Esame di MECCANICA RAZIONALE

10 giugno 1997

Nel piano verticale Oxy un'asta rigida omogenea OA, di peso p e lunghezza a, è girevole attorno all'estremo fisso O e si appoggia ad un disco, di peso q e raggio R, che a sua volta è appoggiato alla guida x orizzontale. Nel centro C del disco agisce la forza f = -(ap/8R)i Determinare

1. la configurazione di equilibrio relativo del sistema studiarne la stabilità;

2. le reazioni vincolari in O e nel punto B di contatto fra disco e guida;

3. la forza F_Hesercitata dal disco sull'asta.

Soluzione

1.

U = (1/2)apsenq - (1/8)ap cotg(q/2)

dU/dq = -(1/2)apcosq - ap/(16sen²(q/2)) = 0 per q = p/3;

d²U/dq² , per q = p/3 è nulla, U''' invece è diversa da 0 quindi la posizione non è di equilibrio stabile.

2.

p + q + f + F_O + F_B = 0

px(O-G) + (f + q) x (O - C) + F_B x (O - B) = 0

Da cui:

-f+F_Ox=0

-p - q - F_Oy + F_By = 0

-p a/4 - q 3^1/2R + ap/8 + F_By 3^1/2R = 0

F_Ox = pa/8R

F_By = q + (ap)/(8(3^1/2)R)

3.

Equazione dei momenti rispetto ad O per l'asta

p x ( O - G) + F_H x (O - H) = 0

F_H = 3^1/2R - pa/4 = 0

F_H = pa/(4 (3^1/2)R)

F_H=-(ap/8R)i + (ap)/(8(3^1/2)R)j