МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. - Об одном обобщении полиномов Эрмита.
Заметка1 М. Кравчука,
представленная Эмилем Борелем.
Предположим, что полином ym(x) степени m определен следующими
равенствами
|
|
|
|
u-1
е
i = 0
|
pi yl(xi) ym(xi) = 0 (l № m), = 1 (l = m) |
| | xi+1 - xi = 1, pi і o, |
u-1
е
i = 0
|
pi = 1. |
| (1) |
| |
|
Тогда мы имеем
|
|
|
м
п
н
п
о
|
|
xym(x) = m-1ym-1(x)+m0ym(x)+m1ym+1(x) |
|
|
|
й
л
|
mj = |
u-1
е
i = 0
|
pi xi ym(xi)ym+j(xi) |
щ
ы
|
|
|
|
|
| (2) |
| |
|
и минимум выражения
|
Jk(T0,T1,ј,Tk-1) = |
u-1
е
i = 0
|
pi[T0y0(xi) + ј+ Tk-1yk-1(xi)-y(xi)]2 (k Ј u) |
| (3) |
равен
|
Jk(A0,A1,ј,Ak-1) = |
u-1
е
i = 0
|
piy2(xi) -A02 -ј-AN-12 |
|
где
|
Am = |
u-1
е
i = 0
|
pi y(xi) ym(xi). |
| (4) |
В важном случае p0 = p1 = ј = pu-1, изученном Чебышевым, полиномы
ym представляют собой обобщение полиномов Лежандра. Мы хотим
рассмотреть другой важный случай, в частности тот, где
|
pi = P(i,u;p,q) = |
ж
з
и
|
u-1
i
|
ц
ч
ш
|
pi qu-1-i, xi = i (p > 0, q > 0, p+q = 1). |
| (5) |
Можно доказать, что функции ym имеют, согласно этой гипотезе,
следующую простую форму
|
| |
|
|
|
|
ж
ъ
Ц
|
|
DmP(x-m,u-m;p,q): P(x,u;p,q) |
| (6) | |
|
|
ж
ъ
Ц
|
|
|
ж
з
и
|
u-1
m
|
ц
ч
ш
|
-1
|
(pq)-m |
|
|
m
е
i = o
|
(-1)i |
ж
з
и
|
u-x-1
m-i
|
ц
ч
ш
|
|
ж
з
и
|
x
i
|
ц
ч
ш
|
pm-iqi |
|
| |
|
относительно предельных случаев полиномов
|
const. |
x!
ax
|
Dm |
й
к
л
|
ax-m
(x-m)!
|
щ
ъ
ы
|
(u ® Ґ), p(u-1) = a = const.) |
| (7) |
и полиномов Эрмита
|
const. et2 |
dm
dtm
|
(e-t2) |
й
л
|
u® Ґ, x = p(u-1)+t |
| _______
Ц2pq(u-1)
|
щ
ы
|
. |
| (8) |
Формулы (2) и (4) преобразуются, согласно (5),
соответственно
|
| |
|
|
|
|
| ____________
Ц(m+1)(u-m-1)pq
|
jm+1(x) |
| |
|
|
[p(u-1)+(q-p)m-x]jm(x)- |
| _______
Цm(u-m)pq
|
jm-1(x), |
| |
|
|
|
ж
ъ
Ц
|
|
|
u-1
е
i = 0
|
y(xi)Dm P(xi-m, u-m; p,q) |
| (9) | |
|
| (-1)m |
ж
ъ
Ц
|
|
|
u-1
е
i = 0
|
P(i-m,u-m;p,q) Dmy(i-m), |
|
| |
|
Приложения. - 1. Расчет неполных обобщенных моментов
|
Rm(x) = |
x-1
е
i = 0
|
P(i,u;p,q) jm(i,u;p,q) (m = 1,2,ј,k) |
|
функции (5) дает
|
Rm(x) = |
ж
ъ
Ц
|
|
Dm-1 P(x-m,u-m;p,q) (m = 1,2,ј,k) |
| (10) |
Что касается k-го неполного факториального момента
|
rk(x) = |
x-1
е
i = 0
|
P(i,u;p,q) |
ж
з
и
|
p(u-1)-x
k
(k = 0,1,2, ј), |
|
то он равен линейной комбинации выражений (10) и
момента R0(x) [результат тривиален в предельном случае (8)].
Равенство Фриша2 вытекает из формулы
(10) как частный случай при m = 1.
- 2. Следует отметить следующее разложение
|
|
|
P(x,u1;p1,q1) = P(x,u;p,q) |
u-1
е
m = 0
|
|
ж
ъ
Ц
|
|
jm(x,u;p,q) |
| |
× |
m
е
i = 0
|
(-1)m-i |
ж
з
и
|
m
i
|
ц
ч
ш
|
pm-i qi |
й
к
л
|
|
dm [su-m(p1t+q1s)u1]
dtidsm-i
|
щ
ъ
ы
|
s,t = 1
|
|
| |
| |
|
предельные случаи которого соответствуют полиномам (7) и (8) и
хорошо известны.
Footnotes:
1Поступила 23 сентября 1929.
2См. Ch. Jordan, Statistique math.,
1927, p. 85
File translated from
TEX
by
TTH,
version 2.57.
On 28 Mar 2000, 14:06.