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Fichas D |
Sistemas de
ecuaciones
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4º
ESO |
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Menú de fichas
1. Ecuaciones
fraccionarias.
2. Ecuación
de segundo grado.
3. Ecuaciones
bicuadradas.
4. Ecuaciones
irracionales.
5. Ecuaciones
de grado superior a 2.
6. Ejercicios
y problemas de aplicación.
7.
Ejercicios de refuerzo y ampliación.
8. Modelo de
examen.
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Ficha 1 D |
Repaso de
ecuaciones |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Resolver
una ecuación es encontrar todas sus soluciones o llegar a
la conclusión de que no tiene ninguna.
Ejemplo 1.
a) x2-1=0
tiene dos soluciones, x =1 y x =-1
b) x2 + 1=0 es una ecuación sin
soluciones en R.
c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones,
(0,0), (-3,2), (3, -2)....
Dos ecuaciones son
equivalentes
cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una
ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación
por un mismo número distinto de cero se
obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo 2:
La ecuación 5x - 1 = 2x -3
se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
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Resolver las ecuaciones:
1. x/3 + x/4 + x/8 + x/12 + 5
= x
s: x =
24
2.
7.x/15 + 1/3 = x/2
s: x = 10
3. x + 2.x/3 + 4.x/9 + 8.x/27 = 65
s: x = 27
4. x/3 +x/2 - x/4 = 21
s: x = 36
5. x/2 + 1 + x/4 + x/8 = x
s: x = 8
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Ficha 2 D |
Ecuaciones con fracciones
(I) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Pasos para
resolver una ecuación:
1°- Se
quitan los denominadores si los hubiere.(*) (Quitar
denominadores)
2°- Se
quitan los paréntesis si los hubiere. (Quitar
paréntesis)
3°- Se
pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la
igualdad. (Transposición de términos)
4°- Se
reducen los términos semejantes. (Reducción
de términos semejantes)
5°-
Hallamos el valor de la incógnita. (Despejar
la incógnita)
Ej: 5x-7=28+4x
-------> 5x-4x=28+7 -------> x = 35
(*) Quitamos
los denominadores por el m.c.m. para ello:
1°- Hallamos el
m.c.m. de los denominadores.
2°-Ese es el
denominador común y lo sustituimos por los denominadores
anteriores.
3°- Se divide el
m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el
numerador.
Ej: x/2 –4 =
x/3 –3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x =
6
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Determina el valor de x en las siguientes
ecuaciones fraccionarias:
1) 
Solución:
Multiplicamos los dos miembros por
el m .c. m. de los denominadores
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
=> 4x2 –16x +16 = 40 + 4x2
+4x => 4x2 –16x +16 =40 +4x2
+4x
Reduciendo términos semejantes: 16x-4x= 40- 16
=> -20x =24 =>
x =
-6/5 = -1,2
2)
3)
4)
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Ficha 3 D |
Ecuaciones con fracciones (II) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
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30(x - 1) - 12(2x + 3) + 60(8x) = 60(-x) + 15(-x
+ 2) - 10(x + 3)
30x -30 - 24x - 36 + 480x = -60x - 15x + 30 - 10x
- 30
571x = 66 =>
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Como la ecuación tiene
fracciones, entonces calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(2,5,4,6)=60
Dividimos el m.c.m. entre los
denominadores y multiplicamos el resultado por lo numeradores.
Al quitar los denominadores,
para resolver la ecuación lo hacemos según los pasos indicados
anteriormente. |
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Resolver
las ecuaciones:
1. 
s: x = 3.450
2.
s: x = 300
3.
s:
x = 80
4.
s: x = 20
5. x - x/2 + 25 - 3.x/4 = 0
s: x = 100
6.
7.
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Ficha 4 D |
Ecuaciones con fracciones (III) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Observa este jemplo resuelto:
m.c.m. (2, 5, 4,
6) = 60
Dividimos el m.c.m. entre
los denominadores y multiplicamos el resultado por los numeradores,
quedando:
30(
x - 1) - 12( 2x + 3) + 60(8x) = 60(-x) + 15(-x + 2) - 10( x+3)
Simplificando queda:
571x = 66 => x =66/571
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Ejercicio |
solución |
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34/7 |
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-1/19 |
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11/18 |
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-2/5 |
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12/7 |
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39/40 |
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Ficha 5 D |
Ecuaciones con fracciones (IV) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Observa este jemplo resuelto:
m.c.m. (2, 5, 4,
6) = 60
Dividimos el m.c.m. entre
los denominadores y multiplicamos el resultado por los numeradores,
quedando:
30(
x - 1) - 12( 2x + 3) + 60(8x) = 60(-x) + 15(-x + 2) - 10( x+3)
Simplificando queda:
571x = 66 => x =66/571
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Ficha 6 D |
Ecuaciones con fracciones (V) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Observa este jemplo resuelto:
m.c.m. (2, 5, 4,
6) = 60
Dividimos el m.c.m. entre
los denominadores y multiplicamos el resultado por los numeradores,
quedando:
30(
x - 1) - 12( 2x + 3) + 60(8x) = 60(-x) + 15(-x + 2) - 10( x+3)
Simplificando queda:
571x = 66 => x =66/571
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Ficha 7 D |
Ecuaciones de 2º grado
(I) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
La forma general de una ecuación de 2º grado
es: ax2 + bx
+ c = 0 ,
donde a
La solución de esta
ecuación general viene dada por la fórmula:
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Ejemplo:
x2 - 5x + 6 = 0
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A D = b2 - 4ac
se llama discriminante de la
ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones.
Si D =0 la ecuación tiene una solución (doble)
Si D <0 la
ecuación no tiene ninguna solución real.
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Resuelve las siguiente ecuaciones:
1) –6x2 +5x-1=0
2) (5x-4)(2x+3) =5
3) 30 + 9x – 3x2 =0
4)
Solucion: m.c.m. = 2·(2 +
x) por tanto:
(2 + x) · (2- x) + 4·2 =2(2 +x) de
donde
4 –x2 +8 =4 + 2x
pasando términos al primer miembro queda: -x2
-2x + 8 = 0 y cambiando de
signo a
los dos
miembros queda: x2 + 2x - 8 = 0
=>
5)
2x2 - 3x +1
= 0
6) 
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Ficha 8 D |
Ecuaciones de 2º grado
(II) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Ecuaciones incompletas ( les falta
algún término)
Ejemplo 1:
3x2 - 5x = 0 =>
x(3x - 5) = 0 => x = 0 y x =
5/3
Puede tener dos
soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que el radicando
sea o no positivo.
Ejemplo 2: 2x2 - 5 = 0 de donde:
(dos soluciones)
Ejemplo 3: 3x2 + 1 = 0 =>
(no tiene solución)
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1.
3x2 - x = 0
2. x2 -16 = 0
3. 5x2 +125x = 0
4.
 (Sol:
x = 0 y x = 5 )
5.
x2 + 16 = 0
6. x2 - x/2 = 0 |
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Ficha 9 D |
Ecuaciones de 2º grado
(III) |
3º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Una ecuación cuadrática puede
tener: Dos soluciones reales distintas
Una solución real (o dos raíces iguales)
Ninguna solución real
Fíjate en el discriminante D :
D = b2 -
4ac
Si el discriminante b2
- 4ac es positivo, entonces la raíz cuadrada
genera dos soluciones reales distintas
Si el discriminante b2
- 4ac es cero, la raíz es cero, y ambas
raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante b2
- 4ac es negativo, la raíz cuadrada no existe, se
dice que no tiene solución real. |
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1.- Resolver la ecuacion:
- 5x2
+ 13x + 6 = 0
Con esta condición tenemos:
a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:
La raíz buscada es 17, ya
que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces
que:
 Hay
dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -.
Llámense X1 y X2 a las dos soluciones, que
serán
Ambos valores de x
satisfacen
la ecuación. Al procedimiento de sustituir para probar si
los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina
verficación.
Probando con x = 2. Resulta:
-5.(2)2 + 13.(2) - 6 = -20 + 26 - 6 = 0, tal como se
esperaba en el segundo miembro. Probando X = -2/5,
(hazlo) se comprueba que satisface la ecuacion: -
5x2 + 13x + 6 = 0
2.-
El largo de una sala
rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta
3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área
original de la sala.
3. Resolver la
ecuacion:
6x - x2
= 9
4. Resolver:
-6x + 13 = - x2
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Ficha 10 D |
Ecuaciones bicuadradas |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Ejemplo 8. La ecuación
z4
– 5z2 +6 = 0 es bicuadrada (es de 4º grado sin
potencias impares).
Para resolverla se procede así: Se hace un cambio de incógnita
z2
= x
con lo cual
z4
= x2
Sustituyendo en la ecuación queda:
x2
-5x + 6 = 0 que es de 2º grado y por tanto:
y resulta:
pero como x = z2
resulta:
z =
y z =
En este caso la ecuación tiene 4
soluciones.
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Resuelve las siguientes ecuaciones
bicuadradas:
1) x4 – 3x2 + 2 = 0
2)
x4 -13x2 + 36 = 0
3) x4 - 1 = 0
4) x4+ 4x2
= 0
5) x4 - 9x2 = 0
6) 3x4 – 5x2+2 = 0
7) x4 + x2+1 = 0
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Ficha 11 D |
Ecuaciones irracionales
(I) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Ejemplo 9.
Se procede de la forma siguiente: 1) Se aísla la raíz,
dejándola sola en un miembro:
2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de
la igualdad: 4(x-1)=(4-x)2
Þ 4x-4 = 16-8x +x2
3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que
resulta x2-12x +20 =0 x =10 y x
=2 (comprobarlo)
4) Se comprueban las soluciones: Si x =10
=>
=> 16 - 4= 0 Falso, no es solución
Si x =2 =>
=> 4 - 4 = 0
Cierto, si es solución.
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Resuelve las
siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
1)
2) 
3) 
4) 
5)
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Ficha 12 D |
Ecuaciones irracionales
(II) |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Cuando se tienen dos raices se procede dos veces de la misma
forma que en el caso de una raíz. Ver ejemplo resuelto.
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1. Resolver la ecuación:
Solución:
Aislamos una de las raíces:
Elevamos al cuadrado:
=>
x + 4 = 36 - 12 +
2x - 1
Volvemos a aislar la raíz que nos queda:
12=
x + 31
Elevamos al cuadrado:
144(2x-1) = x2 + 62x + 961
=> 288x -144 = x2 +62x +961 =>
x2 –226x +1105 = 0
Resolviendo
la ecuación obtenemos: x1
= 221 y x2 = 5
Comprobamos las soluciones: x = 221 no es solución pues
x =5 sí es solución
, pues
2. Resuelve la ecuación y
comprueba los resultados:
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Ficha 13 D |
Ecuaciones
de grado superior a dos |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
Resolver la siguiente
ecuacion:
x3 –x2 - x +1=0
Solución:
Los divisores del término independiente son
1 y -1
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1 |
--1 |
-1 |
1 |
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1 |
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1 |
0 |
-1 |
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1 |
0 |
-1 |
0
Resto |
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Cociente |
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Luego : x3 –x2-x +1 =
(x-1)(x2-1)= (x-1)(x +1) (x-1) y las soluciones son: x =1
(doble) y x = -1
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Resuelve las siguientes ecuaciones :
1) x4 –x3-16x2-20x =
0
2) x4-8x3+18x2-11x = 0
3) x3-2x2-9x+18
= 0
4) x4-x3-11x2+9x+18 = 0
5)
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Ficha 14 D |
Problemas
de ecuaciones |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
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1.-
Halle el área
y perímetro del tríángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones
están en metros.
2.-
La suma de dos
números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos
números
3. Un triángulo isósceles
tiene de base 6 cm y los lados que son iguales miden cada uno 8
cm. Halla el área del triangulo.
4. Un rombo tiene de lado 5 cm
y su diagonal mayor es el doble que su diagonal menor.
Halla su área.
5.. El producto de las edades de
Pedro y Ana, es igual al cuadruple del mayor de ellos.
Sabiendo que Pedro es un año mayor que Ana, halla sus edades
.
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Ficha 15 D |
Miscelánea
de ecuaciones |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
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1.
Resolver las siguientes
ecuaciones:
a) 2x2 - 20x+ 42 = 0
b)
d)
e)
f)
g)
h)
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Ficha 16 D |
Refuerzo y
ampliación de ecuaciones |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
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1) Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de
segundo grado:
2) Resolver las siguientes
ecuaciones irracionales:
3) Determinar k de modo que cada ecuación tenga
sus raíces iguales:
a) x2 - 5.x + k = 0
b) 3.x2 + 8.x + k = 0
c) 2.x2 - 6.x + k = 0
d) 25.x2 + k.x + 1 = 0
e) k.x2 + k.x + 1 = 0
f) k.x2 - 3.x + k = 0
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Ficha 17 D |
Examen
modelo de ecuaciones |
4º de
ESO |
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Alumno/a |
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Recuerda:
El examen consiste en escoger un ejercicio de cada grupo de
ejercicios de abajo.
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1. Resuelve la ecuación:
a)
b)
c)
d)
2. Resuelve el sistema:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Resuelve la
ecuación:
a)
b)
c)
d)
4. Plantea y resuelve :
1. Calcula el número cuya tercera parte sumada con el triple del
mismo dé 40.
2. La razón de dos números es 3/4. Si se suma 10 a cada uno de
ellos, la razón es ahora 11/14. ¿Cuales son esos números?
3. Tres socios de una empresa han de repartirse 150.000 €.
Calcula lo que corresponde a cada uno , si el primero ha de
recibir el doble que el segundo , y éste el triple que el
tercero.
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