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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\begin{document}
\newcommand{\binom}[2]{{#1 \choose #2}}
\noindent ANALYSE MATH\'{E}MATIQUE. - {\it Sur une g\'{e}n\'{e}ralisation
des polynomes} {\it d'Hermite.} Note\footnote{%
S\'{e}ance du 23 septembre 1929} de {\bf M.Krawtchouk}, transmise par M.
\,\ \'{E}mile Borel.\vspace{1cm}
\noindent M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 - 622.
\vspace{2cm}
Soit $\psi _{m}(x)$ le polynome de $m^{\mbox{leme}}$ degr\'{e} d\'{e}termin%
\'{e} par le \'{e}galit\'{e}s suivantes:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}\psi _{l}(x_{i})\psi _{m}(x_{i})=0(l\neq m),\quad
=1\;(l=m) \\
\left( x_{i+1}-x_{i}=1,\quad p_{i}\geq o,\quad
\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}=1\right) .
\end{array}
\right. \label{1}
\end{equation}
Alors on a
\[
\left\{
\begin{array}{c}
x\psi _{m}(x)=m_{-1}\psi _{m-1}(x)+m_{0}\psi _{m}(x)+m_{1}\psi _{m+1}(x)%
\label{2} \\
\left[ m_{j}=\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}x_{i}\psi _{m}(x_{i})\psi _{m+j}(x_{i})%
\right]
\end{array}
\right.
\]
et le minimum de l'expression
\begin{equation}
J_{k}(T_{0},T_{1},\ldots ,T_{k-1})=\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}[T_{0}\psi
_{0}(x_{i})+\ldots +T_{k-1}\psi _{k-1}(x_{i})-y(x_{i})]^{2}\quad (k\leq u)
\label{3}
\end{equation}
est \'{e}gal \`{a}
\[
J_{k}(A_{0},A_{1},\ldots
,A_{k-1})=\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}y^{2}(x_{i})-A_{0}^{2}-\ldots -A_{N-1}^{2}
\]
o\`{u}
\begin{equation}
A_{m}=\sum_{i=0}^{u-1}p_{i}y(x_{i})\psi _{m}(x_{i}). \label{4}
\end{equation}
Dans le cas remarquable $p_{0}=p_{1}=\ldots =p_{u-1},$ \'{e}tudei\'{e} par
P.\,\ Tchebycheff, les polynomes $\psi _{m}$ repr\'{e}sentent une g%
\'{e}n\'{e}ralisation de ceux de Legendre. Nous voulons examiner un autre
cas important, notamment celui o\'{u}
\begin{equation}
p_{i}=P(i,u;p,q)={\binom{u-1}{i}}p^{i}q^{u-1-i},\quad x_{i}=i\quad
(p>0,\;q>0,\;p+q=1). \label{5}
\end{equation}
On peut d\'{e}montrer que les fonctions $\psi _{m}$ ont, sous cette hypoth%
\`{e}se, la forme simple suivante:
\begin{eqnarray}
\varphi _{m}(x,u;p,q) &=&\sqrt{{\binom{u-1}{m}}(pq)^{m}}\;\Delta
^{m}P(x-m,u-m;p,q):P(x,u;p,q) \label{6} \\
&=&\sqrt{{\binom{u-1}{m}}^{-1}(pq)^{-m}}\sum_{i=o}^{m}(-1)^{i}{\binom{u-x-1}{%
m-i}}{\binom{x}{i}}p^{m-i}q^{i} \nonumber
\end{eqnarray}
concernant comme cas limites les polynomes
\begin{equation}
{\rm const.}\frac{x!}{a^{x}}\Delta ^{m}\left[ \frac{a^{x-m}}{(x-m)!}\right]
\quad (u\rightarrow \infty ),\;p(u-1)=a={\rm const.}) \label{7}
\end{equation}
et ceux d'Hermite
\begin{equation}
{\rm const.}e^{t^{2}}\frac{d^{m}}{dt^{m}}\left( e^{-t^{2}}\right) \quad %
\left[ u\rightarrow \infty ,\;x=p(u-1)+t\sqrt{2pq(u-1)}\right] . \label{8}
\end{equation}
Les formules (\ref{2}) et (\ref{4}) deviennent, sous la m\'{e}me hypoth\'{e}%
se (\ref{5}), respectivement
\begin{eqnarray}
&&\!\!\sqrt{(m+1)(u-m-1)pq}\,\varphi _{m+1}(x) \nonumber \\
&=&\left[ p(u-1)+(q-p)m-x\right] \varphi _{m}(x)-\sqrt{m(u-m)pq}\varphi
_{m-1}(x), \nonumber \\
A_{m} &=&\sqrt{{\binom{u-1}{m}}(pq)^{m}}\sum_{i=0}^{u-1}y(x_{i})\Delta
^{m}P(x_{i}-m,\;u-m;\;p,q) \label{9} \\
&=&(-1)^{m}\sqrt{{\binom{u-1}{m}}(pq)^{m}}\sum_{i=0}^{u-1}P(i-m,u-m;p,q)%
\Delta ^{m}y(i-m), \nonumber
\end{eqnarray}
{\it Applications}. --- 1. L'evaluation des {\it moments g\'{e}n\'{e}ralis%
\'{e}s incomplets}
\[
R_{m}(x)=\sum_{i=0}^{x-1}P(i,u;p,q)\varphi _{m}(i,u;p,q)\quad (m=1,2,\ldots
,k)
\]
de la fonction (\ref{5}) est imm\'{e}diate:
\begin{equation}
R_{m}(x)=\sqrt{{\binom{u-1}{m}}(pq)^{m}}\Delta ^{m-1}P(x-m,u-m;p,q)\quad
(m=1,2,\ldots ,k) \label{10}
\end{equation}
Quant au moment $k^{\mbox{leme}}$ incomplet factoriel
\[
\rho _{k}(x)=\sum_{i=0}^{x-1}P(i,u;p,q){\binom{p\left( u-1\right) -x}{k}}%
\quad (k=0,1,2,\ldots ),
\]
il est une combinaison lin\'{e}aire des expressions (\ref{10}) et du moment $%
R_{0}(x)$ [r\'{e}sultattout \`{a} fait trivial dans le cas limite (\ref{8}%
)]. L'\'{e}galit\'{e} de M.R.\,\ Frisch\footnote{%
See {\sc Ch.\,\ Jordan}, {\it Statistique math.}, 1927, p. 85} est
contenue (\ref{10}) un cas particulier $\left( m=1\right) $.
- 2. Il est \`{a} noter le d\'{e}veloppement suivant:
\begin{eqnarray}
P(x,u_{1};p_{1},q_{1}) &=&P(x,u;p,q)\sum_{m=0}^{u-1}\sqrt{\frac{(u-m-1)!}{%
m!(u-1)!}(pq)^{-m}}\varphi _{m}(x,u;p,q) \nonumber \\
&&\times \sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}{\binom{m}{i}}p^{m-i}q^{i}\left[ \frac{{\it %
d}^{m}[s^{u-m}(p_{1}t+q_{1}s)^{u_{1}}]}{{\it d}t^{i}{\it d}s^{m-i}}\right]
_{s,t=1} \nonumber \\
(u &\geq &u_{1}), \nonumber
\end{eqnarray}
dont le cas limites correspondant aux polynomes (\ref{7}) et (\ref{8}) sont
bien connus.
\end{document}
