en diversas formas en los libros de Entretenimientos Matemáticos.
Con los recursos del Algebra podemos resolverlo de manera general e indicar la fórmula final para el cálculo de la incógnita.
Designando con x el número de monedas, la solución sería:
x = 81 K — 2
donde el parámetro k es un número natural cualquiera (k = 1, 2, 3, …)
Los valores posibles de x son:
79, 160, 241, 322, 403, 484…
Cualquier término de esta sucesión podría servir para el total de monedas en el problema de los tres marineros. Es preciso, sin embargo, limitar el valor de x.
Constando en el enunciado la afirmación de que el número de monedas es superior a 200 y que no llegaba a 300, el Hombre que Calculaba adoptó el valor 241 que era el único que servía para el caso.
El problema del número cuatripartito
El llamado problema del número cuatripartito aparece en muchos libros didácticos, aunque es un problema de naturaleza puramente algebraica, que sólo debería ser incluido en la Aritmética Recreativa.
En su enunciado más sencillo, el problema sería el siguiente:
“Dividir un número A en cuatro partes tales que la primera, aumentada en m, la segunda disminuida en m, la tercera multiplicada por m y la cuarta dividida por m, den el mismo resultado”.
Dos son los elementos fundamentales del problema:
1. El número A, que debe ser cuatripartito.
2. El operador m.
Con los recursos del Algebra elemental será fácil resolver de modo general el problema.
La tercera parte —z— del número A —que debe ser multiplicada por m puede obtenerse fácilmente con el planteo y resolución de la sencilla fórmula que a continuación se indica:
A
z = ———————————
(m + 1)2
Obtenido el valor de z podemos obtener fácilmente las otras tres partes del número A:
La 1° parte será: mz — m
La 2° parte será: mz + m
La 4° parte será: mz x m
El problema solo es posible cuando A —número dado— es divisible por m + 1 al cuadrado. Debe ser por lo menos igual al doble de m + 1 al cuadrado .
El problema de la mitad de x de la vida
El matemático diría que la vida del condenado debería ser dividida en una infinidad de períodos de tiempo iguales y, por tanto, infinitamente pequeños.
Según tal razonamiento, veríamos que cada periodo de tiempo dt ¡podría ser mucho menor que la diezmillonésima parte de segundo!
Desde el punto de vista del Análisis Matemático este problema no tiene solución. La única fórmula, la más humana y más de acuerdo con el espíritu de Justicia y de Bondad, fue la sugerida por Beremiz.
El problema de las perlas del rajá
El problema puede ser fácilmente resuelto con auxilio del Algebra Elemental.
El número x de perlas viene dado por la fórmula:
z = (n — 1)2
Y, en ese caso, la primera heredera recibiría como herencia una perla y 1/n del resto: la segunda heredera recibiría dos perlas y 1/n de lo que restase. Y así sucesivamente. El número de herederos es n — 1.
Beremiz resolvió el problema para el caso en que n fuera igual a 7.
El número 142857
El número 142 857 nada tiene de cabalístico ni de misterioso; se obtiene cuando escribimos la fracción 1/7 en forma decimal, como es fácil comprobar:
1
——— = 0. 142 857 142 857…
7
Se trata de una fracción decimal periódica simple cuyo periodo es 142 857.
Podríamos obtener igualmente otros números, también cabalísticos, convirtiendo en fracciones decimales periódicas simples las muchas fracciones ordinarias que es posible hallar.
1 1 1
———, ———, ———, etc.
13 17 31
El problema de Diofanto
El llamado problema de Diofanto o epitafio de Diofanto, puede ser resuelto fácilmente con auxilio de una ecuación de primer grado con una incógnita.
Designando con x la edad de Diofanto, podemos escribir:
x x x x
——— + ——— + ——— + 5 + ——— + 4 = x
6 12 7 2
Resuelta esa ecuación encontramos que:
x = 84
Esta es la solución del problema.