%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Сохраните этот файл как 1929_r.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russianb]{babel}
\begin{document}
\begin{center}
{\large\bf 1929 \\ \vspace{15pt} {\sc deuxieme semestre} \\ \vspace{30pt}
{\huge COMPTES RENDUS} \\ \vspace{10pt} {\sc hebdomadaires} \\ \vspace{10pt}
{\Large DES S\'{E}ANCES \\ \vspace{10pt} DE L'ACAD\'{E}MIE DES SCIENCES} \\
\vspace{10pt} {\sc par mm. les secr\'{e}taires perp\'{e}tuels} \\
\vspace{20pt} TOME 189 \\ \vspace{20pt} {\huge N${}^{\mbox{o}}$. 17 (21
Octobre 1929).} \\ \vspace{30pt} PARIS}
\end{center}
\newpage
\noindent ANALYSE MATH\'{E}MATIQUE. - {\it Sur une g\'{e}n\'{e}ralisation des
polynomes} {\it d'Hermite.} Note de {\bf M.Krawtchouk}, transmise par
M.\,\'{E}mile Borel.\vspace{1cm}
\noindent M. Krawtchouk. C.R.Acad.Sci. 1929. T.189, No.17. P.620--622.
\vspace{2cm}
\noindent МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. - {\it Об одном обобщении полиномов Эрмита.}
Заметка\footnote{Поступила 23 сентября 1929.} {\bf М.~Кравчука},
представленная Эмилем Борелем.\noindent\vspace{1cm}
Предположим, что полином $\psi_m(x)$ степени $m$ определен следующими
равенствами
\begin{eqnarray}%
\sum_{i=0}^{u-1} p_{i} \psi_{l}(x_{i}) \psi_{m}(x_{i}) = 0 (l\neq m), \quad
=1\;(l=m) \nonumber \\ x_{i+1} - x_{i}=1,\quad p_{i} \geq o, \quad
\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}=1.\label{1}
\end{eqnarray}%
Тогда мы имеем
\begin{eqnarray}%
\left\{
\begin{array}{c}
x\psi_{m}(x)=m_{-1}\psi_{m-1}(x)+m_{0}\psi_{m}(x)+m_{1}\psi_{m+1}(x)\label{2}
\\ \left[m_{j}=\sum_{i=0}^{u-1} p_{i} x_{i} \psi_{m}(x_{i})
\psi_{m+j}(x_{i})\right]
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}%
и минимум выражения
\begin{equation}%
J_{k}(T_{0},T_{1},\ldots ,T_{k-1})=\sum_{i=0}^{u-1} p_{i}[T_{0}
\psi_{0}(x_{i}) + \ldots + T_{k-1}\psi_{k-1}(x_{i})-y(x_{i})]^2 \quad (k\leq
u)\label{3}
\end{equation}%
равен $$J_{k}(A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k-1})=\sum_{i=0}^{u-1} p_{i}
y^{2}(x_{i}) -A_{0}^{2} -\ldots -A_{N-1}^{2}$$ где
\begin{equation}%
A_{m}=\sum_{i=0}^{u-1} p_{i} y(x_{i}) \psi_{m}(x_{i}).\label{4}
\end{equation}%
В важном случае $p_{0}=p_{1}=\ldots =p_{u-1}$, изученном Чебышевым, полиномы
$\psi_{m}$ представляют собой обобщение полиномов Лежандра. Мы хотим
рассмотреть другой важный случай, в частности тот, где
\begin{equation}%
p_{i}=P(i,u;p,q)={{u-1}\choose i} p^{i} q^{u-1-i}, \quad x_{i}=i \quad
(p>0,\;q>0,\;p+q=1).\label{5}
\end{equation}%
Можно доказать, что функции $\psi_{m}$ имеют, согласно этой гипотезе,
следующую простую форму
\begin{eqnarray}%
\varphi_{m}(x,u;p,q)&=&\sqrt{{{u-1}\choose{m}}(pq)^{m}}\; \Delta^{m}
P(x-m,u-m;p,q): P(x,u;p,q)\label{6} \\ &=&\sqrt{{{u-1}\choose{m}}^{-1}
(pq)^{-m}} \sum_{i=o}^{m} (-1)^{i} {{u-x-1}\choose{m-i}}{x\choose{i}}
p^{m-i}q^{i} \nonumber
\end{eqnarray}%
относительно предельных случаев полиномов
\begin{equation}%
{\rm const.} \frac{x!}{a^{x}} \Delta^{m} \left[\frac{a^{x-m}}{(x-m)!}\right]
\quad (u \rightarrow \infty ),\;p(u-1)=a={\rm const.})\label{7}
\end{equation}%
и полиномов Эрмита
\begin{equation}%
{\rm const.} e^{t^{2}} \frac{d^{m}}{dt^{m}} \left(e^{-t^{2}}\right) \quad
\left[u\rightarrow \infty , \; x=p(u-1)+t\sqrt{2pq(u-1)}\right].\label{8}
\end{equation}%
Формулы (\ref{2}) и (\ref{4}) преобразуются, согласно (\ref{5}),
соответственно
\begin{eqnarray}%
&&\!\!\sqrt{(m+1)(u-m-1)pq}\, \varphi_{m+1}(x) \nonumber \\
&=&\left[p(u-1)+(q-p)m-x\right]\varphi_m(x)-\sqrt{m(u-m)pq}\varphi_{m-1}(x),
\nonumber
\\ A_{m}&=&\sqrt{{{u-1}\choose{m}}(pq)^{m}} \sum_{i=0}^{u-1} y(x_{i})
\Delta^{m} P(x_{i}-m,\;u-m;\;p,q)\label{9} \\ &=&(-1)^{m}\sqrt{{{u-1}\choose
m}(pq)^{m}}\sum_{i=0}^{u-1} P(i-m,u-m;p,q) \Delta^{m}y(i-m), \nonumber
\end{eqnarray}%
{\it Приложения}. --- 1. Расчет {\it неполных обобщенных моментов}
$$R_{m}(x)=\sum_{i=0}^{x-1} P(i,u;p,q) \varphi_{m}(i,u;p,q) \quad
(m=1,2,\ldots ,k)$$ функции (\ref{5}) дает
\begin{equation}%
R_{m}(x)=\sqrt{{{u-1}\choose m}(pq)^{m}} \Delta^{m-1} P(x-m,u-m;p,q) \quad
(m=1,2,\ldots ,k)\label{10}
\end{equation}%
Что касается $k$-го неполного факториального момента
$$\rho_{k}(x)=\sum_{i=0}^{x-1} P(i,u;p,q) {{p(u-1)-x}\choose k} \quad
(k=0,1,2, \ldots ),$$ то он равен линейной комбинации выражений (\ref{10}) и
момента $R_{0}(x)$ [результат тривиален в предельном случае (\ref{8})].
Равенство Фриша\footnote{См. {\sc Ch.\,Jordan}, {\it Statistique math.},
1927, p. 85} вытекает из формулы (\ref{10}) как частный случай при $m=1$.
-- 2. Следует отметить следующее разложение
\begin{eqnarray}%
P(x,u_{1};p_{1},q_{1})=P(x,u;p,q) \sum_{m=0}^{u-1}
\sqrt{\frac{(u-m-1)!}{m!(u-1)!} (pq)^{-m}} \varphi_{m}(x,u;p,q) \nonumber \\
\times \sum_{i=0}^{m} (-1)^{m-i}{m\choose i} p^{m-i} q^{i} \left[ \frac{{\it
d}^{m} [s^{u-m}(p_{1}t+q_{1}s)^{u_{1}}]}{{\it d}t^{i}{\it
d}s^{m-i}}\right]_{s,t=1} \nonumber \\ (u \geq u_{1}), \nonumber
\end{eqnarray}%
предельные случаи которого соответствуют полиномам (\ref{7}) и (\ref{8}) и
хорошо известны.
\end{document}
