lecturas

Proporciones y Números.

Rogelio Fernández- Alonso González

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Iztapalapa.

1. Cantidades discretas y continuas .

En la vida cotidiana podemos separar de manera muy general dos tipos de cantidades: las que contamos y las que medimos. En matemáticas esto corresponde a las cantidades discretas y continuas, respectivamente. Detrás de esta sutil diferencia, se encuentran dos tipos de números que usamos diariamente: los naturales, que forman el conjunto infinito {O, 1,2, ...}, y los racionales¹, o comúnmente llamados quebrados, que son cocientes de números naturales², y finalmente los números reales que son los que corresponden a los puntos sobre una recta.

Actividad.

Material para cada equipo: Medio kilo de frijol, medio kilo de arroz o algún material de granos finos, 5 círculos de cartulina, de 10 cm de diámetro. Se realizan los siguientes pasos:

1) Contar el número de frijoles repartidos.

2) Intentar contar el número de granos de arroz repartida.

3) Medir el área de los círculos de cartulina.

_________________________

¹ Para efectos prácticos de medición, usualmente basta considerar a los naturales y a los racionales positivos. En algunos casos, como en la contabilidad, es necesario distinguir entre dos maneras de contar o medir, y para ello se consideran también números negativos.

² De hecho, los racionales reflejan una propiedad llamada densidad. La continuidad es reflejada de manera exacta por los números reales, que abarcan tanto a los racionales como a los irracionales, pero esa... es otra historia.

2. Proporciones y Porcentajes.

Las proporciones de utilizan para comparar dos cantidades, sean discretas o continuas. La vida cotidiana está llena de aplicaciones de este concepto, como lo indican los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Si un mapa, está a escala 1 :300, eso significa que las distancias reales son trescientas veces más grandes que las representadas en el mapa.

Ejemplo 2. Si una receta de cocina pide como ingrediente 3/8 de tazas de leche, primero debemos medir un tercio de taza y luego contar ocho de dichas medidas.

Ejemplo 3. Si un candidato a presidente es elegido por obtener el 35% de los votos, esto significa que el número de votos que obtuvo se puede calcular dividiendo el total de votos en cien partes y contando 35 de dichas partes.

Ejemplo 4. Si nos fijamos en la relación que existe entre la circunferencia de un círculo y su diámetro obtenemos un número que resulta ser de esos que llamamos irracionales" es el número π.

En estos ejemplos podemos darnos cuenta de la importancia de unidades respecto a las cuales se hace la comparación, En el primer ejemplo, la unidad de medición puede ser el centímetro; en el segundo es la taza y en el tercero el total de votos. Las cantidades que queremos medir o contar se obtienen a partir de dichas unidades multiplicando por un número racional; en los ejemplos se multiplica por 300/1, 8/3, 35/100,  π/1.

El último ejemplo merece mención aparte y no nos ocuparemos aquí de ese tipo de números, La proporción utilizada en el penúltimo se llama porcentaje, porque siempre se divide la unidad considerada en cien partes iguales, Cuando se usan porcentajes la unidad siempre se considera como el total de objetos que se va a contar o medir,

Actividad.

Material para cada equipo: Medio kilo de frijol, medio kilo de arroz o algún material de granos finos, 4 círculos de cartulina, de 10 cm de diámetro: dos recortados en tres "rebanadas de pizza" desiguales, y dos recortados en tres partes iguales.

1) Dividir las cantidades de frijol, y arroz en un cierto número de partes iguales y representar físicamente con los dos tipos de material algunos ejemplos de proporciones, considerando una unidad específica (por ejemplo, decena de frijol) o bien la totalidad de los granos.

2) Utilizando las partes iguales de los círculos recortados, considerar una unidad específica (por ejemplo, un décimo de círculo) para encontrar la representación numérica de las partes desiguales de los círculos recortados.

3) Considerando como unidad la, totalidad del círculo, encontrar los porcentajes que representan las partes desiguales de los círculos recortados.

3. Números Grandes.³

    A medida que nuestra civilización avanza, números cada vez más grandes entran en escena para contar las cantidades discretas que aparecen en diversos aspectos.

    Estos son algunos datos numéricos del orden de un millón, mil millones y un billón, respectivamente:

    Manejar estos números se convierte en algo cada vez más difícil. De ahí la necesidad de utilizar la notación exponencial. Se trata de expresar el número contando los dígitos que se necesitan para expresarlo normalmente. Esto corresponde a la potencia de diez más cercana al número en cuestión.

____________________

³ [AS] y [SA]

    En la siguiente tabla aparecen en la columna izquierda, algunas potencias de diez que representan grandes números; para dar una idea de su tamaño, aparece en la columna derecha el tiempo que llevaría contar desde uno hasta dicho número, si lo hiciéramos a razón de una cifra por segundo:

    Con la notación exponencial podemos hablar de números  todavía más grandes. A continuación se enlistan los nombres que reciben algunos de estos números así como su representación en notación exponencial: un millón (10⁶), mil millones (10⁹), un billón (10¹²), un trillón (10¹⁸), un cuatrillón (10²⁴), un quintillón (10³⁰), un sextillón (10³⁶), un septillón (10⁴²), un octillón (10⁴⁸), un nonillón (10⁵⁴) y un decillón (10⁶⁰).

    Parece increíble que éstos números aparezcan en la realidad, pero así es. A continuación se aportan algunos datos que los involucran:

4. Leyenda de la invención del Ajedrez.

    El ajedrez es un juego apasionante por varias razones. A continuación presentamos la leyenda de la invención del ajedrez como una curiosa situación que, sin parecerlo, involucra un número muy grande

Actividad.

Material por equipo: Medio kilo de arroz o un material de grano fino. También un tablero de ajedrez.

Colocar granos sobre el tablero, comenzando  por una esquina con un grano y prosiguiendo con las siguientes casillas, colocando en cada casilla el doble de granos que en la casilla. anterior.

Leyenda de la invención del juego de ajedrez.⁴

    Hace mucho tiempo, en la antigua Persia (aunque también pudo haber ocurrido en la India o incluso en China, el gran visir, el primer consejero del rey, había inventado un nuevo juego sobre un tablero de 64 casillas rojas y negras, organizadas en ocho filas y ocho columnas. La pieza más importante era el rey, y cuyo objetivo era capturar al rey enemigo. En consecuencia, recibió en lengua persa el nombre de shahmat, que significa muerte al rey⁵. El rey se sintió tan complacido que pidió al gran visir que determinara su recompensa por tan maravillosa invención. Este explicó que deseaba una modesta gratificación: solicitó que el rey le entregase un solo grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente, siempre duplicando el número de granos de trigo de la casilla anterior. El rey pensó que el premio solicitado era harto mezquino y le ofreció joyas, bailarinas, palacios. Todo fue rechazado por el gran visir, y el rey, fascinado por la humildad de aquel, finalmente accedió. Sin embargo, cuando el senescal estaba contando los granos, el rey recibió una desagradable sorpresa. La cantidad de trigo que el gran visir había pedido equivalía a 150 veces la producción actual de trigo en todo el mundo.

    Usando la notación exponencial en base 2, es posible realizar el cálculo exacto del número total de granos que deberían estar sobre el tablero, como se explica a continuación:

Sea S el número total de granos de trigo en el tablero, es decir:

S = 1 + 2 + 2² + 2³... + 2⁶² + 2⁶³

Multiplicando por 2 ambos miembros de la ecuación se obtiene:

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶³ + 2⁶⁴

Restando la primera ecuación de la segunda:

S = 2S - S = 2⁶⁴ - 1

    Hagamos ahora una aproximación de este número usando la notación ordinaria en base 10. Si 2¹⁰ se aproxima a 1000, es decir, 10³, entonces 2⁶⁰ = (2¹⁰)⁶ es aproximadamente (10³)⁶ = 10¹⁸. Así que 2⁶⁴ = 2⁴ X 2⁶⁰ = 16 X 2⁶⁰ es aproximadamente 16 x 10¹⁸, es decir, 16 seguido de 18 ceros o 18 trillones de granos. Una aproximación más exacta es 18.6 trillones de granos. El peso de esta, cantidad de granos de trigo es de 75, 000 millones de toneladas. Esto es equivalente a toda la producción actual de trigo en todo el mundo multiplicada por 150.

    A continuación se presentan tres aplicaciones de los números en notación exponencial en tres áreas muy distintas, que tienen además particular interés en la actualidad.

__________________________

 ¹ [SA] capítulo 2.

⁵  De hecho en español el movimiento final se llama jaque mate, y en inglés checkmate .

5. Interés simple y compuesto.⁶

Cuando se invierte cierto capital a un banco, se considera una tasa específica que indica el porcentaje del capital, o interés, que el banco paga al ahorrador por el hecho de haber tenido el capital guardado un determinado tiempo. La diferencia entre interés simple e interés compuesto es que en el primer caso el capital sobre el cual se calcula la tasa es el mismo, y en el segundo caso, el interés obtenido se adjunta al capital, aumentándolo, de tal forma que el nuevo interés se calcula a partir del nuevo capital aumentado.

    Supongamos que un antepasado nuestro haya ingresado 10 dólares en un banco hace 200 años.⁷ A continuación se presenta una tabla que contiene la fortuna en dólares que tendríamos hoy con diversas tasas de interés anual, tanto con interés simple, como con interés compuesto.

         En el primer caso, al capital inicial (10 dólares) hay que sumar los intereses (que son los mismos con una tasa específica) generados durante 200 años. En el segundo caso, el cálculo del capital variable es como sigue, suponiendo que la tasa de inversión es t: al término del primer año el capital es de 10+ 10 x t = 10 x (1 + t) , al finalizar el segundo año, el capital es de 10 x (1 + t) x (1 + t) = 10 x (1 + t)² , Y al término de 200 años, es de 10 x (1 + t)²⁰⁰.Es interesante notar que en el caso del interés simple la fórmula con la que se calcula el dinero que se obtiene después de 200 años es una multiplicación en la que el interés se multiplica por una constante (en este ejemplo esa constante es 2000) y luego se suma al capital sin embargo en el interés compuesto se eleva a la potencia 200 ( número de años) uno más el interés con lo cual es claro que en el caso del interés compuesto el crecimiento será mayor es lo que se llama un crecimiento exponencial.

    Nótese la gran diferencia entre ambos tipos de interés. En el caso del interés compuesto, a un pequeño cambio en las tasas le corresponde un gran cambio en el capital.

6. Crecimiento de Población.⁸

    Durante la mayor parte del tiempo en que la Tierra ha sido habitada por seres humanos su población ha permanecido estable. A partir de la, invención de la agricultura la población comenzó a crecer, entrando en una fase exponencial. Actualmente la población mundial tarda unos cuarenta años en duplicarse. Suponiendo que este periodo de duplicación se mantiene constante, a continuación se muestra la población humana aproximada en algunos años venideros.

_____________________

 ⁶  [SA] Capítulo 2.

⁷  Si utilizamos dólares y no pesos no es por malinchismo, sino porque el dólar ha sido más estable a lo largo de dos siglos.

⁸ [SA], capítulo 2.

Así pues, es urgente que consigamos detener el crecimiento exponencial en este siglo.

7. Decaimiento radiactivo .

    Un material radiactivo como el plutonio, el uranio, o el carbono 14, se "desintegra" transformándose en otra forma o isótopo del mismo material. Esta desintegración no es inmediata. La vida media de este material es el periodo de tiempo que le lleva desintegrarse a la mitad. A continuación se presenta una tabla con el tiempo que transcurre cuando un kilogramo de algún material radiactivo se va desintegrando. Se supone que la vida media de dicho material es de un año. 

    Obsérvese como la notación exponencial también puede echar mano de exponentes negativos en un fenómeno de decrecimiento como éste.

    Una aplicación importante de este fenómeno es la posibilidad de calcular con gran precisión el tiempo transcurrido a partir de un suceso. A continuación presentamos la siguiente tabla de eventos de los que se ha podido conocer su antigüedad gracias a la desintegración radiactiva.

[AS] Asimov, Isaac, Only a Trillion, Ace Books, New York, 1976.

[SA] Sagan, Carl, Miles de Millones, Editorial Biblioteca de Bolsillo, España, 2000.

[PE-A] Perelman, Y. Algebra Recreativa, Ediciones Quinto Sol, México, 1993.

[PE-M] Perelman, Y., Matemáticas Recreativas, Editorial Mir, Moscú, 1971.

Interest and Exponential Growth Table   
http://www.math.com/tables/general/interest.htm

Suzanne's Math Lessons: Graphing
http://forum.swarthmore.edu/alejandre/spreadsheet.html

http://www.thirteen.org/edonline/lessons/grphing/b.html

Exponential Growth and Decay
http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/exp/Q.exp.html