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Las matem�ticas no son �nicamente n�meros, como muchos creer�an; por supuesto que algunas ramas de ella, como lo son las ecuaciones en todas sus variedades (diferenciales, integrales, algebraicas, en diferencias), la aritm�tica, el �lgebra, el an�lisis num�rico, la estad�stica; y otras m�s especializadas como la teor�a de n�meros, tratan con ellos. Pero en matem�ticas, tambi�n hay divisiones que no tratan con n�meros sino con objetos abstractos, pilares fundamentales de las otras ramas: la topolog�a, en todas sus variedades, ciertas geometr�as, con enfoque no anal�tico y el an�lisis, donde se recurre a presentaci�n de teoremas y demostraciones, las cuales se dan con palabras, a veces tan espec�ficas que el significado de la misma no nos dice nada hasta que no hemos comprendido su concepto dentro de la materia. Hay un programa de geometr�a, llamado Cabri, dise�ado por un matem�tico de Qu�bec, -menciono esto como precedente a la FIL, cuyo invitado de este a�o es esta provincia franc�fona canadiense- con el cual se pueden explorar las propiedades de los cuerpos geom�tricos, sin necesidad de recurrir a los n�meros.
Entonces hasta ahora tenemos dos puntos donde no se utilizan los n�meros en las matem�ticas: en geometr�a y en las demostraciones. Como la geometr�a se basa en figuras, patrones y estructuras visuales, dejaremos de lado esta, para centrarnos en el otro punto: la demostraci�n en matem�ticas.
Las matem�ticas han sido consideradas como el lenguaje universal, estructura del universo, forma mediante la cual pueden describirse ciertos acontecimientos o fen�menos de la naturaleza, sino es que todos, seg�n el esfuerzo de los creyentes en la Teor�a del Todo, aquella que vendr� a unificar los criterios tanto del macro como del micro universo, en una ley que deber� ser sencilla, elegante, verdadera.
Para describir los objetos (abstractos o concretos, reales o imaginados) y sus comportamientos, es necesario hablar un lenguaje en com�n con otro grupo de personas con las cuales se establece la comunicaci�n. Entonces, podemos afirmar que un lenguaje en com�n es indispensable para el entendimiento y expresi�n de lo pensado; de hecho, hay quienes hablan de c�mo la historia del pensar humano puede reducirse a la de las relaciones entre las palabras y el pensamiento. Al principio el signo y el objeto representado eran lo mismo; luego, los hombres advirtieron que entre las cosas y sus nombres se abri� un abismo; fue cuando se dio la primera tarea del pensamiento: fijar un significado preciso y �nico a los vocablos.
La palabra tiene cierto acomodo interno, una estructura inherente, permutable, como en el caso del hebreo, donde la misma palabra puede tener significados totalmente opuestos, con el simple hecho de cambiar el acomodo de los signos: oneg, placer; nego, dolor. As�, tambi�n dentro de las palabras hay matem�ticas, un acomodo cient�fico, universal.
Como dijo Wilbur Marshall Urban : La esencia del lenguaje es la representaci�n, de un elemento de experiencia por medio de otro, la relaci�n bipolar entre el signo y el s�mbolo y la cosa significada o simbolizada, y la conciencia de esa relaci�n.
Claro que la experiencia en matem�ticas no se da siempre de forma emp�rica, sino que puede ser un encontrarse con elementos imposibles de visualizar, como los objetos en dimensiones mayores a 4, s�lo por dar un ejemplo. Como dec�a Ard�, uno de los mejores matem�ticos del siglo pasado: Creo que la realidad matem�tica est� fuera de nosotros, que nuestra funci�n es descubrir u observarla, y que los teoremas que probamos, y que describimos tan grandilocuentemente como�nuestras creaciones� son simplemente las notas de nuestras observaciones. Lo mismo pasa en la poes�a, las experiencias pueden ser cotidianas o abstractas, pero lo importante aqu�, no es el hecho, sino la significaci�n, la manera de codificarlo y traducirlo para capturar el instante, la belleza del momento que se escapa, del movimiento que no cesa: signo que se vuelve s�mbolo. Escribir, leer y deambular por la realidad es convertirla en un signo, imponerle significados que circunscriben al hablante y al referente en un territorio discursivo sobrejaloneado.
Una vez comprendida la necesidad de tener un lenguaje en com�n, ahora podemos preguntarnos �cu�l es, entre todos los lenguajes, el mejor? Acaso no haya una respuesta �nica, pero si diversos puntos de vista, seg�n sea la situaci�n geogr�fica e hist�rica de los individuos, o grupos de individuos, mejor dicho. Bourbaki intent�, de alguna manera, bastante extensa por cierto, dar respuesta al problema del lenguaje en matem�ticas. Nicol�s Bourbaki es uno de los matem�ticos m�s influyentes del siglo XX: de nacionalidad francesa, nombre griego y no existente. Si, Bourbaki representa a un grupo de matem�ticos franceses que trabajan bajo este pseud�nimo desde 1939, con el prop�sito de escribir un tratado que rescriba a las matem�ticas. Al final de uno de sus art�culos, aparecido en The Journal of Symbolic Logic en 1949 concluye: Afirmo que puedo construir sobre estos fundamentos el cuerpo entero de las matem�ticas de hoy d�a y que si hay algo original en mis procedimientos estriba solamente en el hecho de que, en lugar de contentarme con dicha afirmaci�n, procedo a demostrarla del mismo modo que Di�genes prob� la existencia del movimiento, y mi demostraci�n llegar� a ser m�s y m�s compleja a medida que mi tratado vaya creciendo. Bourbaki pretende dar un tratamiento minucioso a los temas matem�ticos, al grado de dar una definici�n del n�mero 1, tras una preparaci�n de casi 200 p�ginas, en t�rminos de s�mbolos extraordinariamente abreviados y condensados, explicando que la forma sin abreviar de la definici�n en su sistema de rotaci�n requerir�a varias decenas de millares de s�mbolos. Muchos de los t�rminos condensados que utilizamos los matem�ticos hoy d�a se deben al esfuerzo de Bourbaki, como los t�rminos, inyectivo y sobreyectivo, al hablar de funciones. Veamos un ejemplo.
Definici�n. Se dice que una funci�n f : A → B es inyectiva si para cada par de puntos distintos de A, sus im�genes por f son distintas.
En pocas palabras, si dos cosas distintas, una vez transformadas, siguen siendo distintas, entonces han sido transformadas por una regla de asignaci�n que cumple la propiedad inyectiva, o uno a uno, como se le conoc�a antes de Bourbaki. Para comprender el significado de este t�rmino, inyectividad, que es una propiedad de las funciones, necesitamos saber qu� es funci�n, dominio, rango, conjunto, imagen. As� nos damos cuenta de que las matem�ticas van creando su propio lenguaje, a partir de sus necesidades.
En poes�a sucede lo mismo. El lenguaje se renueva con el paso del tiempo, las modas y costumbres, los viajes; hasta hay quienes inventan sus propias palabras, llamadas neologismos, y otros que cambian el orden de las palabras, para formar nuevos significados. Tenemos la frase famosa, acu�ada por su autor: Salvador Dal�, Avida dollars: mismas letras, diferente acomodo.
Adem�s de las palabras, es importante la estructura, lo que no se dice pero se sugiere, la forma que alberga al fondo: contenido y contenedor.
La historia humana evoluciona de una manera conjunta; los cambios no se dan una sola �rea del saber, sino que van acompa�ados: arte y ciencia, una misma historia. A finales del siglo XIX, nacen las geometr�as no euclidianas para dar paso, m�s adelante, a los adelantos en f�sica, especialmente a la Relatividad. Al mismo tiempo, al ponerse en duda las estructuras que hab�an regido durante tantos a�os, la poes�a tambi�n se ve influenciada por la ciencia: los poemas dejan su rigidez, para proponer nuevas estructuras. Rimbaud y Mallarm� son a la poes�a lo que Lobachevsky y Riemman a las matem�ticas: la linealidad se pone en duda. No es tanto aquello que dice el poeta, sino lo que va impl�cito en su decir, su dualidad �ltima e irreductible, lo que otorga a sus palabras un gusto de liberaci�n� La palabra po�tica jam�s es completamente de este mundo: siempre nos lleva m�s all�, a otras tierras, a otros cielos, a otras verdades� al hablarnos el poeta nos habla de otra cosa: de lo que est� haciendo, de lo que est� siendo frente a nosotros y en nosotros. Nos habla del poema mismo, del acto de crear y nombrar y m�s: nos lleva a repetir, a recrear su poema, a nombrar aquello que nombra; y, al hacerlo, nos revela lo que somos.
El matem�tico, como el poeta, no solo nos revela ciertas verdades, sino que lo hace de manera tal que, al hacer una demostraci�n, hay algo impl�cito, mucho m�s all� de lo que se dice. Porque cada concepto hace referencia a un c�mulo de conocimientos ya almacenados, a otras ramas de la misma matem�tica. Podemos dar como ejemplo a Euler y a Gauss, dos de los matem�ticos m�s prol�ficos e importantes de la historia: mientras que Euler desglosaba cada paso de sus demostraciones, dando tantos detalles como le eran posibles, Gauss intentaba ocultar sus maneras de llegar a la demostraci�n; si uno toma un texto de estos autores, resulta mucho m�s placentero leer a Euler, por la belleza de lo que dice, contra el hermetismo de su colega.
Al hablar de la estructura, es indispensable remontarnos a la historia. En un principio, el arte y la ciencia no exist�an de manera independiente, sino que formaban un raudal �nico de conocimientos, mismo que se entretej�a con las formas antiguas de religi�n, ll�mese chamanismo o brujer�a. Al haber compartido cuna, la poes�a, reina de las artes, y las matem�ticas, reina de las ciencias, siguen manteniendo un v�nculo de fondo, una estructura algebraica coherente e imaginativa, porque ambas no son m�s que especulaci�n, creencia en ciertos hechos o ideas, enso�aci�n de realidades alternas, independientes de la vida cotidiana, enaltecedoras de la misma o, como dir�a Cezanne, una armon�a paralela a la de la naturaleza. Entonces, arte y ciencia no son m�s que hijas de la misma madre: la creencia o especulaci�n, llamada religi�n en nuestros d�as.
La poes�a no narra los hechos como sucedieron, sino como deber�an ser; las matem�ticas tambi�n intentan decir c�mo deber�an ser los comportamientos mediante sus teoremas fundamentales, especulan sobre el futuro en sus leyes de probabilidad, recogen la historia y la asimilan como un tratado universal, en su definici�n de n�meros y conceptos.
Las matem�ticas son, por excelencia, las creadoras de estructura, las que dan la forma y permiten sustentar teor�as m�s fuertes en otros �mbitos de la ciencia, como pasa en la f�sica actual, donde muchas veces se prefieren las teor�as que pueden ser expresadas en f�rmulas sencillas, bellas y acaso verdaderas, a aquellas que son representadas por f�rmulas largas y ambiguas; entonces, un patr�n de decisi�n para decidir si algo es matem�ticamente correcto, puede ser la belleza de su estructura. Seg�n Hardy, Los patrones del matem�tico, como los del pintor o los del poeta, deben ser bellos, las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar de una manera arm�nica. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para matem�ticas feas. Tomemos por ejemplo indirecto, las f�rmulas que han sustentado las teor�as del �ltimo siglo, desde la Relatividad General, la F�sica Cu�ntica hasta la m�s moderna Teor�a M, que acopla las teor�as de supercuerdas, las cuales han mostrado tener una belleza inherente, una rigidez en su estructura tan fuerte, que han sido aceptadas, a�n antes de su factual demostraci�n emp�rica. La teor�a del Todo, aquella que unificar� los conceptos f�sicos en una sola teor�a, tendr� que ser fuerte en su estructura, as� como bella al ser interpretada. O m�s all�, de manera m�s ambiciosa, como dir�a Thoreau, gran escritor americano: Las afirmaciones m�s bellas y distintas de cualquier verdad deben tomar al final una forma matem�tica. Podr�amos simplificar las reglas de filosof�a moral y las de la aritm�tica, de manera que puedan ser expresadas en una sola f�rmula. El �nico requisito para entender estas f�rmulas, es tener un cierto conocimiento en la materia, por lo que, esta belleza no puede ser apreciada por todos; pero �acaso no sucede lo mismo con ciertas obras de arte, como lo es el minimalismo o el avant garde?
Ahora, vayamos a la poes�a. La estructura en el poema, objeto de la poes�a, porque poes�a es el arte universal, lo ef�mero en el hombre, y poema, el objeto sobre el papel, la letras que se unen, de diversas maneras, ya sea de forma racional e intencionada o libre y autom�tica, como era el caso con los surrealistas, marca, hasta cierto punto, la belleza del mismo. Tomemos como ejemplo, el poema Piedra de Sol, de Octavio Paz, al cual hago referencia por hacer honor y justicia a este gran poeta mexicano, ganador del premio Nobel de Literatura, y al cual a veces se lee demasiado poco. Este poema, referente al calendario azteca, tiene, en su edici�n de 1957 la siguiente nota: En la portada de este libro aparece la cifra 584 escrita con el sistema maya de numeraci�n; asimismo, los signos mexicanos correspondientes al d�a 4 Ol�n (Movimiento) y al d�a 4 Eh�catl (Viento) figuran al principio y al final del poema. Quiz� no es in�til se�alar que Piedra de sol est� compuesto por 584 endecas�labos. Este n�mero de versos es igual al de la revoluci�n sin�dica del planeta Venus, que es de 584 d�as. Los antiguos mexicanos llevaban la cuenta del ciclo venusino a partir del d�a 4 Ol�n; el d�a 4 Eh�catl, 584 d�as despu�s, se�alaba la conjunci�n de Venus y el Sol, fin de un ciclo y comienzo de otro� A continuaci�n los versos iniciales del poema:
un sauce de cristal, un chopo de agua,
un alto surtidor que el viento arquea,
un �rbol bien plantado mas danzante,
un caminar de r�o que se curva,
avanza, retrocede, da un rodeo
y llega siempre
Otro objeto en com�n en cuanto a las matem�ticas, la poes�a y su estructura est� en la combinatoria y las permutaciones: c�mo acomodar cierto n�mero de objetos en ciertas posiciones o lugares distintos. Jean Lescure, perteneciente al grupo franc�s de literatos-matem�ticos OULIPO, invent� un procedimiento que consiste en reemplazar cada sustantivo con el s�ptimo siguiente en el diccionario. Con este m�todo, llamado n+7, se escoge un texto y un diccionario, se identifican los sustantivos en el texto y se van reemplazando, cada uno, por el que sigue siete sustantivos m�s adelante en el diccionario.
A continuaci�n presento una traducci�n del ingl�s de un texto desarrollado por Lescure utilizando The Living Language Common Usage Dictionary: English-Russian, para reescribir el inicio del libro del G�nesis:
En una banca Dios cre� la gallina y la educaci�n. Y la educaci�n era sinfundamentos, y vac�a; y la muerte cay� sobre la falsedad de la demanda. Y eldeporte de Dios se movi� por la falsedad de la riqueza. Y dijo Dios, H�gase ell�mite; y hubo l�mite.
Otro de los integrantes de OULIPO, Jaques Roubaud, escritor y matem�tico franc�s, tiene un poema titulado e, la constante matem�tica, que consiste en una complicada red de diversos textos interrelacionados de acuerdo con las reglas del juego japon�s Go, a cada una de cuyas fichas equivalen aqu� diversos poemas del libro. Estos poemas, a su vez, establecen entre s� otros v�nculos ocultos como los que configuran, mediante una serie de catorce poemas un soneto de sonetos.
GO 68
cuatro
quien mira las dos mitades de la c�scara
ver� c�mo las bocas se acercan al espejo
intermedio las bocas de las tinieblas con rosas
la boca de los amantes sobre el cristal en harapos
pero la rosa de la noche s�lo ve oscuridad
redondeada sobre el susurro de las cosas
la boca del amante no toca sino boca�
Pero �qu� es Oulipo? Oulipo, (Ouvroir de Litt�rature Potentielle), Taller de Literatura potencial, es un grupo literario franc�s fundado en 1960 por Fran�ois Le Lionnais (matem�tico) y Raymond Queneau (escritor), cuyas bases estan dadas por el surrealismo y el cual cuenta con las siguientes caracter�sticas:
Oulipo no es un grupo cerrado. Nadie puede ser corrido de Oulipo c.Nadie puede dejar de ser parte de Oulipo d.Una vez miembro, siempre se es miembro: a�n los muertos pertenecen a Oulipo. Una excepci�n a esta �ltima regla se da si el que buscar renunciar a Oulipo se suicida ante un oficial del grupo, y bajo las circunstancias de que diga que lo hace para dejar de pertenecer al grupo.
La segunda caracter�stica original de Oulipo est� en las matem�ticas: tulipa es un homenaje a Bourbaki. Oulipo se propuso, como se propusiera Bourbaki, reescribir las matem�ticas enteramente y proveerlas con fundamentos s�lidos basados en una sola fuente, la teor�a de conjuntos, pero en la rama de las artes y el lenguaje.
Oulipo es un grupo literario compuesto de cuatro tipos de miembros:
Escritores que son matem�ticos. Matem�ticos que no son escritores Escritores y matem�ticos Matem�ticos y escritores.
El objetivo de Oulipo es inventar (o reinventar) las restricciones de una estructura formal y proponerla a entusiastas compositores de literatura. Los textos de Oulipo son consecuencias de axiomas matem�ticos, de acuerdo con las reglas de deducci�n que los transforman en analog�as de la serie de teoremas y corolarios con los cuales est�n construidos los textos matem�ticos.
Tomemos un �ltimo ejemplo: el libro fundamental de Raymond Queneau, Cent Mille Millards de Po�mes, (1015 Poemas), el primer libro deliberadamente oulipiense, pone a la disposici�n simult�neamente todas las versiones que pueden ser construidas variando el orden elegido de los versos en los 10 poemas originales (sonetos).
Seg�n David Bohm, f�sico de renombre mundial, Lo que desea [el cient�fico] es hallar en la realidad en que vive cierta unicidad y totalidad, o integridad, lo que constituir� una especie de armon�a considerada hermosa. En este aspecto, el cient�fico quiz� no se diferencie tanto del artista, que tiene como meta la creaci�n de algo similar en su trabajo.
En la demostraci�n hay belleza, adem�s de verdad. Veamos el siguiente teorema, uno de los cl�sicos y m�s antiguos en la historia de las matem�ticas, debido a Euclides. El teorema, a pesar de su sencillez, habla de lo infinito, aun sin conocerlo, adem�s de seguir conservando su validez y belleza aun despu�s de miles de a�os. La demostraci�n de Euclides se hace por contradicci�n o reducci�n al absurdo.
Teorema. Existe una infinidad de n�meros primos.
Demostraci�n de Euclides. Suponemos que hay finitos, luego llegamos a una contradicci�n.
Hemos hablado de c�mo los poetas y los matem�ticos y, en general, toda la humanidad ha tenido un desarrollo paralelo. Los temas matem�ticos siempre han interesado a la humanidad, independientemente de si los entiendan o no. Ahora veremos algunos autores que han mostrado ciertas ideas matem�ticas en sus poemas, al compartir temas como lo son los patrones, las figuras, las formas, el infinito, las paradojas, las pruebas y contradicciones.
Vladimir Holan, uno de los mejores poetas checos del siglo XX, nacido en Praga en 1905, donde vive desde 1948 hasta su muerte en 1980 en un encierro voluntario, escribe en su poema Oto�o I:
Sin embargo el aire se burla de los colores
y el menos amarillo es ya el amarillo mismo.
El cubo lleno de la memoria de la esfera.
�Qui�n no sentir�a nostalgia, pues, de una ruina?
Miroslav Holub, compatriota de Holan, adem�s de poeta fue uno de los mejores inmunologistas de su pa�s. Holub dice: As�, con respecto al uso de las palabras y las afirmaciones, la poes�a y la ciencia se mueven en direcciones diferentes y casi opuestas. Pero no apuntan en mi opini�n, a fines opuestos. Holub escribe sus poemas con el lenguaje cient�fico de su profesi�n, tiene un libro de poemas titulado Aquiles y la Tortuga, por la cl�sica paradoja griega, que hace referencia al infinito, de donde tomamos el siguiente fragmento, que utiliza el conteo como forma po�tica.
Dos mil cigarros.
Cien millas
de pared a pared.
Una eternidad y media de vigilias
m�s blandas que la nieve.
Wislawa Szymborska, poeta nacida en Polonia en 1923 y ganadora del Nobel de Literatura en 1996, tambi�n se interesa por las matem�ticas, al punto de haber titulado a uno de sus libros El gran n�mero, de donde tomamos el siguiente fragmento:
Digno de admiraci�n el n�mero pi
tres punto uno cuatro uno.
Todas sus dem�s cifras tambi�n son inciales,
cinco nueve dos porque nunca se termina.
No se deja abarcar seis cinco tres cinco con la mirada,
ocho nueve con un c�lculo,
siete nueve con la imaginaci�n
o incluso tres dos tres ocho con una broma es decir una comparaci�n
cuatro seis con nada
dos seis cuatro tres en el mundo.
Y este otro:
Cuatro mil millones de seres en esta tierra
y mi imaginaci�n sigue siendo la misma.
No se le dan bien los grandes n�meros.
Le sigue conmoviendo lo individual.
Tambi�n tenemos a los m�s conocidos como Bertrand Russell, matem�tico y premio Nobel de Literatura; Omar Kayam, matem�tico, fil�sofo y poeta persa; Nicanor Parra, matem�tico y poeta chileno; Charles Dodgson, mejor conocido como Lewis Carroll, autor del famoso libro Alicia en el Pa�s de las Maravillas, escribi� un poema titulado La Caza del Snark, mismo que escribi� a partir de la �ltima l�nea, hacia el principio.
Richard Feynman, uno de los mejores f�sicos de nuestro tiempo, quien tambi�n es pintor, escribe:
Me pregunto por qu�? Me pregunto por qu�?
Me pregunto por qu� me pregunto?
Me pregunto por qu� me pregunto por qu�
Me pregunto por qu� me pregunto?
Concluyo con el siguiente fragmento, de Octavio Paz, el cual habla de la poes�a, pero en el cual podr�amos perfectamente cambiar la palabra poes�a por matem�ticas y seguir�a tener sentido: La poes�a es conocimiento, salvaci�n, poder, abandono. Operaci�n capaz de cambiar al mundo�, es un m�todo de liberaci�n interior. La poes�a revela este mundo; crea otro. Pan de los elegidos; alimento maldito. A�sla; une� Niega a la historia: en su seno se resuelven todos los conflictos objetivos y el hombre adquiere al fin conciencia de ser algo m�s que tr�nsito. Experiencia, sentimiento, emoci�n, intuici�n, pensamiento no-dirigido. Hija del azar; fruto del c�lculo. Arte de hablar en una forma superior; lenguaje primitivo. Obediencia a las reglas; creaci�n de otras.
Omar Rojas
Guadalajara, M�xico
Correo electr�nico: [email protected]
Para saber m�s: Nicol�s Bourbaki, Matem�ticas y poes�a, Jaques Roubaud, G. H. Hardy, Oulipo, Octavio Paz
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