ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur une généralisation
des polynomes d'Hermite. Note1 de M.Krawtchouk, transmise par M.
Émile Borel.
M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 - 622.
Soit ym(x) le polynome de mleme degré déterminé par le égalités suivantes:
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�
�
�
�
�
�
�
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u-1
�
i = 0
|
piyl(xi)ym(xi) = 0(l � m), = 1 (l = m) |
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�
�
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xi+1-xi = 1, pi � o, |
u-1
�
i = 0
|
pi = 1 |
�
�
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. |
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| (1) |
Alors on a
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�
�
�
�
�
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xym(x) = m-1ym-1(x)+m0ym(x)+m1ym+1(x) |
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�
�
|
mj = |
u-1
�
i = 0
|
pixiym(xi)ym+j(xi) |
�
�
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et le minimum de l'expression
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Jk(T0,T1,�,Tk-1) = |
u-1
�
i = 0
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pi[T0y0(xi)+�+Tk-1yk-1(xi)-y(xi)]2 (k � u) |
| (2) |
est égal à
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Jk(A0,A1,�,Ak-1) = |
u-1
�
i = 0
|
piy2(xi)-A02-�-AN-12 |
|
où
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Am = |
u-1
�
i = 0
|
piy(xi)ym(xi). |
| (3) |
Dans le cas remarquable p0 = p1 = � = pu-1, étudeié par
P. Tchebycheff, les polynomes ym représentent une généralisation de ceux de Legendre. Nous voulons examiner un autre
cas important, notamment celui oú
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pi = P(i,u;p,q) = |
�
�
�
|
u-1
i
|
�
�
�
|
piqu-1-i, xi = i (p > 0, q > 0, p+q = 1). |
| (4) |
On peut démontrer que les fonctions ym ont, sous cette hypothèse, la forme simple suivante:
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�
�
�
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DmP(x-m,u-m;p,q):P(x,u;p,q) |
| (5) | |
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�
�
�
|
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�
�
�
|
u-1
m
|
�
�
�
|
-1
|
(pq)-m |
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|
m
�
i = o
|
(-1)i |
�
�
�
|
u-x-1
m-i
|
�
�
�
|
|
�
�
�
|
x
i
|
�
�
�
|
pm-iqi |
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concernant comme cas limites les polynomes
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const. |
x!
ax
|
Dm |
�
�
�
|
|
ax-m
(x-m)!
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�
�
�
|
(u� �), p(u-1) = a = const.) |
| (6) |
et ceux d'Hermite
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const.et2 |
dm
dtm
|
( e-t2) |
�
�
|
u� �, x = p(u-1)+t |
| _______
�2pq(u-1)
|
�
�
|
. |
| (7) |
Les formules (*) et (3) deviennent, sous la méme hypothése (4), respectivement
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| ____________
�(m+1)(u-m-1)pq
|
jm+1(x) |
| |
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[ p(u-1)+(q-p)m-x] jm(x)- |
| _______
�m(u-m)pq
|
jm-1(x), |
| |
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|
�
�
�
|
|
|
u-1
�
i = 0
|
y(xi)DmP(xi-m, u-m; p,q) |
| (8) | |
|
| (-1)m |
�
�
�
|
|
|
u-1
�
i = 0
|
P(i-m,u-m;p,q)Dmy(i-m), |
|
| |
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Applications. - 1. L'evaluation des moments généralisés incomplets
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Rm(x) = |
x-1
�
i = 0
|
P(i,u;p,q)jm(i,u;p,q) (m = 1,2,�,k) |
|
de la fonction (4) est immédiate:
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Rm(x) = |
�
�
�
|
|
Dm-1P(x-m,u-m;p,q) (m = 1,2,�,k) |
| (9) |
Quant au moment kleme incomplet factoriel
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rk(x) = |
x-1
�
i = 0
|
P(i,u;p,q) |
�
�
�
|
p( u-1) -x
k
|
�
�
�
|
(k = 0,1,2,�), |
|
il est une combinaison linéaire des expressions (9) et du moment R0(x) [résultattout à fait trivial dans le cas limite (7)]. L'égalité de M.R. Frisch2 est
contenue (9) un cas particulier ( m = 1) .
- 2. Il est à noter le développement suivant:
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P(x,u;p,q) |
u-1
�
m = 0
|
|
�
�
�
|
|
jm(x,u;p,q) |
| |
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× |
m
�
i = 0
|
(-1)m-i |
�
�
�
|
m
i
|
�
�
�
|
pm-iqi |
�
�
�
|
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dm[su-m(p1t+q1s)u1]
dtidsm-i
|
�
�
�
|
s,t = 1
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dont le cas limites correspondant aux polynomes (6) et (7) sont
bien connus.
Footnotes:
1Séance du 23 septembre 1929
2See Ch. Jordan, Statistique math., 1927, p. 85
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