Esame di MECCANICA RAZIONALE

4 gennaio 1996

Si consideri nel piano verticale Oxy, con l'asse y diretto come l'asse verticale ascendente, il sistema articolato costituito dalle due aste omogenee OA ed AB. L'asta OA, di lunghezza a e peso p, è incernierata al suolo in O e ad essa è collegata pure a cerniera, l'asta AB, di lunghezza 2a e peso 2p, che è infilata nel manicotto incernierato in C, posto sull'orizzontale per = a distanza a da esso.

1.

Apllicando il principio dei lavori virtuali determinare il momento M della coppia da applicare affinchè il sistema sia in equilibrio con OA inclinata di 60° sull'orizzontale;

2.

Trovare le reazioni vincolari esterne nella configurazione di equilibrio.

Soluzione

1.

dL = M.kdO + p.dG₁ + 2p.dG₂

Poichè gli spostamenti virtuali sono tutti invertibili per l'equilibrio deve essere M_zdq - pdy (G₁) - 2pdy(G₂) = 0

y(G₁) = (a/2) senq;

dy(G₁) = (a/2)cosq dq

Essendo OAC isoscele:

y(G₂) = G₂ C sen (p/2 - q/2) = (2a sen q/2 - a)sen (p/2 - q/2) = a (2 sen q/2 -1)cos q/2 = a (senq - cos q/2);

dy(G₂) = a(cosq + (1/2)senq/2)dq

dL = 0 => M_zdq - (a/2) p cosq dq - 2p a (cosq + (1/2)sen(q/2))dq = 0

da cui M_z = (a/2) p cosq + 2p a (cosq + (1/2)sen(q/2)) = (5ap/2) cosq + p a sen(q/2)

Il valore che compete a M_z affinchè ci sia equilibrio oer q = 60° è pertanto

M_z = 7pa/4

2.

Nella configurazione di equilibrio, in cui cioè il triangolo OAC è equilatero per cui risulta G2 = C, sono necessariamente soddisfatte le relazioni:

R_Ox + F_Cx = 0

-p - 2p - F_{Ox +} F_Cy = 0

7pa/4 - pa/4 - 2pa +F_Cy a = 0

Inoltre essendo F_C ortogonale ad AB, è F_{Cy =} F_Cx tg 30° e si ricava:

F_Cy = p/2;

F_Cx = (3^1/2)p/2;

F_Ox = -(3^1/2)p/2;

F_Oy =5p/2