Es un texto inspirado en parte por la lectura de la "Historia de las
Cifras" de George Ifrah y en parte por la lógica de los puntos de
vista, a la que subyacen ideologías como la del jainismo y la del
taoismo, y la lógica de la relatividad de las convenciones, a la que
subyace la ideología del pragmatismo lógico y del lenguaje y quizás de
la misma
teoría de la relatividad física.
Este es un texto filósofico acerca de aritmética,
en concreto las numeraciones, quizás -por ser filosófico-
no hay en él algo que
pueda llamarse "el grano" a lo que se pueda "ir", no es un texto formal
ni propiamente matemático, no intento tomar decisiones sobre los
numeros, ni sus denominaciones, ni sobre las operaciones, ni pretendo
ser sistemático, no sabría decir si escribo acerca de cómo son las
cosas "en aritmética" o fuera de ella en "linguística" o "lógica" o sin
relación a disciplina alguna. Y, por su puesto, si este texto llega a
una conclusión es, solamente, porque
además de escribir, también, como, duermo, ando, juego, etcétera.
Por esto mismo, esta versión carece de índice y esta presentada en un
solo archivo.
Nótese en cuanto a la tipografía de este texto, que he empleado
colores, además de diacríticos, he empleado en unas pocas ocasiones
cifras devanagari y cifras chinas, y pocas veces he empleado letras
como cifras. Usar letras como cifras es una costumbre o práctica que
desde mi punto de vista lleva a cuestiones filosóficas que no deseo
abordar en este
texto; las letras en un sentido elemental representan valores
fonológicos,
y las cifras en un sentido elemental representan valores numerológicos,
históricamente quizás debido a la fijación en la memoria de las letras
de los alfabetos en un orden más o menos arbitrario, se ha dado un uso
de alfabetos como sistemas numéricos, esto fue un tipo de desarrollo
evolutivo
por exapción, al cambiar la función de una forma, pero, dejemos esto de
momento. Si empleo en este texto, letras como números, adoptaré otras
convenciones que el orden alfabético, por higiene mental, para evitar
supersticiones
asociadas históricamente a las asociaciones entre números y letras.
Pero,
asimismo, conviene evitar el usar letras como números para evitar las
confusiones
entre aritmética y álgebra; en álgebra las letras se usan como símbolos
para variables, constantes, -y otras cosas no demasiado claras-, en
este
sentido sí usaré letras, esto es para representar variables y para
representar
constantes.
Al emplear palabras como: uno, dos, tres, ... diez, once, ... mantengo
un significado constante, esto es si escribo "diez" en todo caso me
refiero a IIIIIIIIII. Por otro lado, si escribo 10, o si escribo "uno
cero", el valor numérico representado es relativo dependiendo de si lo
expreso en relación con la definición de una numeración o de otra; no
obstante, si no he
definido ninguna entonces significará IIIIIIIIII.
Los vocablos implícito, explícito, implicado y explicado, son términos
técnicos originalmente usados en la disciplina denominable Pragmática
del Lenguaje, las expresiones numéricas son expresiones del lenguaje, y
así las analizo. En cierto sentido lo implícito y lo explícito es
in-consciente: lo implícito es un símbolo presente en la historia
genética de la expresión, lo explícito es un símbolo perceptible y
necesario en la expresión actual. Mientras que lo implicado y lo
explicado es consciente: lo implicado es un símbolo in-perceptible o
que falta en la expresión actual pero está en su interpretación, lo
explicado es un símbolo perceptible que condiciona la interpretación, y
en cierto sentido sobra en la expresión.
Las expresiones "punto de vista" y "quizá" son vocablos que uso con un
sentido casi técnico, para indicar que una aserción sea tomada como
particular y no como general; espero que se entienda que no indican,
propiamente, ni una duda o bacilación, ni una probabilidad, ni una
aserción categórica, sino solo que lo que se expresa es lo que se
quiere expresar en cualquiera de sus interpretaciones. Dado que es lo
que se quiere expresar en cualquiera de sus interpretaciones, el
"quizá" lo que indica es que quizá sea lo que yo tenía intención de
comunicar, o quizá sea lo que un lector entienda que comunico, y esta
diferencia no ha de ser un obstáculo. Lo mismo, si algo es dado desde
"un punto vista", también puede ser entendido desde "otro punto de
vista", y no invalida uno al otro. La intención es salvar el problema
de las generalizaciones sin sentido y la vanalización de la verdad.
Incluyo cero e infinito como nociones numéricas con cifras que las
representan. En cierto sentido, la noción de infinito no es
inteligible, lo mismo que la
noción de cero, ambas son limites e ininteligibles, y para indagar en
estas nociones me resulta pertinente el indagar filosóficamente en la
consideración de los modos de pensar los numeros y de expresarlos en el
lenguaje, de los sistemas de numeración y de las operaciones
aritméticas; no se puede indagar en el infinito sin dar pasos hacia a
él.
Para expresar un número natural en palabras podemos valernos
de un sistema análogo al sistema más simple que usaron (y no se si usan
en la actualidad) los hindúes consistente en describir el número
escrito diciendo por algún nombre una por una en el orden de posición
cuáles de las siguientes cifras básicas, a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 0, componen
el número, y asignar el valor de potencias de diez sucesivas a los
ordenes
de posición sucesivos a partir del segundo, de manera que multiplicando
cada cifra por la
potencia
de el valor de su orden de posición menos uno y sumando las
multiplicaciones se calcula la cantidad,
por
ejemplo:
1732
leerlo: uno, siete, tres, dos
implica: 10^3×1+10^2×7+10×3+2
3455622
leerlo: tres, cuatro, cinco, cinco, seis, dos, dos
implica: 10^6×3+10^5×4+10^4×5+10^3×5+10^2×6+10×2+2
34500022
leerlo; tres, cuatro, cinco, cero, cero, cero, dos, dos
implica: 10^7×3+10^6×4+10^5×5+10×2+2
Aunque teóricamente esta regla de lectura, la de decir cada cifra que
compone la expresión del número, mediante el sistema de posición, que
se lee manteniendo el orden, no tiene defecto, en la práctica resulta
más y más probable que se cometan errores confundiendo el orden, la
posición, cuanto mayor sea el número, por ejemplo, leer:
3248579100283000023999000548200000000001200000000000045212144120004
3248579 1002830000 2399900054 8200000000 0012000000 0000004521
2144120004
leerlo: tres, dos, cuatro, ocho, cinco, siete, nueve, uno, cero, cero,
dos, ocho, tres, cero, cero, cero, cero, dos, tres, nueve, nueve,
nueve, cero, cero, cero, cinco, cuatro, ocho, dos, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, uno, dos, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cuatro, cinco,
dos,
uno, dos, uno, cuatro, cuatro, uno, dos, cero, cero, cero, cuatro.
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
leerlo: uno, cero, cero, cero, cero, cero, cero. cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero,
cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero, cero
Los filósofos hindúes quizás para evitar cometer errores al nombrar
números con
muchas cifras, los cuales entraban en sus consideraciones fueran acerca
del cosmos, la física, o solamente la aritmética, diversificaron los
nombres de las 10 cifras básicas (a
saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), construyendo un sistema de
sinónimos para cada cifra. Esto es para una misma cifra disponían de
varios nombres, por ejemplo, como si en español, a 0 lo nombráramos:
cero, nada, vacío, hueco, inexistencia, espacio, círculo, ... a 1 lo
nombráramos: uno, Dios, tierra, luna, nariz, pene, vagina, ombligo,
cabeza, ... a 2 lo nombráramos: dos, brazos, piernas, manos, piés,
pechos, ojos, orejas, pareja, par, ambos, progenitores, ... etcetera
para 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Nombrando
a cada cifra con palabras significativas del número en cuestión;
aunque,
nótese que se hace difícil encontrar tales nombres que sean comúnmente
comprensibles
para todos los seres humanos. ¿Sirve este sistema de sinónimos de ayuda
para evitar errores? Pues véase lo que ocurre al aplicar este sistema,
por
ejemplo:
3455622
leerlo: tres, cuatro, cinco, cinco, seis, dos, dos
o leerlo: trinidad, abuelos, sentidos, dedos-de-una-mano, júpiter,
pareja, orejas
34500022
leerlo: tres, cuatro, cinco, cero, cero, cero, dos, dos
o leerlo: trinidad, abuelos, dedos-de-una-mano, nada, vacío,
hueco, pareja, orejas
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
leerlo: nariz, nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada, vacío,
hueco, espacio, círculo, nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada,
vacío, hueco, espacio, círculo, nada, vacío, hueco, espacio, círculo,
nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada, vacío, hueco, espacio,
círculo, nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada, vacío, hueco,
espacio, círculo, nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada, vacío,
hueco, espacio, círculo, nada, vacío, hueco, espacio, círculo, nada,
vacío, hueco, espacio, círculo, nada
Nótese en este último ejemplo cómo la ruptura de la repetición mediante
el uso de diferentes nombres del cero hace que resulte menos probable
cometer un error en en la cantidad de ceros ya que los diferentes
nombres del cero permiten determinar más fácilmente la posición de cada
cero y así su cantidad. Asímismo, si la diversidad de nombres sinónimos
es lo bastante grande existe la opción de que la expresión de un valor
numérico en palabras sea, a la vez, una composición poética que permite
recordarlo más fácilmente. Esto es, el uso de variedad de nombres
sinónimos para los valores numéricos iniciales tiene un valor
mnemotécnico. Otro métodos para calcular el número de ceros es, por
ejemplo, marcar grupos de ceros:
1000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
1000000.0000000000.0000000000.0000000000.0000000000.0000000000.0000000000
10.00000.00000.00000..00000.00000.00000.00000.00000..00000.00000.00000.00000.00000
¿Qué tipo de vocablos sería pertinente para un sistema de sinónimos de
nombre de número? Pues, quizás uno en que los significados de las
palabras seleccionadas sean traducibles de un idioma a otro, y de una
cultura
a otra. Esto excluye los vocablos que son nombres propios de nociones
relevantes para una u otra doctrina, ya que estos no suelen ser
traducibles de una doctrina a otra, y si son traducibles su traducción
es controvertida. Por ejemplo, el vocablo "dios" quizás merezca ser
excluído porque se
entiende de diferente manera en diferentes religiones, de diferentes
maneras por diferentes creyentes de una misma religión y de diferentes
maneras entre creyentes y no creyentes en Dios, hay por estas razones
una cierta incertidumbre acerca de cuál es el valor numérico que se le
pudiera asignar o inclusiveacerca de si se le puede asignar valor
numérico;
es preferible considerarlo tema de una discusión filosófica. Quizás
sean
pertinentes vocablos traducibles y menos controvertidos, así quizás
podrían considerarse dos sistemas de sinónimos, uno basado en los
nombres
de los números más los nombres de cosas para las que quizás haya una
tendencia
frecuente a asignar el número que se quiere significar, y los sinónimos
de estos nombres; y otro basado en los vocablos que en los diferentes
idiomas
significan número.
El primer sistema, el de nombres de cosas numéricas, o numerables,
traducibles o sustituibles a otros idiomas y en diferentes culturas,
sería, un sistema de nombres de ejemplos de cosas quizás lo bastante
relevantes como para significar o permitir inferir el número relevante
que se quiere representar, por ejemplo:
0: cero, vacío, hueco, nada, espacio, círculo,
1: uno, sol, luna, mercurio, cabeza, boca, ombligo,
2: dos, dúo, par, pareja, venus, polos, par, ojos, orejas,
3: tres, trío, terceto, tierra, triángulo, unomasdos
4: cuatro, cuarteto, marte, cuadrado, [puntos-]cardinales,
5: cinco, quinteto, saturno, pentágono, dedos[-de-una-mano],
6: seis, sexteto, júpiter, hexágono,
7: siete, septeto, urano, heptágono,
8: ocho, octeto, neptuno, octógono,
9: nueve, nanógono,
∞: infinito,
El segundo sistema, el de los nombres de números de diferentes idiomas
(y, o, culturas) tomados como sinónimos
intertraducibles, he
aquí un ejemplo, o una versión, los idiomas que he escogido son:
sánscrito, maya, tai, chino, árabe, inglés, japonés, y son adicionables
nombres
de otros idiomas:
0: sunya, xix, soon, ling, sifr, zero, rei,
1: eka, hun, neung, yi, wahi, one, ichi,
2: dvi, caa, song, er, itnani, two, ni,
3: tri, ox, saam, san, talata, three, san,
4: chatur, can, see, si, arbaa, four, yon,
5: pañcha, hoo, haa, wu, hamsa, five, go,
6: shat, uac, hok, liu, sitta, six, roku,
7: sapta, uuc, jet, qi, saba, seven, nana,
8: ashta, uaxac, paet, ba, tamaniya, eight, hachi,
9: nava, bolon, gao, jiu, tisa, nine, kyuu,
∞: ananta, - , - , - , - , infinite , - ,
Este sistema tiene como ventajas: i) el que si se dispone de
la tabla de sinónimos, el significado de cada vocablo es comprensible
para quien conozca alguno de los idiomas seleccionados, lo cual es un
caso más probable, que la comprensión de un sistema de sinónimos en un
solo idioma. ii) que se puede ampliar fácilmente con más vocablos
tomados
de más idiomas.
He escogido el sistema decimal, por ser el de uso más frecuente, esto
es las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 más 0 e ∞. Nota, que quizás es
preciso considerar ∞ como una undécima cifra, pues el sistema numérico
quedaría incompleto si teniendo representación la noción de cero, no
tuviera representación la de infinito; pero, ∞ y su nombre no suele
resultar tan relevante para un sistema de numeración como las otras
cifras incluído 0; nótese que ∞ no es necesariamente lo que sigue a 9,
y 1 no es necesariamente lo que sigue a 0, sino que 0 e ∞ simbolizan
entre otras cosas límites no finitos de un sistema numérico. El número
que sigue a un número finito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
etcétera,
n), se suele simbolizar, entre otras maneras, con la
letra
n,
n se usa como símbolo de número finito genérico.
La cifra 0 no existe como tal en los sistemas de numeración de
numerosos idiomas, y al elejir arriba unos idiomas para construir una
lista de sinónimos he dado preferencia a aquellos idiomas que tuvieron
una palabra para cero; sin embargo, en la actualidad muchos más idiomas
tienen una palabra para cero. Por consiguiente, los nombres del
sánscrito y del maya, los he incluído en los primeros lugares por su
relevancia
histórica en el desarrollo de la noción del número nulo, y en el caso
del
sánscrito también de la del número infinito.
El uso para expresar numeros cada vez mayores cuando se habla de
matemáticas ha devenido, sin embargo, en expresarse mediante el sistema
de recurrir a la operación de potenciación, en forma de una potencia
de diez, por ejemplo, 10
66 que se lee: "diez elevado a
sesenta y seis", o, también se lee: "potencia sexagésimo sexta de
diez", o asímismo, se dice que equivale a: "uno seguido de sesentaiseis
ceros"; esto último viene a ser la descripción del número
correspondiente a la solución
de la operación, si tal solución estuviera escrita en el sistema de
órdenes de potencias de una razón implicada de valor diez.
Pero, el sistema de lectura de las expresiones numéricas habitual en
español, inglés, hindi, chino y otros idiomas, se parece a un sistema
consistente en interpretar una expresión numérica como una suma de
productos por cifras equivalentes en valor a sucesivas multiplicaciones
de diez por diez, pero, en realidad los valores numéricos
multiplicación de
dieces elejidas como bases en los multiplicandos en estos sistemas de
habla son una
tanto caprichosas. En cualquier caso estos sistemas de expresión oral
son menos evolucionados que el simple del sánscrito discutido arriba,
ya que históricamente la expresión de números por medio de un sistema
de suma de multiplicaciones por diferentes bases es evolutivamente
anterior a la expresión mediante la mera lectura de las cifras
escritas; pero, el primitivo sistema de suma de multiplicaciones por
diferentes
bases quizás sobrevive por su mayor sencillez de comprensión dada su
mayor proximidad a la genética del número.
Estos sistemas orales al no ser regulares en los valores de las bases
elejidas, se asemejan más bien a un sistema de suma de
multiplicaciones por diferentes bases. Los diversos idiomas en que se
usan estos sistemas disponen de nombres para diferentes bases; esto es,
se dispone de
nombres propios, por ejemplo, en chino y japonés: "1", "2", "3",
"4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "100", "1000", "10000", "1000000"
tienen nombre propio, en español, "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7",
"8", "9", "10", "11", "12", "13", "14", "15", "20", "30", "40", "50",
"60", "70", "80", "90", "100", "500", "1000", "1000000",
"1000000000000", ... entre otros tienen nombre propio, en francés e
inglés "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "11", "12",
"20", "30", "40", "50", "60", "70", "80", "90", "100",
"1000", "1000000", "1000000000", ... entre otros tienen nombre propio.
En sánscrito hay varios sistemas de este tipo, y los nombres han
variado geográfica e históricamente; en al menos se da nombre a "1",
"2",
"3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", y a cada potencia de diez, "10",
"100", "1000", "10000", "100000", "1000000", "10000000",... y así hasta
1 seguido de 17 ceros. Las expresiones entrecomillas espero que se
entiendan en
todos estos casos como valores únicos, con entidad propia, son las
bases del sistema.
En estos sistemas de numeración por sumas de multiplicaciones por
diferentes bases, las bases se
usan y asimismo
reusan
realizando anidamientos de los nombres propios para venir a construir
algo próximo a una expresión explícita de números e implícita de
operaciones
de cuenta, suma y multiplicación, por ejemplo:
mil, setecientos, treinta y dos
Bases: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez,
..., cien, mil, millón
mil × uno + cien × siete + diez × tres + dos
tres millones, cuatrocientos cincuenta y cinco mil, seiscientos
veintidos
Bases: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez,
..., cien, mil, millón
millón × tres + mil × (cien × cuatro + cincuenta + cinco) + cien × seis
+ veintidos
En estos sistemas orales, el cero no se usa como marcador de
posiciones vacías porque no se da tal caso, se usa como expresión de
la ausencia de valor numérico.
Cabe recordar, sin embargo, que hay otros sistemas, para nombrar
números basándonos en su descripción, así, podemos describir un número
cifra por cifra, por ejemplo, 3455622, leerlo "tres cuatro cinco cinco
seis dos dos"; o, a veces, para facilitarnos las cosas podemos dividir
el número en secciones, por ejemplo: 3455622, dividirlo en 3 45 56 22
y leerlo entonces: "tres cuarentaycinco cincuentayseis veintidos", pero
normalmente cuando hacemos esto el número se está usando como matrícula
o código, (por ejemplo, una marca de identificación, o un teléfono), y
no como valor numérico de una cantidad.
Quizás si tratáramos de expresar un número de cantidad dividiéndolo
fuera en un sentido más fácil expresarlo, pero cabe añadir que sería
confuso ya que las expresiones de números de cantidades en que se
divide se pueden interpretar por la posición que ocupan como
expresiones de cantidad de una potencia de diez, por ejemplo:
3 45 56 22
leerlo: tres cuarentaycinco cincuentayseis veintidos, entendiendo: tres
mil cuarenta y cinco cientos cincueseisenta y veintidos:
1000 × 3 + 100 × 45 + 10 × 56 + 22
Y esta no es la manera en que se suele entender 3455622 si se tratara
de una expresión de número.
Volviendo al sistema de dar nombre propio a ciertos números,
por ejemplo, en español:
10 : diez
100 : cien
1000 : mil
10000 : millar
1000000 : millón
Facilita mnemotécnicamente la comprensión de estos números, pero,
implica la necesidad bien de repetir bien de inventar más nombres
propios, bien la alternativa de una regla de construcción de nombres,
si queremos expresar otros números tales como:
1 000 000 000 000
Esto es un millon de millones. Y, de hecho, para expresar estos números
en los idiomas románicos y anglosajones se ha inventado una regla, que
tiene dos versiones, según la versión usada en español se forma un
nombre propio cuando el orden de la posición aumenta en 6:
1 000 000 = un millón = 10
6
1 000 000 000 000 = un billón = 10
12
1 000 000 000 000 000 000 = un trillón = 10
18
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = un cuatrillón = 10
24
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = un quintillón = 10
30
...
Según la versión usada en francés e inglés se forma un nombre propio
cuando el orden de la posición aumenta en 3.
1 000 000 = un millón = 10
6
1 000 000 000 = un billón = 10
9
1 000 000 000 000 = un trillón = 10
12
1 000 000 000 000 000 = un cuatrillón = 10
15
1 000 000 000 000 000 000 = un quintillón = 10
18
...
Por desgracia, debido a que la forma de los nombres que se construyen
viene a ser la misma para ambas reglas, es probable que se confundan
las cantidades si solo se conocen por su nombre. Estos nombres se
construyen con la terminación de millón, esto es -llón, y la raiz del
nombre del número que corresponde al orden terminándola en -i-, así
combinando la terminación y las raices, se consigue por ejemplo quizás
algo así:
millón
billón
trillón
cuatrillón
quintillón
sextillón
septillón
octillón
nonillón
decillón
undecillón
duodecillón
trecillón
catorcillón
quincillón
dieciseisllón
...
ventillón
treintillón
...
centillón
doscientillón
trescientillón
...
milillón
dosmilillón
...
millillón
billillón
trillillón
Se puede discrepar que estas sean exactamente la formas linguísticas
preferibles para los nombres, pero el problema más pertinente no es
las formas específicas sino que no haya acuerdo acerca de a que
equivalen, por ejemplo, ¿un trillillón cuánto es de las dos opciones
siguientes?
a) millón
1 000 000 000 000 000 000= 10
6
000 000 000 000 000 000
b) 1 000 × mil
1 000 000 000 = 10
3 × 10
3000
000 000 = 10
3000 000
003
o ¿que orden de posición ocupa el uno en un trillillón?
a) el 6 000 000 000 000 000 001º
b) el 3 000 000 004º
Las respuestas (a) son las que corresponderían a una extensión del
sistema en que cada nombre adicional se da cuando el orden va
aumentando en seis posiciones, y las respuestas (b) cuando el orden va
aumentando en 3 posiciones.
Cabría diferenciar los nombres, por ejemplo, llamar:
1000 = mil
1000 000 = bil, millón
1000 000 000 = tril
1000 000 000 000 = cuatril, billón
1000 000 000 000 000 = quintil
1000 000 000 000 000 000 = sextil, trillón
1000 000 000 000 000 000 000 = septil
1000 000 000 000 000 000 000 000 = octil, cuatrillón
...
Hay una razón para esta nomenclatura, y es que "mil" nombra a la
tercera potencia de diez, y "millón" nombra la sexta potencia de diez,
siendo "bil", "tril", "cuatril", ... derivados como "mil", esto implica
que nombrarían potencias de diez con exponentes divisibles exactamente
por tres; y siendo "billón", "trillón", "cuatrillón", ... derivados
como "millón", esto implica que nombrarían potencias de diez con
exponentes
divisibles exactamente por seis.
Asimismo, hay otro problema, se da al progresar en los nombres, pues
llegaremos a un nombre que será el milil, el millillón, luego a otro
que será el mililil, el millillillón, ... y estos nombres pueden
resultar confusos porque las repeticiones lo son, y este es el caso de
-ilil-,
-ililil-, -illill-, -illillill-. Este probblema se puede solucionar
dando
nombres nuevos, por ejemplo, al millillón, al millillillón, etcétera;
pongamos
por caso, llamemos al millillón: unmega, o algo así, siendo
"trillillón" sustituido por, megallón, siguiéndose: bimegallón,
trimegallón, ... (o lo que corresponda según el nombre que se elija),
llamemos al "millillillón": gigallón, o algo así, siguiéndose entonces:
bigigallón, trigigallón, ... o algo así, llamemos al millillillillón:
terallón, o algo así, siguiéndose entonces: biterallón, triterallón,
... Por ejemplo, incluyendo ambas series crecientes 3 y 6 de potencias
de diez de:
mil = 10
3
bil = 10
6
...
megil = 10
30
bimegil = 10
60
...
gigil = 10
300
bigil = 10
600
...
teril = 10
3000
biteril = 10
6000
etcétera
millón = 10
6
billón = 10
12
...
megallón = 10
60
bimegallón = 10
120
...
gigallón=10
600
bigigallón = 10
1200
...
terallón=10
6000
biterallón=10
12000
etcétera
En India el sistema que se desarrolló consistía en dar un nombre
distinto a cada nueva posición, esto es cada aumento de la cantidad
en una potencia de diez. No obstante, dado que los números crecen sin
fin, pero hay una capacidad limitada de poner nombres, hay que añadir
que dieron nombres para todas las potencias de diez hasta x (leer, por
ejemplo, el
manual de George Ifrah).
Partiendo de la consideración de que los números cuando crecen hasta
cierto tamaño se empiezan a nombrar en términos de potencias de diez y
de "uno seguido de x ceros", quizás sea pertinente considerar
que se haya bosquejado un sistema de nomenclatura que admite una
progresión infinita mediante el uso de un par de reglas, si
consideramos como tales reglas i) la expresión de números por medio de
operaciones de potenciación de diez, y ii) las lecturas descriptivas de
los números parciales de
tales números al modo "uno seguido de r ceros" que referencia la
solución
de la operación de una potencia de diez, por ejemplo:
10
0= 1 no seguido de ceros = 1 = 1(00)
10
1 = 1 seguido de un cero = 10 = 1(01)
10
2 = 1 seguido de dos ceros = 100 = 1(02)
10
10 = 1 seguido de diez ceros = 10000000000 = 1(010) =
10^10 = 10''2
10
100= 1 seguido de cien ceros = 10000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 = 1(0100)
10
1000= 1 seguido de mil ceros = 1(01000) = 10^10^3
10
10000= 1 seguido de diezmil ceros = 1(010000) =
10^10^4
...
10^10^10= 1 seguido de diezmillones de ceros = 1(010000000000) =
1(01(010)) = 10''3
10^10^10^10 = 1 seguido de 1(01(010)) de ceros = 1(01(01(010))) = 10''4
10^10^10^10^10 = 1 seguido de 1(01(01(010))) de ceros =
1(01(01(01(010)))) = 10''5
10''6 = 1 seguido de 1(01(01(01(010)))) de ceros =
1(01(01(01(01(010)))))
...
10''10 = 1(01(01(01(01(01(01(01(01(010))))))))) = 10¨2
Las expresiones 1(00), 1(01), 1(02), etcétera, son simbolizaciónes de
"n seguido de x ceros", así:
"n seguido de r ceros" = n("0"r)
Las comillas de "0" se omiten, dándose por implícitas, cuando el número
que sigue a cero es una constante; (por si es el caso: r es variable,
mientras que 0, 1, 2, 3, ... son constantes).
Para el tipo de nomenclatura numérica "n seguido de r ceros" quizás sea
una alternativa la siguiente otra convención: usar expresiones
tachadas, o barradas, para expresar conjuntos de ceros. Adicionalmente,
el usar expresiones tachadas, o barradas, para expresar conjuntos de
ceros tiene un uso más amplio en la abreviación de expresiones. Así,
por ejemplo,
la convención de que:
0 ≠ "0";
0 =
0; "0"= 0
1 = 0 = "0"
2 = 00 = "0" = 0
3 = 000 = "0" = 0
4 = 0000 = "0" = 0
...
10 = 0000000000 = "0"= 0
etcétera
La cifra
0 representa una cifra nula de
un valor
nulo, mientras 0 representa un valor nulo, pero no una cifra nula;
expresado de otra manera, una cifra tachada es informe, es una no-forma
o no-cifra.
Estos son los números que podríamos denominar
vacíos,
o números
no-números, mi hermano me comentó que había
considerado una clase de números
neutros, tales números neutros
serían el
resultado de, por ejemplo, restar un número de otro número igual, no
estoy
seguro de cuál era su idea, pero, quizás estos
números vacíos
se
pudieran considerar que son el resultado de restar un número de otro
igual,
así, por ejemplo:
0 - 0 =
0 = 0; 0 =
0
≠ "0"
= 0
1 - 1 =
1 = "0" = 0
2 - 2 =
1 = "0" = 0
345 - 345 =
3 = "000" = 0
Asímismo, quizás los ceros a la izquiera son equivalentes a ceros
tachados a la derecha, por ejemplo:
0001 = 1
000 = 1
Usando esta convención en la expresión de números se abrevia
la expresión de ceros:
1
0= 1
1
1= 10
1
2 = 100
1
3 = 1000
1
4 = 40000
1
41 = 40001
...
1
10 = 1 0000000000
1
10000000000 = 10^10^10 = 10''3
En cuanto a las operaciones naturales mencionadas, considerando que
contar es la operación más elemental, y asignándole por esto el orden
uno de operación, cabe aún considerar entre lo natural una
no-operación, que es una operación sin-orden, o con orden cero,
consistente en la determinación o distinción elemental de las
cantidades I, II, a la que llamaré subitación, por ocurrir de súbito, o
sin causa determinada, la cual no es propiamente una operación sino,
quizás, las consciencia o percepción simultanea de las cuatro
relaciones de cantidad (igual, diferente, mayor, menor), aunque fuera
así, no resulta posible definir unos pasos, o etapas, por los que se
llegue a tal generación del número en nuestra mente, si se hace algo, o
cómo ocurre, ¡pero aunque no sea una operación se precisa para entender
la operación de contar!
Teniendo en cuenta que se construye una sucesión de operaciones
naturales cuya evolución deviene en un incremento de la complejidad
según el grado de anidación por nivel de redundancia, esto es, una
evolución de las operaciones en que cada nueva operación se define como
una anidación de la operación anterior, para reducir la redundancia de
expresión según la operación anterior, a estas operaciones quizás se
las pudiera
denominar
operaciones naturales, -como estoy haciendo-, porque
la
interpretación de las operaciones es "natural" o
máximamente significativa para un mínimo esfuerzo de expresión (por
comparación con la interpretación de las operaciones algebraicas, las
cuales no son ordenadas y son afectadas por las propiedades
asociativa y conmutativa). Las operaciones naturales siguen
un orden, por consiguiente, las nociones de asociación y conmutación no
son aplicables a sus términos.
Asímismo,
hay un orden entre las operaciones, por consiguiente, las operaciones
naturales
se pueden numerar ordinalmente, y así usaré como símbolo de las
operaciones
sucesivas bien mediante la letra
o, de operación,
seguida
de una expresión numérica, bien mediante un superíndice entre los
términos,
bien mediante una expresión numérica en una grafía diferenciada y con
un
punto medio a la derecha entre los términos; también, emplearé los
simbolos
siguientes para las operaciones iniciales: + para la suma, × para la
multiplicación, ^ para la potenciación, '' para la pentificación, ¨
para la sextificación, ··· para la septificación; y denominaré a cada
sucesiva operación mediante la regla de unir una raiz potencial,
"mon-", "bi-", "tri-", "tetr-", "pent-", "hex-", "sept-", "oct-",
"non-", "dec-", "en-", "infin-" a la terminación "-ificar". Usaré
varias representaciones como equivalentes, presentando la operación ya
como una relación, ya como una función, y, en el caso en que presento
una operación como función dispongo todos los términos entre paréntesis
para indicar que se trata de un conjunto ordenado, por ejemplo, ^(m, r,
s) que significa potenciar m por r por s; de manera que en la
representación de las operaciones algebraicas usaría las llaves para
indicar que se trata de un conjunto no ordenado ^{m, n, r, ...} que
puede significar i) potenciar m por r por s, ii) potenciar m por s por
r, iii) potenciar s por m por r, etcetera.
operaciones naturales
|
operaciones algebraicas
|
términos ordenados
operaciones ordenadas
|
términos no-ordenados
no-operaciones no-ordenadas
|
operación(termino, término,
término, ...)
|
operación{término, término,
término, ...}
|
Por ejemplo, la operación natural de la potenciación:
potenciar (3, 2) = 9
Y, por ejemplo, la operación algebraica de la potenciación:
potenciar {3, 2}, puede interpretarse como las siguientes operaciones
naturales: potenciar (3, 2) = 9 o como potenciar (2, 3) = 8.
Así, las operaciones naturales las defino y represento de las
siguientes maneras:
o0(m, r, ...) = ०(m, r, ...) = →(m, r, ...) = m
o0r...
= m०·r...
subitar m r ... =
distinguir la cantidad mde
la r...
o1(m, r, ...) = १(m, r, ...) = =>(m, r, ...) = m
o1r...
= m१·r...
contar m, r, ... =
subitar eme y subitar erre, →m→r
o2(m, r, ...) = २(m, r, ...) = + (m, r, ...) =
m
o2r... =
m२
·r
...
sumar m, r, ... =
contar erre veces desde eme,
... =>m1ª=>m... =>mrª...
o3(m, r, ...) = ३(m, r, ...) = ×(m, r, ...) = m
o3r...
= m३· r...
multiplicar m por r =
sumar un número erre de emes,...
+m1ª+m2ª... +mrª...
o4(m, r, ...) = ४(m, r, ...) = ^(m, r, ...) = m
o4r...
= m४· r...
potenciar m por r =
multiplicar un número erre
de emes,... ×m1ª×m2ª... ×mrª
...
o5(m, r, ...) = ५(m, r, ...) = ''(m, r, ...) =
m
o5r... = m५·r...
pentificar m por r =
potenciar un número erre de emes,... ^m1ª^m2ª...
^mrª
...
o6(m, r, ...) = ६(m, r, ...) = ¨(m, r, ...) = m
o6r...
= m६·r...
hexificar m por r =
pentificar un número erre de emes,... ''m1ª''m2ª...
''mrª
...
o7(m, r, ...) = ७(m, r, ...) = ···(m, r, ...) = m
o7r...
= m७·r...
septificar m por r =
hexificar un número erre de emes,...
¨m1ª¨m2ª... ¨mrª
...
on(m, r, ...) =
n(m, r, ...) = m
onr
= m
n·r...
m enificada por r =
(n-1)ficar un número erre de emes,... nm1ª
nm2ª...
nmrª...
o∞(m, r, ...) =
∞(m, r, ...) = m
o∞r...
= m
∞·r...
m infinificada por r =
(∞
-1)ficar un
número erre de m =
infinificar un número
erre de emes, ...
∞m1ª
∞m2ª...
∞mrª...
La operación
o0 no es tal, sino la
operación vacía
o
no-operación. Las operaciones descritas pueden ser
tales
a partir de
o1 inclusive, ya que la noción de
conmutatividad y asociatividad no se refieren a una operación natural
sino a una
operación vacía o
no-operación, u operación
algebraica, en este sentido
la operación natural de sumar no es
conmutativa ni asociativa,
sino que cada operación diferente de sumar con los mismos términos
resulta
en el mismo valor, porque solo se puede ejecutar la relación de sumar
de
una manera cada vez, mientras que
la no-operación de sumar es
conmutativa y asociativa, porque al no hacer una operación no la
hacemos de ninguna de todas las maneras posibles; podríamos llamarlas
respectivamente suma
natural y suma vacía, o algebraica, a la suma natural no se aplican las
nociones de ser conmutativa o asociativa, la suma vacía, o algebraica,
es
conmutativa y asociativa. Expresado de otra manera no somos capaces de
operar
en todos los órdenes de todos los sumandos a la vez, sino que actuamos
tomándolos de uno en uno y en un orden para cada suma, pero sí podemos
no-operar con todos los sumandos a la vez o lo que es igual
potencialmente los sumandos se relacionan en todo orden. Por ejemplo,
sumar naturalmente m, r, y s
supone, por ejemplo, sumar m, luego r y luego s, y no es posible hacer
esto, y a la vez, empezar por s, luego sumar m y luego r. Pero,
potencialmente
se dan las operaciones tanto de sumar m, luego r y luego s, como de
sumar
r, luego s y luego m, como de sumar s, luego r y luego m, etcétera (y
si
se sumaran por parciales, habría un orden de operación para los
parciales).
Así visto, la conmutatividad de la suma, no es una conmutatividad de
una
operación como tal, -que no se puede conmutar-, sino la
potencialidad
de hacer tantas operaciones con los datos como diferentes ordenes de
los
terminos podamos concebir.
En cuanto a la notación, una operación se puede expresar como una
función, f(), así, si entendemos que una operación se puede representar
como una función aplicada a un conjunto ordenado de términos, la
operacion no es necesariamente vacía, ni monaria, ni binaria, etcétera
sino que esto es un accidente debido ya al grado de ejecución de una
operación ya al
número de términos en el conjunto de términos. Si la operación no se
ejecuta
o si el conjunto es vacío, la operación es vacía, esto es algebraica;
por
consiguiente, el conjunto de términos puede no ser vacío, a la vez, que
la operación es vacía, y la operación es necesariamente vacía si el
conjunto
de términos es vacío. En cuanto a la notación, no obstante, utilizaré
también
la tradicional notación de colocar un símbolo aritmético entre los
términos
de una operación y otras convenciones, por ejemplo, para la operación
cinco,
la pentificación, las siguientes expresiones las voy a tratar como
sinónimas
en cuanto a la operación
o5(m, r, s)
५(m, r, s)
''(m, r, s)
m
o5r
o5s
m
o5·r
o5·s
m५·r५·s
m''r''s
La pentificación es la potencia de potencia; por ejemplo, 10''3 es diez
pentificado a tres, o diez elevado dos veces a la potencia de
diez (a saber: 10^10^10; que es potenciar tres dieces). También, se
puede inventar otros nombres, pero dado que la palabra "tetración" ha
sido ya empleada para nombrar cierta operación, no me ha parecido
pertinente
valerme de la serie "monación", "binación", "trinación", "tetración",
...
que da palabras más breves. Otro ejemplo, diez hexificado a diez es
igual
a diez pentificado nueve veces a diez, e igual a diez potenciado nueve
veces por diez, elevado nueve veces a la potencia de diez elevado nueve
veces a la potencia de diez (a saber: diez elevado noventa y nueve
veces
a la potencia de diez):
10¨10 = 10''10''10''10''10''10''10''10''10''10 =
10^10^10^10^10^10^10^10^10^10 ^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10 ^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10 ^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10 ^10^10^10^10^10^10^10^10^10^10
Un par de propiedades de las operaciones naturales superiores a la
potenciación que es relevante para los sistemas de numeración es que
igual que la potenciación, en operaciones con varios operandos de igual
valor, se suman los números operadores si se opera sobre los números
con la clase de operación inmediata anterior, y se multiplican los
sucesivos números operadores si se opera con una sola clase de
operación. Esto es, para la potenciación:
m^r×m^s=m^(r+s)
m^r^s=m^(r×s)
o en otro modo de simbolización sinónimo de este:
o3 (
o4 (m, r)
o4 (m, s)) =
o4
(m,
o2 (r, s))
o4 (m, r, s) =
o4 (m
o3
(r, s))
Y, para las operaciones sucesivas:
o4 (
o5 (m, r)
o5 (m, s)) =
o5
(m,
o2 (m, r))
o5 (m, r, s) =
o5 (m,
o3
(r, s))
o5 (
o6 (m, r)
o6 (m, s))
=
o6 (m,
o2 (m, r))
o6 (m, r, s) =
o6 (m,
o3
(r, s))
o6 (
o7 (m, r)
o7 (m, s))
=
o7 (m,
o2 (m, r))
o7 (m, r, s) =
o7 (m,
o3
(r, s))
o7 (
o8 (m, r)
o8 (m, s)) =
o8 (m,
o2 (m, r))
o8 (m, r, s) =
o8 (m,
o3 (r,
s))
...
on-1 (
on (m, r)
on (m, s))
=
on (m,
o2 (m, r))
on (m, r, s) =
on (m,
o3 (r,
s))
Cuando el orden de la operación natural es ene, la operación
natural ene o
enificar un número por otro vendría a tener como
algunos resultados los siguientes a partir de la potenciación, esta
incluida, esto es
cuando
on>
o3:
on>
o3,
on
(0, 0) = 0
on>
o3,
on
(0, n) = 0
on>
o3,
on
(n, 0) = 1
on>
o3,
on
(1, n) = 1
on>
o3,
on
(n, 1) = n
on>
o3,
on
(2, 2) = 4
on>
o0,
on
(n, n) =
on-1 (n1ª, n2ª, n3ª, ... nnª)
Para operaciones menores que
o3 como es sabido
arrojan soluciones diversas, por ejemplo:
on=
o0,
on
(0, n) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(0, n) = II ó I (II si 0 no significa o I si se asigna a 0 su
significado)
on=
o2,
on
(0, n) = n
on=
o3,
on
(0, n) = 0
on=
o4,
on
(0, n) = 0
on=
o5,
on
(0, n) = 0
...
on=
o0,
on
(n, 0) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(n, 0) = II ó I (II si 0 no significa o I si se asigna a 0 su
significado)
on=
o2,
on
(n, 0) = n
on=
o3,
on
(n, 0) = 0
on=
o4,
on
(n, 0) = 1
on=
o5,
on
(n, 0) = 1
...
on=
o0,
on
(n, 1) = II
on=
o1,
on
(n, 1) = II
on=
o2,
on
(n, 1) = +n+1
on=
o3,
on
(n, 1) = n
on=
o4,
on
(n, 1) = n
on=
o5,
on
(n, 1) = n
...
on=
o0,
on
(1, n) = II
on=
o1,
on
(1, n) = II
on=
o2,
on
(1, n) = +1+n
on=
o3,
on
(1, n) = n
on=
o4,
on
(1, n) = 1
on=
o5,
on
(1, n) = 1
...
on=
o0,
on
(2, 3) = →23 = II = 2
on=
o1,
on
(2, 3) = =>23 = →2→3 = 2
on=
o2,
on
(2, 3) = +2+3 = 5
on=
o3,
on
(2, 3) = ×2×3 = 6
on=
o4,
on
(2, 3) = ^2^3 = 8
on=
o5,
on
(2, 3) = ''2''3 = 16
...
on=
o0,
on
(3, 2) = →32 = II = 2
on=
o1,
on
(3, 2) = =>32 = →3→2 = 2
on=
o2,
on
(3, 2) = +3+2 = 5
on=
o3,
on
(3, 2) = ×3×2 = 6
on=
o4,
on
(3, 2) = ^3^2 = 9
on=
o5,
on
(3, 2) = ''3''2 = 27
...
Si consideramos infinito como cifra:
on=
o0,
on
(0, ∞) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(0, ∞) = II ó I ó ∞ ó indeterminado (0 e ∞ se toman o no por su
significado)
on=
o2,
on
(0, ∞) = ∞
on=
o3,
on
(0, ∞) = indeterminado
on=
o4,
on
(0, ∞) = 0
on=
o5,
on
(0, ∞) = 0
...
on=
o0,
on
(∞, 0) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(∞, 0) = II ó I ó ∞ ó indeterminado (0 e ∞ se toman o no por su
significado)
on=
o2,
on
(∞, 0) = ∞
on=
o3,
on
(∞, 0) = indeterminado
on=
o4,
on
(∞, 0) = 1
on=
o5,
on
(∞, 0) = 1
...
on=
o0,
on
(∞, 1) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(∞, 1) = II ó ∞ (∞ se toma o no por su significado)
on=
o2,
on
(∞, 1) = ∞
on=
o3,
on
(∞, 1) = ∞
on=
o4,
on
(∞, 1) = ∞
on=
o5,
on
(∞, 1) = ∞
...
on=
o0,
on
(1, ∞) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(1, ∞) = II ó ∞ (∞ se toma o no por su significado)
on=
o2,
on
(1, ∞) = ∞
on=
o3,
on
(1, ∞) = ∞
on=
o4,
on
(1, ∞) = 1
on=
o5,
on
(1, ∞) = 1
...
si n>1
on=
o0,
on
(∞, n) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(∞, n) = II ó ∞ (∞ se toma o no por su significado, n es irrelevante)
on=
o2,
on
(∞, n) = ∞
on=
o3,
on
(∞, n) = ∞
on=
o4,
on
(∞, n) = ∞
on=
o5,
on
(∞, n) = ∞
...
si n>1
on=
o0,
on
(n, ∞) = II (no hay función semántica)
on=
o1,
on
(n, ∞) = II ó ∞ (∞ se toma o no por su significado, n es irrelevante)
on=
o2,
on
(n, ∞) = ∞
on=
o3,
on
(n, ∞) = ∞
on=
o4,
on
(n, ∞) = ∞
on=
o5,
on
(n, ∞) = ∞
Otra cosa, cuando el orden de la operación natural es infinito, la
operación natural infinita o
infinificar un número por otro
vendría a tener como algunos resultados:
si n>0
o∞ (0, 0) = 0
o∞ (0, n) = 0
o∞ (n, 0) = 1
o∞ (1, n) = 1
o∞ (n, 1) = n
o∞ (2, 2) = 4
si n>2
o∞ (n, n) = ∞
Davius Sanctex (David Sanchez) me hizo notar que para cualquiera de
estas operaciones que he llamado naturales 2 por 2 es igual a 4, o la
enesificación de 2 por 2 es igual a 4, 2
on2=4,
y que, por tanto, para la operación límite superior que es la
infinificación, también el resultado de 2 por 2 es 4, 2
o∞2
= 4
Así, la infinicación u operación infinita,
o∞, muestra
cierta simetría con la operación cero, o
subitación,
o0,
pues en la subitación la percepción es la única función y se perciben
como distintos I de II y estos de III y cualquier otro número, sin
intervención de significado, pero
quizás III no se percibe como distinto de otro número a parte de I y
II, y IIII es el máximo valor apercibible mediante la percepción. Esto
es, que perceptivamente considerados uno y dos son números, quizás tres
también es número, más de tres es infinito, o quizá más de cuatro.
Asímismo, si consideramos las cifras conceptualmente 1, 2, 3, 4, 5,
...,
n son valores numéricos diferentes,
mientras que ∞-1, ∞, ∞+1 son valores numéricos conceptualmente iguales,
queda,
sin
embargo, el caso de que ∞-1, ∞, ∞+1 son perceptivamente diferentes. En
la
infinificación, se concibe 1 como distinto de cualquier otro número y
estos de infinito, pero quizás no se conciben distinciones de infinito.
Dado que infinito, y cero, son límites, no hay
operaciones naturales más simples ni más complejas que la subitación y
la
infinificación; por ejemplo, conceptualmente la operación infinito
menos
uno, y la operación infinito mas uno son la operación infinito. Quizás
se
pueda formalizar la subitación del siguiente modo:
o0 (0, 0) = II
o0 (n, 0) = II
o0 (o, n) = II
o0 (n, n) = II
o0 (n, ∞) = II
o0 (∞, n) = II
o0 (∞, ∞) = II
La idea es que la
subitación implica pasar de la percepción a
la concepción de lo percibido por una mera toma de conciencia de ello,
el significado es una función añadida por convención y por tanto no
cumple una función en la subitación, por esto, 0, 3, ∞ o cualquier otra
cosa sea un símbolo, o no, si se percibe como una al subitar se concibe
como de valor numérico uno, si se percibe como dos al subitar se
concibe
como de valor numérico dos, si se percibe como tres al subitar se
concibe
como tres, y así hasta el límite de la percepción de número sin
intervención
de una concepción basada en la conciencia del número. Este límite
quizás
sea dos, quizás sea tres o quizás sea cuatro, ...
Todo esto es teoría general de las operaciones aritméticas que he
llamado
naturales, son
operaciones esto es dependen
del
orden operativo de uno en uno, con este orden
operativo se da una
asociación progresiva de los
términos, por esto no son
relaciones abstractas o algebraicas,
sino operaciones, las cuales se ejecutan
por pasos, no
son
relaciones de operaciones en un conjunto, no son
"operaciones" sin efecto. Aún más, deseo hacer la consideración de que
las relaciones entre números en que la
asociación o el orden de los términos no altera el resultado o lo
altera no se trata de
operaciones propiamente, sino de
subitaciones racionales de las operaciones naturales o relaciones
algebraicas. Ya que estas relaciones se pueden entender como la
posibilidad de ejecutar una relación típica, -u
operaciones de un tipo-, sobre los mismos términos asociándolos y
conmutándolos de todas las maneras posibles hasta el límite, a estas
las llamo no-operaciones o subitaciones de las operaciones naturales u
operaciones algebraicas; estas ciertamente quizás son las operaciones
tal y como se entienden en la teoría de conjuntos. Pero, sobre estas no
voy a intentar tratar, pues el tema
que me interesa en este texto es el de las numeraciones naturales y no
el
álgebra, por esto, solo consideraré la serie de operaciones que pienso
permiten
progresar en la expresión de los numeros naturales. Los números en una
numeración
se nos presentan de un modo natural que tiene un orden, no se nos
presentan
todos a la vez, los números en otro caso se nos pueden presentar todos
a
la vez, de modo indeterminado, se nos pueden presentar intemporalmente,
por
ejemplo, como el resultado de cero dividido por cero: 0/0 o expresado
de
otra manera:
-o3 (0, 0); marcando con un guión la
operación
inversa de
o3.
Siguiendo ahora con los sistemas de numeración, otro sistema
de expresar números a considerar se podría fundar como algunos de los
mencionados en la regla lingüística de nombrar un número describiéndolo
por los ordenes de posición de las potencias de diez, por ejemplo, en
lugar de decir que 100 es "uno seguido de dos ceros", decir que es "uno
en la posición tres", o abreviadamente: "uno en tres". Consiste en
nombrar
un número diciendo cada cifra que lo compone seguido de su posición
expresada
explícitamente mediante un número a partir del segundo orden; el primer
orden no se expresa, y se considera implícito, ya que todos los números
tienen al menos una cifra en tal posición. Esto es, por ejemplo, usando
los nombres que se dan en español, así:
0 cero
1 uno
2 dos
3 tres
4 cuatro
5 cinco
6 seis
7 siete
8 ocho
9 nueve
10 uno en dos 1[2]
11 uno en dos y uno 1[2]1
12 uno en dos y dos 1[2]2
13 uno en dos y tres 1[2]3
100 uno en tres 1[3]
1000 uno en cuatro 1[4]
10000 uno en cinco 1[5]
Puede apreciarse:
i) que a partir del numero 10 estos nombres quizás son más engorrosos
que "diez", "once", ... "cien", "mil", "diezmil", ...
Sin embargo, también:
ii) que estos nombres son más intuitivos, pues simbolizan lo
que representan
iii) que (igual que con el sistema de nombres: '1 seguido de
x ceros') quizás sea posible construir nombres de numeros de cualquier
tamaño, si se dispone de la oportunidad para ello
iv) que como alternativa a la expresion del nombre escrita o
dicha con palabras se hace una representación escrita del nombre con
números y corchetes
v) que el número de orden de la posición es equivalente al número del
exponente de una potencia de la base implícita más uno; por ejemplo, si
la base implícita es diez:
1 = 1[1] = 10
0
10 = 1[2] = 10
1
100 = 1[3] = 10
2
1000= 1[4] = 10
3
10000= 1[5] = 10
4
etcetera
Si, seguidamente, progresamos en la nomenclatura de descripción de los
números por la posición de sus cifras hacia números de cantidades cada
vez mayores, tenemos, por ejemplo:
10 uno en dos 1[2]
100 uno en tres 1[3]
1000 uno en cuatro 1[4]
10000 uno en cinco 1[5]
100000 uno en seis 1[6]
...
1000000000 uno en uno en dos 1[1[2]] = 1[10] = 10
9
1000000001 uno en uno en dos, cero, uno 1[1[2]]1 = 1[10]1 = 10
9
+ 10
0
10000000000 uno en uno en dos, uno, cero 1[1[2]1] = 1[11] = 10
10
Nótese que al expresar el número 1000000000 resulta que un nombre (a
saber: "uno en dos") se anida en otro nombre (a saber: " uno en uno en
dos, uno, cero"), al volver a usar así un nombre de número construido
mediante la descripción de la posición de cada cifra, por ejemplo, "uno
en dos", para construir otro nombre de orden superior, por ejemplo,
"uno en uno en dos, cero, uno", se emplea el nombre de la cifra cero
para explicitar la ausencia de un número implícito y así deducir a qué
nivel de la anidación corresponden las cifras que la siguen, si las
hay; por ejemplo, para
evitar confundir "1000000001" = "uno en uno en dos, cero, uno" y
"10000000000" = "uno en uno en dos, uno, cero", sin explicitar la
ausencia del número implícito mediante el cero ambos se leerían "uno en
uno en dos, uno". En la representación mediante corchetes, se omiten
los ceros porque el corchete que cierra hace las veces de indicador del
nivel de una anidación de las cifras anteriores a la que corresponden
la cifras posteriores.
Algunos ejemplos de lectura de números:
2006
dos en cuatro, seis = 2[4], 6 = 2 × 10
3 + 6 × 10
0
1732
uno en cuatro, siete en tres, tres en dos, dos = 1[4], 7[3],
3[2], 2
10
3 + 7 × 10
2 + 3 × 10
1+ 2 × 10
0
3455622
tres en siete, cuatro en seis, cinco en cinco, cinco en cuatro, seis en
tres, dos en dos, dos
3[7], 4[6], 5[5], 5[4], 6[3], 2[2], 2
3 × 10
6 + 4 × 10
5 + 5 × 10
4+ 5 × 10
3
+ 6 × 10
2 + 2 × 10
1+ 2 × 10
0
Si ahora exploramos la progresión de los nombres, por ejemplo:
1 = 1[1] = 10
0 = 10''0
10 = 1[2] = 10
1 = 10''1
100 = 1[3] = 10
2
1000 = 1[4] = 10
3
...
1000000 = 1[7] = 10
6
1000000000 = 1[10] = 1[1[2]] = 10
9
10000000000= 1[11] = 1[1[2]1] = 10
10 = 10
10^1 =
10''2
1000000000000 = 1[13] = 1[1[2]3] = 10
12
1[100] = 1[1[3]] = 10
99 = 10
9[2]9
1[101] = 1[1[3]1] = 10
100= 10
10^2
1[1000] = 1[1[4]] = 10
999 = 10
9[3]99
1[1001] = 1[1[4]1] = 10
1000 = 10
10^3
...
1[1000000] = 1[1[7]] = 10
999999 = 10
9[6](9)
1[1000001] = 1[1[7]1] = 10
1000000 = 10
10^6
...
1[1000000000] = 1[1[10]] = 1[1[1[2]]] = 10
999999999 = 10
9
[10](9)
1[1000000001] = 1[1[10]1] = 1[1[1[2]]1] = 10
1000000000 = 10
10^9
1[10000000001] = 1[1[11]1] = 1[1[1[2]1]1] = 10
10000000000 =
10
10^10 = 10''3
...
1[1000000000000] = 1[1[13]] = 1[1[1[2]3]] = 10
999999999999 =
10
9[12](9)
1[1000000000001] = 1[1[13]1] = 1[1[1[2]3]1] = 10
1000000000000
= 10
10^12
...
1[1[100]] = 1[1[1[3]]] = 1[10
99] = 1 seguido de (10
99
- 1) ceros = 10
9[99](9)
1[1[100]1] = 1[1[1[3]]1] = 1[10
99 + 1] = 1 seguido de 10
99
ceros = 10
10^99
1[1[101]1] = 1[1[1[3]1]1] = 1 [10
10^2 + 1] = 1 seguido de 10
10^2
= 10
10^10^2
1[1[1000]] = 1[1[1[4]]] = 10
9[999](9)
1[1[1000]1] = 1[1[1[4]]1] = 10
10^999
1[1[1001]1] =1[1[1[4]1]1] = 1 [10
10^3 + 1] = 10
10^10^3
...
1[1[1000000]] = 1[1[1[7]]] = 10
9[999999](9)
1[1[1000001]1] = 1[1[1[7]1]1] = 10
10^10^6
...
1[1[1000000000]] = 1[1[1[10]]] = 1[1[1[1[2]]]] = 10
9[999999999](9)
1[1[10000000001]1] = 1[1[1[11]1]1] = 1[1[1[1[2]1]1]1] = 10
10^10^10=
10
10''3 = 10''4
...
1[1[1[100]]] = 1[1[1[1[3]]]] = 10
9[9[99](9)](9)
1[1[1[101]1]1] = 1[1[1[1[3]1]1]1] = 10
10^10^100 =
10
10^10^10^2
...
1[1[1[1000000000]]] = 1[1[1[1[10]]]] = 10
9[9[999999999](9)](9)
1[1[1[10000000001]1]1] = 1[1[1[1[11]1]1]1] = 1[1[1[1[1[2]1]1]1]1] = 10
10''4=
10''5
...
El último número escrito se leería:
uno en uno en uno en uno en uno en dos, uno, uno, uno, uno
Esta expresión es el nombre de una cantidad equivalente a diez elevado
cuatro veces a diez (a saber: 10^10^10^10^10), o diez
despegado
a cinco (a saber: 10''5).
En la explicación anterior, la operación de superelevar, la
superpotenciación (o como quiera que se llame) no es otra cosa que la
potenciación de un número por sí mismo un cierto número de veces (por
ejemplo: 10"3 = 10^10^10), lo mismo que la potenciación es la
multiplicación de un número por sí
mismo un cierto número de veces (por ejemplo: 10^3 = 10 × 10 × 10), o
la multiplicación es la suma de un número con él mismo un cierto número
de veces (por ejemplo: 10 × 3 = 10 + 10 + 10), o la suma es contar a
partir de cierto número un cierto número de veces (por ejemplo: 10 + 3
= 10 → 11 → 12 → 13), o contar es reconocer un orden cierto
número de veces (por ejemplo, I-I-I-I-I-I-I-I-I-I ó I-I-I), o reconocer
un
orden es distinguir cierta relación de cantidad, (por ejemplo, en I ó
II
ó III; el ser humano no suele ser capaz de distinguir cierta relación
de
cantidad en IIII o mayor).
¿A qué expresión corresponde en la nomenclatura más común (por ejemplo,
la del tipo del español, o la del tipo inglés) la expresión
de arriba? ¿cuánto ocupa la escritura de tal número...?
1[1[1[1[1[2]1]1]1]1] = 1[1[1[1[11]1]1]1] = 1[1[1[10000000000]1]1]1] =
1[1[1 seguido de 10^10 ceros + 1 uno]1]1] = ...
10^10^10^10^10 = 10^10^10^10000000000 = 10^10000000000^10000000000 =
1(010000000000)^10000000000 = 1(01666666666 sextetos de ceros + 4
ceros)^ 10000000000 = ...
El número resulta demasiado grande para ser nombrado por el sistema de
posiciones de potencias de diez, pero se puede nombrar por el sistema
de:
m en la posición de la potencia de 10 de orden r; o por el
sistema de:
m seguido de r ceros por cada orden inferior de
potencias de 10; a saber, 10''5 = 10^10^10^10^10 se puede nombrar
así:
1(01(01(01(010)))))
uno seguido de: uno seguido de: uno seguido de:
uno seguido de diez ceros
1[1[1[1[1[2]1]1]1]1]
uno en: uno en: uno en: uno en: uno en:
dos, uno, uno, uno, uno
Quizás resulta más sencillo el sistema "
m seguido de r ceros por
cada orden inferior de potencias de 10", dado que no es preciso
correlacionar diferentes partes del nombre como ocurre en el sistema "
m
en la posición de la potencia de 10 de orden r".
Tratándose de números resultado de operaciones de orden superior a la
potenciación, por ejemplo, diez elevado nueve veces a la potencia de
diez, 10''2, cabe aumentar una vez la escala de las posiciones para
construir un sistema de numeración posicional con una escala de tres
ordenes de ordenes de posiciones.
Esto es, indagemos en teoría general de las numeraciones posicionales.
Lo más elemental para una numeración quizás sea la consciencia de la
distinción inconsciente de cantidades, este es el caso de la distinción
entre las cantidades de 1 y 2, y quizás 3, o inclusive 4 cuando se
presentan
como algos distintos, por ejemplo:
I
II
III
En este caso, quizás se da
percepción súbita de la cantidad de
I y de II y de III entendiéndolos como grupos. Asimismo, es posible
contar de uno a dos, pero, contar es concebir un orden de sucesión para
ambas cantidades, y, así, contar implica asimismo la capacidad de
hacerse consciente de la consciencia de diferentes
distinciones
indeterminadas o perceptivas de I y retenerlas en la consciencia,
esto es, memorizarlas. A dos también se puede llegar sumando uno y uno,
pero esto supone actualizar una conceptualización, esto es el recuerdo
de la memoria de haber sido consciente de la consciencia de diferentes
distinciones
indeterminadas o perceptivas de I retenidas en la consciencia.
Quizás sea posible
distinguir espontáneamente la
cantidad 3 en el grupo III, pero a 3 se
puede llegar de otras dos maneras, i) contando 1 → 2 → x, x =
3, donde 3 es la cantidad siguiente a 2 (esto es de 3 ~ ∞) y ii)
sumando
1 y 2. Así mismo, resulta poco probable que la cantidad de 4 se
distinga
de esta manera, y más probable que se distinga ya contando, ya mediante
la operación de sumar. La subitación, esto es la percepción de número,
no es formal sino generativa, no es por tanto sistemática sino liminal,
esto es una operación límite, por lo cual podríamos considerar a
efectos
de teoría general de la numeración que constituye en particular un
no-sistema,
o sistema sin-orden, o sistema cero, o sistema no-elemental.
En un sistema elemental, de una operación, podemos, quizás, considerar
que habrá una sola clase de símbolo, las posiciones próximas del
símbolo tienen el mismo orden de posición y se
cuentan como
parte de una misma cantidad las repeticiones del símbolo, por ejemplo:
IIIIII
Consideraré que este sistema evoluciona así, i) sistemas en que la
sucesivas posiciones de palotes implican adición (por ejemplo,
prehistóricos), ii) sistemas en que los palotes se toman en unas
formaciones de grupos que entre las culturas resulta más frecuente que
sea de 5, de 10 elementos y algunos de sus múltiplos (por ejemplo:
IIII
para 5
en lugar de IIIII; o X para 10 en lugar de IIIIIIIIII).
El sistema elemental quizás se haya implícitamente en la numeración de
uno a nueve, pues las cantidades correspondientes a 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 quizás se calculan implícitamente contando por el sistema de
palotes, y, o de dedos:
I = 1
II = 2
III = 3
II II = 4
III II = 5
III III = 6
IIII III = 7
IIII IIII = 8
IIIII IIII = 9
De este sistema elemental quizás cabe considerar que es un sistema
posicional, el sistema posicional de un orden o de una operación. El
sistema posicional de operación cero lo he dejado para denominar al
caso
en que la diferenciación de las posiciones puede servir para distinguir
cantidades o puede no ser relevante; en el sistema de un orden no
existe
tal ambigüedad pues la proximidad entre los símbolos lleva implícita la
operacion de contar. Por ejemplo en el sistema de no orden puede no
llegarse
a contar, las posiciones carecen de orden, y se puede distinguir entre
ellas:
II I II = 2, 1, 2
El que denomino
sistema de una operación sería uno con una sola
clase de símbolo, aunque esta clase puede estar representada por
diferentes signos, el orden de la posición es asignado por la operación
de contar, ya que un signo, sea el que sea,
cuenta como 1, y su
valor
numeral depende solo de su posición, toda posición lleva implícita la
operación
de
contar y solamente la operación de contar; si hay diversas
formaciones III,
IIII o signos
diferentes, I,V, X,
estos tienen un
valor de magnitud escalar y no implican otra operación que la de
contar,
por ejemplo, podría ser así:
I = 1
II = 2
III = 3
IIII = 5
V = 5
IIII V I = 6
IIII V II = 7
IIII V IIII = 9
IIII IIII =
10
IIII V IIII X = 10
IIII V IIII X III= 13
IIII V IIII X IIII V IIII X IIII V IIII X = 30
IIII V IIII X IIII V IIII X IIII V IIII X IIII V IIII X IIII
V IIII
X = 50
En el sistema de una operación, la de contar, los signos de diferentes
valores no se suman, estos signos diferentes (por ejemplo, I, V, X)
no significan una cantidad tomados aisladamente, sino que significan
una magnitud escalar estando dentro de la sucesión de signos; estos
signos
de magnitud quizás son bases cuantitativas no numéricas.
Adicionalmente,
quizás significan unas ciertas cantidades diferentes atendiendo a la
posición, y la cantidad que significan así se calcula contando hasta
su posición; pero, inclusive si no se supiera el valor que representan
los signos diferentes bastaría contar a partir de una primera posición
de signo hasta la posición última de signo para conocer la cantidad.
Se puede apreciar que en esta evolución del
sn1 se da
la oportunidad de concebir una suma, la suma de las cantidades iguales
que se podrían asignar al mayor valor representado por una formación,
aunque no se sumen cantidades diferentes de las formaciones diferentes (
sn1
abreviatura de
sistema numérico de una operación).
El siguiente nivel en las numeraciones quizás sea el que denominaré
sistema de dos operaciones. Evolucionando -quizás por exapción- al
adoptar la convención de asignar a un símbolo escalar la significación
del primer valor numérico que representa en la escala. En un sistema
numérico posicional de dos operaciones las formaciones de grupos de
cierto número de elementos, o los signos de magnitud, se trasforman en
signos convencionales de las cantidades y estos signos son repetidos
para representar cantidades mayores por medio de la operación de la
adición, o suma.
III = 3
VIII = 5 + 3 = 8
X = 10
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
X = 50
MMMMMII = 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1 + 1
En el sistema de dos operaciones cada posición lleva implícita una
operación, la operación de sumar asociada tanto a la repetición
de un signo como a su relación con los otros signos con los que forma
un grupo, la operación de contar queda implícitamente asociada a la
evolución
que lleva a la convención de diferentes símbolos para diferentes
numéros,
estos devienen así en unas bases numéricas para la numeración; en
cierto
sentido el
sn1 está así anidado en el
sn2 (sn2
abreviatura de
sistema numérico de dos operaciones).
En el sistema de dos operaciones cada posición lleva implícita la
operación de la adición, o suma, y el orden de sucesión resulta poco
relevante para la representación del número; sin embargo, suele
disponerse las cifras de una misma expresión en un orden de mayor a
menor, por claridad mnemotécnica.
En el sistema que denomino de tres operaciones, las cifras base se usan
de dos maneras, se usan para expresar un número total parcial y se
re-usan (vuelven a usar) para expresar un número de veces que un total
parcial se habría de repetir si se tratara del sistema de dos
operaciones. En este sistema hay dos tipos de posición un tipo de
posición lleva implícita la operación de sumar y el otro tipo de
posición lleva implícita la operación de multiplicar, las posiciones
que implican suma se distinguen globalmente por no tener uno o más
símbolos de números mayores en una dirección, por ejemplo, la derecha,
las posiciones que implican multiplicación se distinguen globalmente
por tener uno o más símbolos de números mayores en la dirección
anterior; la misma distinción se aplica localmente, en tal ejemplo, se
da frecuentemente así un orden gradualmente decreciente hacia la
derecha,
aunque localmente haya saltos crecientes hacia la derecha. Esto quizás
se puede denominar
hibridación de las operaciones de la suma y
la
multiplicación en la numeración. Un ejemplo
aproximado de este
sistema
son las numeraciones
habladas del sánscrito en su versión más
antigüa,
del chino, del español, del inglés, y de muchos otros idiomas. Por
ejemplo:
ciento veinte y cinco mil millones dos cientos treinta y cuatro mil
tres cientos dos
El número anterior si se expresara rigurosamente en un sistema de tres
operaciones vendría a ser, por ejemplo:
un cien dos dieces y cinco miles de millones dos cien tres dieces y
cuatro miles tres cientos y dos
((1 × C + 2 × X + 5) × M) × M̅ + (2 × C + 3 × X + 4) × M + 3
× C + 2
Por ejemplo, en el sistema del ejemplo anterior los números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, X, C, M, M̅ tienen representación propia, y serían las
bases
del sistema, en comparación con números como, X1, X2, X3, ... C1, C2,
CX3, ... que son derivados de la disposición de las bases en posiciones
anidadas. Nótese que
globalmente hay un orden gradualmente
decreciente hacia la derecha:
M̅ > M > C > X > 2
aunque
localmente haya saltos decrecientes hacia la izquierda:
1 < C
2 < X
(1 × C + 2 × X + 5) < M
((1 × C + 2 × X + 5) × M) < M̅
etcétera
En este sistema cabe regularizar las bases de manera que, por ejemplo,
tengamos un tipo de bases 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, obtenidas por la
regla de que la siguiente base valga la anterior más 1 y otro tipo de
bases X, C, M, ... obtenidas por la regla de que la siguiente base
valga un multiplo de un número mayor que 1, por ejemplo, X, en este
ejemplo
1 y X devienen bases para la elección de las bases numéricas del
sistema,
pero en el siguiente ejemplo las bases son sumandos de 1 y algunos
múltiplos V: 1, 2, 3, 4, V, 6, 7, 8, 9, X, L, C, D, M, D̅, M̅
Nota, en los sistemas de numeración de una, dos y tres operaciones no
se precisa de una cifra que señale posiciones vacías en la expresión de
un número, sea el cero o sea un marcador de posición, ya que los
números parciales con los que se opera están explícitos en la expresión
del número total, aunque las operaciones vayan implícitas. Sin embargo,
resultaría conveniente una cifra que señale un vacío numérico, esto es,
el cero, para expresar resultados nulos en el cálculo. Y quizás otra
cifra que señale un número incalculable, esto es, el infinito, para
expresar el límite de lo relevante, o pertinente, en el cálculo. Por
ejemplo, si cero solo indica una cantida nula en un sistema numérico de
tres operaciones, sn3:
3C - 3C = 0
3C = 3C000= 3000C = trescientos
0003C = 003000C000 = 0
0003C3 = tres
En un
sn3 puede haber valores
locales a la izquierda y entran multiplicando, y valores parciales a la
derecha que entran sumando; luego 3000C será igual a 3 más 0 más 0 más
0 por C. Aun así sin el 0 no
habría manera de expresar el resultado de una operación si tal
resultado es ausencia de número, por ejemplo, en 3C - 3C = 0. Esto es,
en un sistema de tres
operaciones, el cero es pertinente para expresar la ausencia de valor
numérico, pero sobra si se trata de expresar números naturales.
En el que denominaré sistema de numeración de cuatro operaciones, van
implícitas las operaciones de contar, sumar, multiplicar y potenciar, y
también van implícito el número de una base mayor. En este sistema hay
dos tipos de base, unas explicitadas mediante cifras para los números
menores y otra implícita en cada posición para los números mayores. Por
ejemplo, en el sistema de cuatro operaciones y base diez, hay nueve
bases menores representadas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y una base
mayor: diez, que
no se representa.
La evolución viene a ser como sigue, en el
sn3 las sucesivas
bases mayores se podían construir como múltiplos de la primera base
mayor, en el
sn4 las múltiplos se reducen a los que equivalen a
tal base mayor multiplicada por sí misma una, dos, tres, cuatro, ...
etcétera
veces, a lo cual se denomina potencias de tal base que deviene única
base mayor. Asímismo, al volverse totalmente predecible la base mayor
y las operaciones con la base mayor asociadas con cada posición
sucesiva,
estas se dejan implícitas en la expresión, pero, esto implica que la
ausencia
de un número parcial en la expresión del número total no resultará
obvia,
y, por consiguiente es necesario expresar tal ausencia, para esto se
usa
el 0, que viene a ser expresión de base nula. La razón por la cual
deviene
conveniente la expresión de la ausencia de un número parcial, en
sustitución
de la expresión de todos los números parciales, es la expresión de
números
progresivamente cada vez mayores.
Comparando sistemas de numeración de dos, tres y cuatro operaciones,
sn2,
sn3 y
sn4,
con un mismo número de bases en cada
comparación, para los
sn4 la base
implicada, que se puede denominar
razón, tendrá el valor siguiente a la mayor base explícita, el número
de bases -indicado en cifras romanas- se va aumentando en niveles de
comparaciones sucesivos:
|
sn2
|
sn3
|
|
sn4
|
I
base: 1
base nula: 0
|
0
01 (=0+1)
011 (=0+1+1)
0111 (=0+1+1+1)
|
0
1 (=1)
11 (=1+1)
111 (=1+1+1)
Nota:
110 (=1×1+0=1)
01 (=0×1=0)
|
I base
implicada: 1
base nula: 0
|
0
00 (=0+1^1)
000
0000
00000
|
II bases: 1, 2
base nula: 0
|
0
1
2
21
22
221 (=2+2+1)
222 (=2+2+2)
2221
2222
nota:
12 (=1+2) |
0
1
2
21
22
221 (=2×2+1)
2212 (=2×2+1×2)
22121 (=2×2+1×2+1)
222 (=2×2×2)
nota:
12 (=1×2) |
I base
explícita: 1
I base implicada:
dos, 2
base nula: 0
|
0
1
10 (=1×10^1)
11 (=1×10^1+1)
100 (=1×10^10)
101 (=1×10^10+1)
111
1000
1001
1010
1011
|
III
bases:
1, 2, 3
base nula: 0
|
0
1
2
3
31 (=3+1)
32 (=3+2)
33 (=3+3)
331
332
333
nota:
11 (=1+1)
13 (=1+3) |
0
1
2
3
31 (=3+1)
32 (=3+2)
23 (=2×3)
231 (=2×3+1)
232
33 (=3×3)
nota:
22 (=2×2)
13 (=1×3)
|
II
bases explícitas:
1, 2
I base implicada:
tres, 3
base nula: 0
|
0
1
2
10 (=1×10^1)
11 (=1×10^1+1)
12
20 (=2×10^1)
21
22
100 (=1×10^2)
|
III bases:
1, 5, X
base nula: 0
|
0
1
11
111
1111
5
51
511
5111
51111
X
X1
...
X51111
XX
...
XXXX51111
XXXXX
XXXXXXXXXX
nota:
15X (=1+5+X)
|
0
1
11 (=1+1)
111
1111
5
51
511
5111
51111
X
X1
...
X51111
11X (=(1+1)×X)
...
1111X51111
5X => 5×X
115X ((1+1)×5×X)
nota:
XX (=X+X) |
II bases
explícitas:
1, 5
I base implicada:
diez, X
base nula: 0
|
0
1 (=1×X^0)
11 (=1+1)
111
1111
5
51
511
5111
51111
10 (=X^1)
101 (=X^1+1)
...
1051111
110 (=(1+1)×X^1)
...
1111051111
50 (=5×X^1)
100 (=X^(1+1))
nota:
55 (=5+5)
|
IIII bases:
1, 2, 3, 4
base nula: 0
|
0
1
2
3
4
41
42
43
44
441
442
...
4444444444441
4444444444442
nota:
14 (=1+4)
|
0
1
2
3
4
41 (=4+1)
42 (=4+2)
43 (=4+3)
24 (=2×4)
241 (=2×4+1)
242 (=2×4+2)
...
3441 (=3×4×4+1)
3442
nota:
33 (=3×3)
14 (=1×4)
|
III bases
explícitas:
1, 2, 3
I base implicada:
cuatro, 4
base nula: 0
|
0
1
2
3
10 (=4^1)
11 (=4^1+1)
12
13
20
21
22
23
30
31
|
IIII
bases:
1, 5, X, L
base nula: 0
|
0
1
11
111
1111
5
...
X
X1
...
XXXX51111
L
L1
...
LL (=L+L)
|
0
1
11
111
1111
5
...
X
X1
...
1111X51111
L
L1
...
11L (=(1+1)×L)
|
III
bases explícitas:
1, 5, X
I base implicada:
cincuenta, L
base nula: 0
|
0
1
11
111
1111
5
...
X
X1
...
1111X51111
10 (=L^1)
11 (=L^1+1)
...
100 (=L^2)
|
IIIII bases:
1, 2, 3, 4, 5
base nula: 0
|
0
1
...
5
51
52
...
55
551
552
...
5555555554
5555555555
|
0
1
...
5
51
52
...
25
251
252
...
5544232 (=5×5+4×4+2×3+2)
255 (=2×5×5) |
IIII bases
explícitas:
1, 2, 3, 4
I base implicada:
cinco, 5
base nula: 0
|
0
1
...
10 (=5^1)
11 (=5^1+1)
12
...
20 (=2×5^1)
21
22
...
144
(=5^2+4×5^1+4)
200 (=2×5^2) |
IIIII bases:
1, 5, X, L, C
base nula: 0
|
0
1
11
...
5
...
X
...
XX (=X+X)
XX1 (=X+X+1)
...
XXXX51111
L
L1
...
LXXXXV1111
C
|
0
1
11
...
5
...
X
...
11X (=(1+1)×X)
11X1 (=(1+1)×X+1)
...
1111X51111
L
L1
...
L1111XV1111
C |
IIII bases
explícitas:
1, 5, X, L
base implicada:
cien, C
base nula: 0
|
0
1
11
...
5
...
X
...
11X (=(1+1)×X)
11X1 (=(1+1)×X+1)
...
1111X51111
L
L1
...
L1111XV1111
10 (=C^1)
|
Entre los diversos sistemas de los mostrados arriba se puede
observar que cuando el número de bases explícitas es escaso la solución
para conseguir expresiones de los números consiste en incrementar el
significado de tales bases y de sus posiciones, y el criterio para el
incremento
del significado de las expresiones es la hibridación dando la
máxima relevancia segun un criterio
convencional tal como que
si las bases escasean la operación de
orden
superior no
prevalece indefinidamente,
sino
que se da una regresión a una operación o incluso a una numeración
inferior para expresar los valores que en la numeración del orden en
cuestión quedarían sin expresión. Por ejemplo, en los
sn3 con bases:
{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} la operación implicada
en la repetición sucesiva de una cifra es la multiplicación; mientras
que en los
sn3
con bases: {1}, {1, 5, X}, {1, 5, X, L}, {1, 5, X, L, C} la operación
implicada en la repetición sucesiva de una cifra es la suma. O,
también, por ejemplo, en los
sn4 con bases:
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} cada cifra
sucesiva indica una posición sucesiva de potencia de la base implicada;
mientras que en los
sn4 con bases:
{1, 5, X}, {1, 5, X, L}, {1, 5, X, L, C} las sucesivas posiciones de
las potencias de la base implicada son indicadas por la presencia de
cero, ya que las carencias que dejan las expresiones potenciales se
cubren con expresiones de un subsitema
sn3.
Quizá, en el sistema de cuatro operaciones,
sn4, para el caso en
que solo la base nula está explícita, solamente se puedan construir
expresiones
usando el signo 0, por tanto, el cero podría regresar a la
significación más
primitiva
de una cifra valer como parte de una cuenta, en la operación de
contar,
pero, dado el significado de cero, es quizá relevante considerar que
cuenta solamente
cuando resulta superfluo, por ejemplo, si solo podemos escribir números
usando el 0, será así:
0 significando cero, porque es lo que significa
00 significando uno, porque sobra un cero
000 significando dos, porque sobran dos ceros
El primer cero significa cero, pero un segundo cero sería irrelevante
si no significara algo más, dado que en este sistema no hay otro modo
de expresión que con 0, y la operación de que disponemos para que sea
así es la de contar, si pensamos en un
sn4, el resto de
las operaciones se pueden considerar
implicadas operando en vacío. Por consiguiente, como sistema
habría cuatro operaciones en que solo usamos 0 para expresar números,
cabe
considerar que en una expresión se suman los números parciales de
posiciones sucesivas las cuales valen potencias sucesivas de la base
implicada, uno, 1, que en
el sistema se representa, 00, multiplicada por el orden de posición ya
que este es el valor significado por un cero en su posición (0
significando cero, porque es lo que significa, 00 significando uno,
porque sobra un cero, 000 significando dos, porque sobran dos ceros),
...) y en este caso:
0 = 00^0
×0
00 = 00^00
×00
000 = 00^000
×000
0000 = 00^0000
×0000
Traducido este sistema,
sn4, de solo
la base
0
explicitada, y base implicada 1, al sistema común,
sn4, de
bases
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y base implicada
10: el 0 equivale a
0, 00 equivale a 1, 000 equivale a 2, y las potencias sucesivas de 1
valen
todas 1, 1^0=1, 1^1=1, 1^2=1, ... .
Se aprecia, asímismo, que para los sistemas numéricos de dos
y de tres operaciones,
sn2 y
sn3, la longitud de las
expresiones crece comparativamente más rápido que para los sistemas
numéricos de cuatro operaciones,
sn4.
Y que quizás para contrarrestar el exceso de tamaño de las expresiones
en los
sn2
es por lo que se diseñan bases que difieren entre ellas en
valores numéricos más grandes, por ejemplo, {1, 5, X}, {1, 5, X, L},
{1, 5, X, L, C}, y en tanto en cuanto hay disponibles tales bases
de números separados por más que la unidad los
sn2 y los
sn3 resultan
casi iguales. Así, no obstante,
lo que ocurre es que en estos
sn2 las
expresiones se acortan
bruscamente
a la expresión del valor equivalente a una base, pero las expresiones
posteriores vuelven
a
crecer y vertiginosamente, mientras que en los
sn3 y
sn4
hay un crecimiento comparativamente más lento de la longitud de las
expresiones,
crecimiento que es tanto más lento cuanto mayor es el número de bases.
En el sistema de tres operaciones,
sn3,
las expresiones crecen
gradualmente en longitud y decrecen repentinamente, volviendo
a crecer entonces. Así, de entre los tres tipos de sistema de
numeración
distinguidos según el número de operaciones, los
sn3 resultan
intermedios
en la comparación con los
sn2 y los
sn4. Los
sn3
crecen más gradualmente que los
sn2,
pero menos
que los
sn4, y, asimismo, los
sn3 decrecen
ocasionalmente de manera brusca como hacen los
sn2
evolucionados a sistemas con bases dispares, por ejemplo, {1, 5, X},
{1, 5, X, L}, {1, 5, X, L, C}.
La idea de que al expresar valores numéricos cuanto mayor sea la
precisión requerida se recurre a un
sistema más primitivo, y cuanto mayor sea el valor a expresar se
recurre a un sistema más vanzado, permite concebir la idea de un
sistema que se
vaya adaptando al tamaño de los valores numéricos representados, los
números
menores hasta cierto límite se representan por un sistema más
primitivo, por ser los primitivos más exactos o precisos para los
valores pequeños,
y al llegar al límite de un sistema se pasa a usar otro sistema más
avanzado, de
mayor
efectividad en la representación de números mayores (pero menor
precisión).
Nótese que este es el caso del sistema posicional de base implicada
diez,
y nueve bases explícitas relacionadas implícitamente por la operación
de sumar; pues para entender el número de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 quizá se ha de recurrir a la consideración de la implicitud de
la primitiva operación de sumar, y aún se podría remontar a la
operación contar si tenemos en cuenta que la elección de diez como base
implicada quizá se relacione genéticamente con el uso de los dedos para
contar, mientras que para entender expresiones de valores superiores a
9, como 10, 11, 12, ... se ha de recurrir a la consideración de la
implicación de un valor numérico y de la operación de la potenciación.
La cantidad que se potencia es una base implicada en la numeración y
suele ser diez, quizás por ser el número de dedos de las dos manos
juntas, pero
la base implicada puede ser otra, como es el caso en la numeración
sexagesimal que es
de base implicada sesenta, la vigesimal que es de base implicada
veinte, la hexagesimal cuya base implicada es dieciseis o en la binaria
cuya base implicada
es dos. Por ejemplo, si la base implicada es diez:
15 = 1 × 10^1 + 5 × 10^0
515 = 5 × 10^2 + 1 × 10^1 + 5 × 10^0
Siendo así, que en un sistema en cierto sentido hasta 10 se sigue un
sistema, y a
partir de 10 otro, cabe considerar que si el cambio de sistema se puede
generalizar, al llegar a la posición del orden de la potencia 10 de 10
se realice un cambio de sistema consistente en añadir un orden de
operación y de posición al sistema incorporando una quinta operación,
la operación de potenciar una base por sí misma, por ejemplo: 10^10 =
10''2.
En un sistema de cinco operaciones cada posición representaría
implícitamente una potenciación de la base por ella misma, voy a marcar
cada posición mediante unas comillas, ya que dentro de cada posición se
forman números mediante el sistema de cuatro operaciones. Por ejemplo,
como una primera aproximación:
"5 = 5 × 10''0 = 5
"1"0 = 1 × 10''1 + 0 × 10''0 = 10
"123"6 = 123 × 10''1 + 6 × 10''0 = 1236
"1"0"0 = 1 × 10''2 + 0 × 10''1 + 0 × 10''0 = 1 00000 00000
"1"23001 4500"3 = 1 × 10''2 + 23001 4500 × 10''1 + 3 × 10''0
= 1 23001 45003
"1"0"0"0 = 1 × 10''3 + 0 × 10''2 + 0 × 10''1 + 0 × 10''01 = 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000
"1"0"0"0"0 = 1 × 10''4 + 0 × 10''3 + 0 × 10''2 + 0 × 10''1 +
0 × 10''01 = 1 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
Filosofía
no nociones: identidad, distinción
La identidad de algo es su conocimiento por partes, la distinción de
algo es su conocimiento liminar. La identidad es la permanencia en algo
cambiante, la distinción es el cambio en algo permanente. La identidad
es la continuidad de lo discontínuo, la distinción es discontinuidad
de lo contínuo. La identidad es la causalidad del efecto, la distinción
es la efectividad de la causa.
Desde mi punto de vista, la identidad y la distinción, son tan
elementales como la parte, el límite, la permanencia, la mutación,
la continuidad, la discontinuidad, la causalidad, la efectividad; por
ejemplo, la parcialidad es la identidad de lo distinto, la liminaridad,
o totalidad, es la distinción de lo idéntico.
No se trata de una relación dialéctica, pues la dialéctica implica una
formulación o expresión, pero, la identidad de algo no
implica determinación ni definición, la distinción de algo implica
determinación y definición. La
identidad implica la noción de parte, indeterminada, (parte de algo
identificado, se sabe qué pero no sus límites), la distinción implica
la noción de totalidad, determinada, (totalidad de algo distinguido, no
se sabe qué pero sí sus límites). Por consiguiente, ni la identidad ni
la distinción tienen forma
como tales,
son particulares (pero no
particulares
por oposición a
generales),
no son
reconocibles, la identidad y la distinción son origen de la
construcción de formas,
si se les diera forma esta podría ser incongruente, caprichosa, una
fantasía irracional, por esto diría que no la tienen.
Por no dejar de dar un ejemplo, algo a lo que agarrarse por si alguien
no sabe nadar o está agotado: un ejemplo de identidad es una
marca de identidad (p.e.: un nombre propio), un ejemplo de distinción
es una marca de distinción (p.e.: un nombre propio), pero, una marca de
identidad es una marca de distinción; tales marcas no existen como
tales identidad y distinción,
pues son convencionales.
Ejemplos representando un orden cero o filósofico, de identidad: "0",
"esto" y
distinción: "∞", "eso"; de identidad: "es", "él", de distinción: "no
es", "un"; de identidad: "
a",
de distinción: "
no a", "
b" respecto de
"
a".
Comentario: la identidad y la distinción, la no-forma, el cero, el
infinito, lo
inexpresable, son, por ejemplo, una cuestión pertinentemente
ontológica, o impertinentemente metafísica, la del ser que no es tal
ser, el no
ser en sí, no el ser en sí, el "ser" que no puede expresarse más que
así, y, por tanto, no es "no ser", ni "ser en sí", ni "ser en otro", ni
"ser siendo", ni "ser no siendo", ni "ser siendo y no siendo", ni "ser
ni siendo ni no siendo", pero puede ser todo esto en realidad, el ser
sin punto final
Dado que quizás la
forma no sea relevante para la identidad y
la distinción, quizás tampoco se de incongruencia en la expresión
de la identidad y la distinción, porque quizás si es que resulta
incongruente es porque erróneamente se estén concibiendo unas formas, y
no hay tal
expresión, no en realidad.
El hecho de que yo de ejemplos, como "0", "∞", "es", "un", etcétera, no
implica que estas sean formas, lo inexpresable no se puede expresar, ni
aunque usemos decir "inexpresable", de modo similar a como la
existencia de un centauro no se puede expresar, ni aunque dijeramos
"Ahí hay un centauro" y la nada no se puede cuantificar,
ni aunque usemos decir "cero", si se cree percibir que sí se expresa
algo y que sí se cuantifica algo, considérese que quizás las palabras
están produciendo la ilusión de que es así, aunque no sea así la
realidad.
Lógica
noción: forma
La forma es la identificación de algo con algo y la distinción de algo
y algo; el resultado de identificar es la concepción de un algo como el
algo, "anterior", y el resultado de distinguir es la concepción de un
algo y otro algo, "posterior".
La identificación lleva a la noción de parte, indeterminada,
(cada algo es una parte del algo identificado), la distinción lleva
a la noción de totalidad, determinada, (cada algo es un todo
distinguido
de otro todo). Asimismo, la identificación de algo con algo no resulta
en su determinación por esto su forma se concibe como absoluta, la
distinción
de algo y otro algo sí resulta en su determinación por esto su forma
se concibe como relativa entre los algos.
No obstante, la identidad de algo con algo es la localización de algo
global o absoluto (o de localización indeterminada), la distinción de
algo y otro algo es la globalización de algos locales o relativos
(o de localización determinada).
Las formas son totales, esenciales, reconocibles, leyes, principios,
cosas.
Ejemplo de identificación y distinción formal, una marca de identidad
es una forma, una marca de distinción es una forma, una marca de
identidad es la misma forma que una marca de distinción, precisamente,
por ser marca convencional es un ejemplo de forma. Asímismo, el cero y
el infinito son ejemplos de formas.
Ejemplos representando un orden uno, de identificación: "el", de
distinción: "otro", de identificación: "es uno", de distinción: "no es
uno".
Ejemplos representando un orden dos, de identificación: "él es", de
distinción: "él no es"; de identificación: "a es a", de distinción: "a
no es a".
Ejemplos representando un orden tres, de identificación: "lo
que es", de distinción: "lo que no es"; de identificación: "a es a",
de distinción: "a no es b".
Ejemplos representando un orden cuatro, de identificación: "lo que es
es", de distinción: "lo que no es no es"; de identificación:
"a es b", de distinción: "a no es b".
Ejemplos representando un orden seis, de identificación: "es
que lo que es es", de distinción: "no es que lo que es no es"
Comentario: la forma o esencia o infinito o lo expresable es
la identidad y la distinción en sentido metafísico del ser que es tal
ser, el ser en sí, y el no ser que es tal no ser, el ser y punto. El
no ser y punto. Estás son las formas. Las formas se pueden multiplicar
y se pueden dividir infinitamente.
Lógica de la cantidad versus la cualidad
nociones: cantidad, cualidad
La cantidad es una distinción de forma en una identidad de forma (la
identidad primaria, la distinción secundaria). Si dos cosas son
la misma cosa, y concebimos una distinción en tal cosa, estamos
concibiendo una cantidad. Por ejemplo, si lo blanco y lo duro se
identifica con una piedra, la única distinción posible en la piedra es
la de cantidad de
piedra (no hay blanco y duro separados, sino piedras separadas). Por
ejemplo, si lo infinito y lo vacío se identifica con el
espacio, la única distinción posible en el espacio es la cantidad de
espacio (no hay infinito y vacío separados, sino espacios separados,
cosas).
La cualidad es una identidad de forma en una distinción de forma (la
distinción primaria, la identidad secundaria). Si una cosa se distingue
en dos cosas, y concebimos una identidad entre ellas, estamos
concibiendo una cualidad. Por ejemplo, si lo
blanco se distingue en una piedra y una nube, la única identidad
posible entre la piedra y la nube es la de
cualidad de blanco (no hay piedra y nube separadas sino un único
blanco). Por ejemplo, si la piedra se distingue en lo amarillo y lo
blanco, la única identidad posible entre lo amarillo y lo blanco es la
de cualidad de piedra.
Las cantidades se conciben, por ejemplo, como unas extensiones totales
parciales mutuamente excluyentes y una extensión total global, o como
una extensión total repetida (en que la repetición es irrelevante
numéricamente). Las cualidades se conciben, por ejemplo, como unas
extensiones totales no mutuamente excluyentes o como una extensión
total irrepetible.
Con solo la noción de cantidad no se construye un sistema de
numeración, la cantidad es un distinción de mayor que o de menor que
entre dos objetos, que, por ejemplo, muy bien se puede medir con una
balanza o con una cuerda o "a ojo", es una noción prenumeral que, sin
embargo, quizás tiene interés al tratar de las variedades de infinitos
-o de los infinitesimales- ya que los infiinitos se distinguen
construyendo
una noción determinada, o convencional, de cantidad no de número.
Cabe, asímismo, recordar que en cierto sentido histórico la noción de
número convencional o infinito, ese número vagamente tan enorme,
porque no se alcanza a contar, pero en cierto sentido sí a concebir,
ha ido siendo asignada a números naturales cada vez mayores y el
primero
quizás fue el
tres que es
infinito, quizás tal antigua
noción
de tres se haya en la etimología de prefijos como "tras-" y "trans-"
"lo
que está más allá" y en la de "tropa" -muchos-; otro fue el
mil
cuyo étimo quizás esté relacionado con el de
multitud,
multiplicar,
muchos, ...
No obstante, la cuestión de si estas nociones de tres, muchos,
multitud, numero grande, que han sido en algún momento de la historia
consideradas equivalentes a infinito, son la misma noción que la de
infinito es quizás un asunto dudoso desde el punto de vista filosófico
y científico. Pues, por ejemplo, si la noción de infinito no es la de
un número, porque el infinito sea innumerable, pero la noción de
infinito va implicada
en la noción de número, entonces solo queda que su noción sea una
abstración convencional -una conceptualización- de la noción primitiva
de
cantidad, construida en contraposición a la
no cantidad
del cero, infinito es la cantidad de una cantidad numerable. Nótese que
así la noción de cero, viene a ser una abstracción convencional -una
conceptualización- de la
noción primitiva de no cantidad contrapuesta a la noción de infinito,
pues,
en contraposición a la de infinito, la noción de cero no se haya
implicada
en la noción de número, cero es la ausencia de cantidad, sea cantidad
numerable
o no, porque en matemáticas la noción de cero también implica la
ausencia
del infinito. Es por esto, por no significar cantidad alguna, por lo
que
quizá la cifra cero se puede tomar como un cálculo o pieza de ábaco, y
contarlo
si sobra, con el primer cero sobrante vendría el uno, y contra más
ceros añados más cifras sobran y menos precisa es la expresión de
cantidad nula. Si solo dispusieramos de la cifra 0 quizá podríamos
desarrollar un
sistema
de numeración así:
0 = 0
00 = 01 = 1
000 = 02 = 2
etcétera
∞0 = 0
∞00 = ∞1 = 1
∞000 = ∞2 = 2
etcétera
Pero, no ocurre lo mismo con infinito, si solo dispusieramos
de la cifra ∞ dado que esta ya significa cantidad no podría ser un
punto
de partida -un cero-, sino de llegada,
tras el
infinito no hay mas que el vacío, (el cero de nuevo, por ejemplo: ∞0,
∞00, ∞000, etc.), asi que si escribimos un símbolo de infinito a lado
de otro, quizá no sobra ninguno, tantos como añadamos, ninguno sobra y
contra más añadamos con mayor precisión nos acercaremos a expresar
infinito.
∞ = ∞
∞∞ = ∞
∞∞∞ = ∞
etcétera
0∞ = ∞
00∞ = 1∞ = ∞
000∞ = 2∞ = ∞
etcétera
Estas no son las únicas alternativas de uso de las cifras, su uso,
depende tanto de las nociones que consideramos que representan como del
sistema que consideremos para esas nociones. No obstante, parece que en
si consideramos la cantidad el cero que sobre no añade noción de
cantidad al lugar solo su propia consistencia
como cifra, el infinito añade noción de cantidad al lugar y no su
consistencia
como cifra.
Sistema de numeración de 0 operaciones sn0
noción: número natural
El número es la cantidad de una repetición, o es la cantidad de una
cantidad.
operación: no-operación, subitar,
nulificar, o0, "0"()
, ०()
, ०·,
o0, →, {
> < =
≠}
nulificar, o subitar, es cuantificar cantidades, esto es distinguir
cantidades por el conjunto de las relaciones de: diferencia, igualdad,
y aumento o disminución. La subitación quizá no tiene un orden
temporal, ya
que quizá van implícitas a la vez la relación < y la relación >,
la
relación = y la relación
≠. En cierto sentido las nociones
algebraicas de
conmutatividad y asociatividad que suponen la irrelevancia de la
disposición y del orden de los términos se
hallan plenamente en la subitación; las operaciones algebraicas son
no-operaciones naturales.
El sistema de cero operaciones, consiste en el nivel en que no se opera
con el concepto de número, sino que mediante el concepto de
cantidad, el cual implica la distinción mayor que o menor que, o igual
que, pero no implica ni constancia ni repetición de la forma, se
concibe
el de número como el resultado de mantenerse un conjunto de relaciones
entre cantidades, de otra manera: en la concepción de número, o
plural
(es la misma concepción que la lingüística llama plural), hay que
considerar una configuración de la cantidad mediante esas tres o cuatro
relaciones: igual, diferente, mayor y menor; esto es, que para la
noción de número estas
relaciones se consideran todas
de súbito,
en conjunto,
se
nulifica la diferencia de forma cualidad entre ellas; por esto en un
sentido hay tres o cuatro operaciones, en otro no hay una
operación
natural -sino cuatro-, en relación con la subitación estos operadores
realizan operaciones
algebraicas
ya que en la subitación va implícita la posibilidad de las cuatro.
Desde otro punto de vista,
los signos
> < = no implican algo que haya que hacer con
las cantidades (mientras que una
operación implica
algo que
hacer), sino que expresan unas relaciones entre ellas,
relaciones estas que para el concepto de número se toman en conjunto o
sin orden.
Una explicación acerca de la naturaleza del número quizás se
entienda si se relaciona con que, para pensar que la Tierra gira una
vez y después otra vez, es preciso localizar un punto de la tierra en
un espacio limitado
mentalmente, y observar
virtualmente
el movimiento del punto en relación con la localización hasta que
el punto de la tierra y la locación vuelven a coincidir. Esto es, que
la tierra gira sobre sí es una convención, una ficción basada en la
convención de que hay un principio y un fin de un movimiento que es el
giro y, por tanto, sin tal convención tampoco hay giro (giro= una
repetición del movimiento); no obstante, recuérdese que hemos partido
de una observación de la realidad y no estoy afirmando que la realidad
sea ilusión. La localización convencional de un punto de la tierra es
quizás en el espacio mental, pues, sabemos que ningún punto de la
tierra vuelve a situarse sobre la misma localización del espacio físico
con relación a cualquier estrella sino que quizás viaja en el espacio
sin volver a posición alguna y, por tanto, aunque la observación de que
la tierra gira sobre sí misma parte de la realidad, en realidad la
tierra no gira necesariamente sobre sí misma. Esta concepción de que
la
tierra gira ocurre súbitamente, como un descubrimiento, es un
descubrimiento de una realidad, es mental; cuenta la realidad
observada,
tanto como la mente del observador.
* *I, x **, ^ ^^, x xy, x xx, ...
→I
..., I < II, II < I, I = I, I<III, III>I, ...
→II
..., II > I, I < II, II = II, II<III, III>II, ...
Y quizá:
→III
..., III > I, III>II, I<III, II < III, III
= III, ...
Si se incluyera el cero y el infinito un sistema de cero
operaciones,
sn0, completo vendría a
ser quizá así:
0 I II ∞
En el cual va implícito que:
0<I<II<∞, ∞>II>I>0, I = I, II = II, I ≠II
O, si consideramos que III es subitable, así:
0 I II III ∞
En que van implicitas las relaciones:
0<I<II<III<∞, ∞>III>II>I>0, I = I, II = II, I
≠II, III=III, I ≠III, II ≠III
Este sistema 0 I II III ∞ se puede entender que es el significado de: 0
1 2 3 ∞
Comentario, 0 I II III ∞, representa que mediante
solo la
percepción y la noción de cantidad no se llega a concebir un número ni
por debajo de I ni por encima de III; aunque sea quizás probable el
caso de percibir si una
cantidad es menor o mayor que otra, por
ejemplo, IIIIII y IIIIIIIIIIIII, en que sabemos que IIIIII <
IIIIIIIIIIIII sin necesidad de conocer el
número. Por
consiguiente, es indiferente si usamos símbolos como I y II, u otro
símbolo, & y &&, o dedos, o piedras, o palabras, uno, dos,
como medio de representación.
Desde mi punto de vista las
nociones de cero e infinito son
primitivas, no así las
cifras de cero e infinito, a las cifras
para cero e infinito que son representaciones más simbólicas que las
palabras y que implican una conceptualización de las nociones, se llegó
tras una larga evolución de los sistemas numéricos. Las relaciones
entre
cero e infinito no son matemáticamente obvias, como lo son entre el 0
y ∞, pues, por ejemplo, del espacio podemos quizá es vacío, y quizá es
infinito, pero, pero un espacio cero significa más bien una
insuficiencia del espacio que creemos necesitar, y un espacio
"infinito" la presencia de un espacio mayor de lo que creemos
necesitar, aritméticamente cero e infinito son iguales o difieren según
las convenciones
matemáticas. En este mismo sentido las nociones de I y II son, también,
más primitivas que estas representaciones "I" y "II", y, por supuesto,
que estas "1" y "2", y las
representaciones más primitivas son quizás mediante las palabras, "uno"
y "dos", o mediante los
dedos.
Nótese, por consiguiente, que hay duda acerca del número tres, sobre si
es
lo que no es ni I ni II pero es una cantidad, y se concibe
así como un número vagamente "muy grande", "muchos", o "infinito" o si
se puede concebir a partir de una percepción directa del número sin
mediación de las nociones de uno y dos, y, por tanto, a la vez que I
y II. Pues, en algunos idiomas se ha dado una evolución hacia una
concepción del tres como el total de I y II, esto es I.II, ó I0II, pero
los experimentos con animales, por ejemplo, cuervos, sugieren que son
capaces de distinguir I, de II y de III; lo cual apunta a la existencia
de una percepción directa de III. Asímismo, hay una tendencia
mnemotécnica en las numeraciones actuales a separar las cifras de una
expresión, en grupos de dos (en el hindi), o en grupos de tres (en
los idiomas románicos y anglosajones), o en grupos de cuatro, (en chino
y japonés), lo cual podría indicar que tres es el número medio
perceptible sin intervención de una operación consciente, siendo dos el
mínimo y cuatro el
máximo; teniendo, además, en cuenta que las numeraciones de los idiomas
mencionados son todas
ellas decimales para las cuales sería más lógico separar grupos de dos
o de cinco por
ser múltiplos de diez, o grupos de diez, así, el hecho de que se
separen dos, tres o cuatro
quizás
se explica porque la percepción numérica directa se corresponde como
máximo con dos, tres o cuatro.
Sistema de numeración de una operación sn1
nociones: número, cifra
La cifra representa el valor numérico de un objeto, esto es,
el símbolo consta de algo, por ejemplo: un guijarro, un dedo, una
semilla, una marca de un palote, ...que está no por sí, si no por una
forma de sustitución de otro objeto, referido este objeto a un
conjunto. La cifra, es formalmente la marca, el guijarro, o la cosa o
el objeto, que se empareja con otra cosa u objeto para sustituirlo en
una cuenta; por consiguiente, la cifra, el guijarro o cálculo, como tal
no representa necesariamente un número sino otro
objeto en cuanto a su valor numérico. La cifra representará un número
si
es que es el valor numérico de un número lo que representa (ver la
noción de base, debajo). La cifra, por consiguiente, no es
necesariamente un símbolo de un numero, sino de un objeto numerado.
nueva operación natural: contar,
monificar, operación
uno,
o1,
"1"(), १(), १·,
o1, =>
monificar, contar es una operación natural, la de concebir un número de
unos al ser consciente de sucesivas subitaciones de uno. Por ejemplo,
⇒IIIIIII = →I →I →I →I →I
→I →I .
Un sistema numérico de una operación es aquel en que para representar
un número se usan cifras en número igual al número a representar; el
número en un
sn1 se
conoce al contar las cifras, o se reconoce
al
recontar las cifras.
I I I I I I I ... ;
x
implica la operacion de contar ⇒:
→I →I →I →I →I →I →I ... →
x
las cifras en un
sn1carecen
de significado numérico, (no cuentan), y va
implícito un conjunto de
relaciones cuantivas:
I
o0I; I I
o0I; I I I
o0I;
I I I I
o0I; I I I I I etcétera ;
x
I=I; I≠II, I<II, II>I, II=II; I≠III, I<III, III>I,
II≠III, II<III, III>II, III=III; etcétera;
x
IIII V IIII X IIII V IIII X III ...;
x
implica I
o0I; I I
o0I; I I I
o0I;
I I I I
o0I; I I I I V
o0I; I I I I V
o0I;
etcétera;
x
B
0 B
0 B
0 B
0 B
0 B
0...
;
x
implica la operacion de contar →:
→ B
0 → B
0 → B
0 → B
0 → B
0
→ B
0... →
x
yendo implícito un conjunto de relaciones cuantivas:
B
0 o0B
0 ; B
0 B
0
o0B
0 ; B
0B
0B
0
o0B
0 ; B
0 B
0 B
0
B
0...
o0x; x
B
0=B
0; B
0≠B
0B
0,
B
0<B
0B
0, B
0B
0>B
0,
B
0B
0=B
0B
0; B
0B
0≠B
0B
0B
0,
B
0B
0<B
0B
0B
0, B
0B
0B
0>B
0B
0,
B
0B
0B
0=B
0B
0B
0,
etcétera;
x
B
0=no-base implícita
Si se integran a este sistema de una operación las nociones de cero e
infinito caben algunas versiones de
sn1 como las siguientes:
0, I I I I I I I ...
, ∞
0, 0 0 0 0 0 0 0 ...
, ∞
0, IIII V IIII X IIII V III ...,
∞
0, ∞∞∞∞∞∞∞∞ ...,
∞
Comentario: La noción de implicación es la de algo no explicitado de lo
cual se tiene consciencia al interpretar una expresión, en la que he
denominado no-numeración no hay implicaturas, en todas las numeraciones
hay operaciones implicadas y a partir de la cuarta hay un valor
numérico implicado. La noción de implicitación es la de algo no
explicitado de lo cual no se tiene consciencia al interpretar una
expresión, pero que resulta relevante para entender la génesis de la
expresión, quizá inclusive en la no-numeración, la cual ni siquiera
implica una operación, se da una implicitud de relaciones cuantitativas.
La noción de
base -una base es una cifra que significa un
número- no se haya presente en este
sistema, no obstante, a modo de generalización he indicado que hay una
no-base, B
0, (base nula, base vacía) implicada en cada
posición que reduce el valor de cualquier cifra a la cuenta de 1; esto
es hay
una no-base asociada a
la posición en el sentido de que lo que
vale numéricamente son las posiciones, no las cifras según su formas,
y cada posición vale 1, en el sistema completo. Por su significado cero
es anterior a toda operación de contar, e
infinito es
posterior a toda operación de contar, pero se puede no considerar su
significado y contar signos de
cero o de infinito.
Una expresión de número en un sistema numérico de una operación, sería,
por ejemplo:
I I I I V I I I I X I I I I V I I I I X I
Comentario, en este ejemplo, tanto I, como V, como X valen 1
en la cuenta pero su magnitud es creciente, "I", "V" y "X", representan
etapas en la cuenta, "I", "V" y "X" no tienen un valor numérico
independiente, por consiguiente, son marcas de una escala. El valor
total de la expresión es el resultado de contar signos, sea I, V o X lo
que se cuente. Como
V y X indican magnitudes, sirven ya como paradas en la cuenta a partir
de las cuales se puede volver a contar, ya, asímismo, para ser contadas
una vez finalizada la cuenta, y así quizás retener el número con mayor
simplicidad o para comparar más fácilmente grandes números; por
ejemplo,
mediante una regla de madera o de hueso, que se usara para medir o
guardar
información de mediciones de cantidades.
Si cada cuenta - cálculo, cifra- fuera diferente tendríamos quizás algo
así, por ejemplo:
;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 12
13
14 15
16
X la uso como cifra de valor diez, tomándola de la numeración romana.
Los colores más el subrayado tienen como intención ligar las cifras de
manera que lo ligado representa un solo símbolo y no dos; a falta de
unos signos numéricos para expresar bases superiores a 9 o a X, hasta
dieciseis. La convención de usar otras letras (A, B, C, ...) a modo de
cifras,
como se hace a veces para un sistema hexagesimal, me resulta
perturbadora, o causa de la probable confusión, es un asunto muy
delicado, pues A, B, C,
D, se haya ligado al alfabeto, son letras por tanto, sugeriría como
alternativa que quizás se usara, por ejemplo: Q por 10, N por 11, R por
12, B por 13, H por 14, K por 15, y S por 16. Que son dieciseis cifras
para representar el número dieciseis, implicando la operación de
contar, así:
→ 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → Q → N → R → B → H → K → S
La idea es que Q, a falta de alguna forma más relevante, se tome como
un cero con un palo, 10, N se asemeja a un 11 con una ligadura
entre 1 y 1, R se asemeja a 1 con un 2 adosado, B se asemeja a 1 con un
3 adosado, H se asemeja a 1 con un 4 adosado, K se podría considerar
semejante
a 1 con un 5 adosado y S, a falta de alguna forma más relevante, se
tome como semejante a 16. Si a los colores se les diera una convención
más relevante, aún se podría uno quedar con la convención propuesta de
las letras.
Volviendo sobre la operación de contar, para el ejemplo:
⇒1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 12
13 14 15 16
Tendríamos:
→ 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → X →
11
→
12 →
13
→
14 →
15
→
16
Cuyo significado viene a ser este:
1 0 2, 1 2 0 3, 1 2 3 0 4, 1 2 3 4 0 5, 1 2 3 4 5 0 6, 1 2 3
4 5 6 0 7, 1 2 3 4 5 6 7 0 8, 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9, 1 2 3 4 5 6 7 8 0
9, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 X, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0
11,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 0
12,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 12
0
13, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11
12
13 0 14, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 12
13 14
0
15, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
11
12
13 14
15 0
16,
1
2 3 4 5 6 7 8 9 X
11 12 13 14 15
16
Con 0 marco la introducción de cada cuenta, cálculo o cifra.
Nótese que las cifras en un sistema de una operación carecen
de valor simbólico, solo lo tienen icónico, como cuentas o cálculos,
así aún existiendo un simbolismo ordinal, es lo icónico lo único
pertinente para la cuenta y
en este sentido las siguientes
expresiones son equivalentes:
→ 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → X →
11
→
12 →
13
→
14 →
15
→
16;
→
11 →
12 → 1
→ 2 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → X → 3 → 4
→
13 →
14
→
15 →
16;
→
11 → 2 → 5 → 6 → 7 →
16
→ 8 → 9 → 4 →
13
→
12 → 1 →
14 →
15→
X → 3;
...
Podemos abstraer las cifras dejando solo los símbolos de las sucesivas
subitaciones:
→I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I →I
Y, ahora, si tenemos dos cuentas, las podemos ligar, por ejemplo:
⇒III ⇒IIIII = ⇒IIIIIIII
→I →I →I y →I →I →I →I →I = →I →I →I →I →I →I →I →I
que quizás es el fundamendo de la operación de la suma.
Sistema de numeración de 2 operaciones sn2
noción: número, cifra, base
La base es una cifra cuyo objeto representado -o significado- es
un valor numérico y no, solamente, un objeto a contar; esto es una
segunda anidación de nociones. En la primera
anidación un objeto pasaba a representar a otro objeto por su número,
en la segunda anidación un objeto pasa a representar por su número a un
objeto que representa a otro objeto por su número. Pues, la cifra no es
necesariamente un símbolo de un número sino solo de un objeto numerado,
claro está que, sin embargo, en este sistema
sn3, los números
pueden a su vez ser numerados; y entonces darse el caso de cifras que
están por números porque estos sean el objeto numerado, estas cifras se
denominan bases
de una numeración. Adicionalmente, las bases quizás evolucionan de los
símbolos que representan las primitivas magnitudes escalares, adoptando
como significado los menores valores numéricos en la escala.
nueva operación natural: suma natural,
bificar, operación dos,
o2,
"2"(), २(), २·,
o2, +
bificar, o sumar, es una operación natural la de anidar cuentas.
Por ejemplo, IIII sumado por III, +IIII+III, implica seguir contando
por III después de contar IIII, así: ⇒IIII→I→I→I o implica contar IIII
junto con III, así: ⇒IIIIIII. El contando (p.e: III) es el número
de veces que hay que contar con el contante (p.e.: IIII) para terminar
la cuenta (p.e.: IIIIIII). Por consiguiente, en una suma natural está
implícita la operación de contar. Otro ejemplo, bificar III por IIII,
implica ⇒III→I→I→I→I. Naturalmente
estos dos ejemplos son diferentes; (si se tratara de una operación
no-ordenada serían el mismo ejemplo).
En general una expresión como:
...kkk...rrr...mmm...IIII... =
x
implica las operaciones contar → y sumar +:
...+k+k+k...+r+r+r...+m+m+m...⇒(I, I, I, I...) =
x
yendo implícitas las siguientes relaciones:
I=1, IIII...<m, mmm...IIII...<r, rrr...mmm...IIII...<k
Expresado en términos de bases genéricas:
... ... B
3B
3B
3B
3
... B
2B
2B
2B
2B
2
... B
1B
1B
1... B
0B
0B
0B
0B
0
=
x
que implica las operaciones contar ⇒ y sumar +:
... + ... + (B
3, B
3, B
3, B
3
...) + (B
2, B
2, B
2, B
2, B
2
...) + (B
1, B
1, B
1,...) ⇒(B
0
B
0 B
0 B
0 B
0...)
=
x
yendo implícitas las siguientes relaciones:
B
0=I
B
0 < B
1 < B
2 < B
3<
...
⇒(B
0, B
0, B
0 ...) =
x1 < B
1
+(B
1, B
1, B
1 ...) ⇒(B
0, B
0,
B
0 ...) =
x2 < B
2
+(B
2, B
2, B
2 ...) +(B
1, B
1,
B
1 ...) ⇒(B
0, B
0, B
0, ...)
=
x3 < B
3
etcetera
ejemplo: CCCCXXXXVIIII
implica la suma +(C, C, C, C, X, X, X, X, X, V, I, I, I, I)
Comentario: en diferentes versiones de este sistema de dos operaciones,
sn2, el número de bases puede variar,
así como los valores
numéricos de tales bases. Asimismo, en estos sistemas,
sn2, las
bases se presentan explícitamente en las expresiones de valores
numéricos, las
bases son valores numéricos parciales de un valor numérico total
representado globalmente por una
expresión, que los valores de las bases son parciales se desprende de
su
posición contigua a otras bases o a repeticiones de la misma base. El
número
de bases y repeticiones de bases en la expresión de un valor numérico
tienen la
siguiente pauta: minimizar la expresión del valor máximo; la expresión
mínima será la del menor conjunto de cifras, y el valor máximo será el
valor numérico exacto. De acuerdo a
esta pauta si al ir a expresar un número total, una suma de bases
equivale
al número de una base (mayor) se usa la base mayor como parte de la
representación de tal número total (y no las bases menores).
George Ifrah en su gran manual sobre la "Historia de las cifras"
denomina
sistemas aditivos a estos que denomino
sistemas
numéricos de dos operaciones,
sn2.
Los números parciales que son representados por sucesivas bases puestas
en sentido creciente para un sistema de dos operaciones crecen bien con
algunos saltos, bien regularmente. Por ejemplo, algunas versiones de
sn2 de crecimiento de la sucesión de
bases con algunos saltos:
versión de sn2 con saltos
al modo sumerio
B
0 = I , B
1 = X , B
2 =
60 , B
3 =
600, B
5
=
3600
Ejemplo:
600 >600
60
60 XXXXII
Implica: +(
600,
600,
60,
60, X, X, X, X)⇒(I, I)
versión de sn2 con saltos
al modo griego y romano
B
0 = I , B
1 = V , B
2 = X ,
B
3 = L, B
4 = C, B
5 = D, B
5
= M
Ejemplo: MCCCLXII
Implica: +(M, C, C, C, L, X)⇒(I, I)
Las bases de estas numeraciones (I, X,
60,
600,
3600)
y (I, V, X,
L, C, D, M) crecen respectivamente así:
I; X suma de diez Is;
60 suma de
seis Xs;
600 suma de diez
60s;
3600 suma de seis
600s.
I; V suma de cinco Is; X suma de dos Vs; L suma de cinco Xs; C suma de
dos Ls; D suma de cinco Cs; M suma de dos Ls.
Entendido de este modo, la operación de
multiplicación no se haya presente en el sistema, ni implícita ni
implicada, son las bases son lo que se haya presente, y basta la suma
para
explicar la pauta de crecimiento según dos razones que entran
alternativamente. El criterio de elección de las bases
quizás está más bien en función de las pautas pragmáticas dadas más
arriba
que reproduzco aquí:
B0=1
B0 < B1 < B2 < B3<
...
⇒(B0, B0, B0 ...) = x1
< B1
... +(B1, B1, B1 ...) ⇒(B0,
B0, B0 ...)= x2 < B2
... +(B2, B2, B2, ...) +(B1,
B1, B1 ...) ⇒(B0, B0, B0
...) = x3
< B3
etcetera
|
La evolución hacia estos sistemas
sn2
con saltos en la sucesión
de bases quizás es el resultado de crear sistemas de dos operaciones,
sn2,
con un sistema de bases que permita minimizar al máximo
el tamaño de la expresiones en función de tales dos operaciones,
implícita la de contar e implicada la de sumar; pero resulta ser una
vía muerta a una evolución a sistemas más eficientes en la expresión de
valores numéricos mayores. Si, en lugar de
con
saltos, las bases puestas en sucesión crecieran regularmente, tenemos
por ejemplo,
algunas versiones de
sn2 así:
B
0 = I , B
1=
60 , B
2
=
360 , B
3 =
21600
Ejemplo:
360 360 360 60
60 60 60 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Implica: +(
360,
360,
360,
60,
60,
60,
60)⇒(I,
I, I,
I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I,
I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I)
B
0 = I , B
1 = X , B
2 = C ,
B
3 = M,
Ejemplo: MCCCXXXXXXII
Implica +(M, C, C, C, X, X, X, X, X, X)⇒(I, I)
Las bases (I,
60,
360,
21600)
y (I, X, C,
M) crecen respectivamente así:
I;
60 suma de sesenta, Is;
360 suma de sesenta,
60s;
21600 suma de sesenta,
360s.
I; X suma de diez, Is; C suma de diez, Xs; M suma de diez, Cs.
Los sistemas numéricos de dos operaciones,
sn2, con bases de
valores en sucesión creciente regular de una sola razón, como estos,
son menos
eficientes, para los valores numéricos que resulta práctico expresar
con un
sn2,
que los
sn2 con bases de dos razones
porque la expresiones crecen
más desmesuradamente en tamaño en los de una razón.
Hay un par de líneas evolutivas avanzadas a partir de estos
sn2
una consiste en reducir los saltos a uno solo, el suficiente para
cambiar a diferente ritmo de crecimiento de las bases, esto es, por
ejemplo,
un sucesición de bases que crece a ritmo de sumas de 1 en 1, -o
cuentas-, seguida de una sucesión de bases que crece a ritmo de sumas
de 10, por
ejemplo, así:
B
0 = 1 , B
1 = 2 , B
2 = 3 ,
B
3 = 4, B
4 = 5 , B
5 = 6 , B
6
= 7 , B
7 = 8, B
8 = 9 , B
9 =
X , B
10 = C , B
11 = M
Ejemplo: MCCCXXXXXX2
Implica: +(M, C, C, C, X, X, X, X, X, X, 2)
Que es una versión de
sn2 con un
salto, uno solo, en la
sucesión de bases, y por esto es intermedia entre las versiones con
saltos y las regulares.
La otra línea en que el
sn2 de bases
regulares evoluciona hacia
otro sistema algo más eficiente es si se añade
la noción de
posición asociada a una implicación, la de la inversión de la suma;
y
si a sumar lo denominaramos
bificar, a restar quizás lo
denominaríamos
desbificar por equivaler a deshacer algo hecho. En estos
sistemas
desarrollados a partir de un
sn2,
la posición local
entre
las bases implica suma si una base menor que otra está en un lado, y
resta
si está en el otro lado. Por ejemplo, si una base menor que otra se
suma
si está a la derecha y se resta si está a la izquierda, tenemos
sistemas
como estos:
B
0 = I , B
1 =
60
, B
2 =
360 , B
3 =
21600
B
nB
n+1= B
n+1- B
n
B
n+1B
n= B
n+ B
n+1
Ejemplo:
360
360 360 60 60360 IIIIIIIIIIIIIIIIII
60
Implica: +(
360,
360,
360,
60,
-(
360,
60), -(
60, ⇒(I, I, I,
I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I)))
B
0 = I , B
1 = X , B
2 = C ,
B
3 = M,
B
nB
n+1= B
n+1- B
n
B
n+1B
n= B
n+ B
n+1
Ejemplo: MCCCXCII
Implica: +(M, C, C, C, -(C, X), I, I)
Dado que en estos últimos sistemas numéricos estoy considerando
implicada la operación inversa de la suma, y está implícita la
operación inversa de contar, estos sistemas numéricos no son de solo
dos operaciones, sino que hay cuatro operaciones sean implicadas, y, o
implícitas, pero es pertinente que estas nuevas operaciones,
descontar
y
desbificar, son inversas de las operaciones de los
sn2,
contar y
bificar. Se me ocurre denominarlos, por esta
razón, sistemas numéricos de dos operaciones y sus inversas,
abreviándolo así:
Sn2.-2
Comentario, el sistema de la
numeración romana es
un
sistema numérico con las operaciones de contar, sumar y sus inversas,
un sn2.-2, y tiene una
sucesión de bases creciendo a saltos.
B
0 = I , B
1 = V , B
2 = X ,
B
3 = L, B
4 = C , B
5 = D, B
6
= M, B
7 = V̅̅, B
8 = X̅ , B
9 = L̅ ,
B
10 = C̅ B
11 = D̅ B
12 = M̅ , B
13
= V̿̅ , B
14 = X̿ ̅, ...
B
nB
n+1= B
n+1- B
n
B
n+1B
n= B
n+ B
n+1
Ejemplo: MCDXII
Implica: +(M, -(D, C), X, I, I)
A partir de M se puede utilizar una raya sobre una cifra para expresar
miles, y dos rayas sobre una cifra para expresar millones, la raya o
las dos rayas se pueden trazar sobre conjuntos de cifras, por ejemplo:
V̅I̅II̅ para expresar ochomil, o V̿I̿II̿ para expresar ochomillones.
Este sistema, de tipo
sn2.-2, no ha
tenido un uso en el cálculo
numérico, pero se usó y se sigue usando como medio de representar
números,
distinguiéndolo pragmáticamente de la más avanzada de las numeraciones
indias por las formas de las cifras básicas usadas: I, V, X, L, C, D,
M, ... Hay las siguientes equivalencias numéricas con el sistema de la
numeración india: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000,
V̅̅
= 5000, X̅̅ =10000, L̅ =50000, C̅ =100000, D̅ = 500000, M̅ = 1000000,
V̿̅ = 5000000, X̿ = 10000000
Sistema de numeración de 3 operaciones sn3
nociones: cantidad, cifra, base, posición relativa o hibridación de
operaciones
La posición relativa es una relación localmente creciente de
valores entre una expresión local y una cifra base que implica la
multiplicación de la base por el valor de la expresión local,
por contraposición a una sucesión globalmente decreciente de los
valores
de tales bases multiplicandos que implica la suma de las operaciones
parciales; por
consiguiente,
la posición en un
sn3 es una
anidación de cifras de expresiones de valores
menores junto cada cifra de valor mayor, anidación que resulta
explícita
al observar un orden decreciente de cumbres de valores de unas bases
que es
contradicho localmente por otras bases, las anidadas. La posición
relativa conlleva una hibridación de valores locales y
valores globales o de las operaciones de multiplicar y sumar.
En los sistemas
sn1 y
sn2 la localización de las cifras
podía ser al azar, en tanto que con tal localización de las cifras no
se perdiera la contiguidad por la cual se las interpreta como una
sola expresión; más aún, en
sn1 y
sn2 aunque las cifras
se presentaran en un orden ya escalar, ya creciente, este no era
significativo
para el resultado de la cantidad representada. En el antes mencionado
sn2.-2, y ahora en el
sn3 hay un arreglo local de las
cifras
dentro de un arreglo global significativo para interpretar el valor
numérico
globalmente
representado.
nueva operación natural: multiplicación natural,
trificar,
operación tres,
o3,
"3"(), ३(), ३·,
o3, ×, *
trificar, o multiplicar es una operación natural la de anidar sumas. El
multiplicador es el número de veces que hay que sumar el
multiplicando. Por ejemplo, multiplicar por IIII por III, ×IIII ×III,
es sumar más IIII más IIII más IIII = IIIIIIIIIIII; otro ejemplo,
multiplicar por III por IIII, ×III ×IIII, es sumar más III más III más
III más III = IIIIIIIIIIII. Estos dos ejemplos son, naturalmente,
diferentes, porque, naturalmente, no se puede, a la vez, sumar más
IIII más IIII más IIII y sumar más III más III más
III más III, solo se puede hacer una de las dos operaciones cada vez;
(aunque algebraicamente no sean diferentes, porque el resultado es el
mismo valor numérico, de facto, algebraicamente multiplicar por IIII
por III es la misma operación que multiplicar por IIIIII por II).
Un sistema de tres operaciones podría en general consistir, por
ejemplo, en:
... III...
kIII...
rIII...
mIII... =
x
que quizá implica las operaciones contar ⇒, sumar + y multiplicar ×:
+(... ×(⇒(I, I,
I...),
k), ×(⇒(I, I,
I...),
r), ×(⇒(I, I, I...),
m))⇒(
I,
I, I...) = x
yendo implícitas las siguientes relaciones:
I=1, ...<k<r<m<I, III...<m,
III...m<r, III...r<k, ...
Las bases del sistema son I, m, r, k, ... a la izquierda de cada base
se representa un valor local, -en cursiva en el ejemplo-, que es el
multiplicador de cada base; solo en el caso de I no existe un posible
multiplicador ya que es la primera base, la de valor uno.
Expresado en términos de bases genéricas:
...
B0B0B0...B3B0B0B0
...B2B0B0B0...B1B0B
0B
0
...=
x
que implica las operaciones contar ⇒, sumar + y multiplicar ×:
...
+(..., ×(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B3),
×(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B2),
×(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B1))⇒(
B0,
B
0, B
0...)=
x
yendo implícitas las siguientes relaciones:
B
0 =1
B
0 < B
1 < B
2 < B
3<
...
(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B0)<
B1
(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B1)<
B2
(⇒(B
0, B
0, B
0...),
B2)<
B3
y así para las bases que siguieran.
El que la manera en que crece la sucesión de bases sea a saltos según
dos o más razones o multiplicadores, o regular según una sola razón o
multiplicador constante no es relevante para un sistema de tres
operaciones, sino, si
acaso, para su versiones. Una versión de
sn3
con bases
sucesivas creciendo según un multiplicador constante sería así:
I=1, m=R, r=R×R, k=R×R×R, ...
R = razón de crecimiento multiplicativo de la sucesión de bases
Si R=IIIIIIIIII tendríamos un sistema decimal, cuyas bases serían:
I=1, m=10, r=100, k=1000, ...
Alternativamente, se pueden construir sistemas híbridos con dos
razones, una aditiva y la otra multiplicativa, por ejemplo, una R=I
aditiva para los nueve primeros valores de las cifras base y una
R=IIIIIIIIII multiplicativa para los valores de las cifras base
superiores al mayor de los valores tomados como iniciales, esto es diez
en este ejemplo, sus bases serían:
uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, cien,
mil, ...
ejemplo la expresión: tresdiecesycuatromillones cientoycincodiecesmil
doscientos tres
Implica: sumar; la multiplicación de, la suma de la multiplicación de
tres por diez con cuatro, por
un millón; la multiplicación de la suma de cien con cinco por diez por
mil;
la multiplicación de dos por cien; y tres.
En la lengua española se usa un sistema compuesto, lo más parecido es
un sistema con una R=I aditiva para los nueve primeros valores de las
cifras base, que son: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho,
nueve; otra razón R=IIIIIIIIII aditiva para los valores de cifras bases
de diez hasta cien, que son: veinte, treinta, cuarenta, cincuenta,
sesenta, setenta, ochenta y noventa, una R=IIIIIIIIII multiplicativa
hasta mil, que corresponde a las bases: diez, cien, mil y millardo; y
una R=millón multiplicativa que corresponde a las bases: millón,
billón, trillón, etcétera. Asímismo, hay algunas bases que no prosiguen
en una pauta regular: once, doce, trece, catorce, quince y quinientos.
Las explicación quizá es que se trata de un sistema comprometido con
valores numéricos de uso frecuente en la vida diaria, con la evolución
histórica de la numeración simbólica (mediante las cifras simbólicas:
I, X, L, C, D, M, y asímismo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), y con la
especulación filósofica sobre los valores numéricos.
ejemplo la expresión: treintaycuatromillones cientocincuentamil
doscientos tres
Implica: sumar; la multiplicación de la suma de treinta con cuatro por
un millón, la multiplicación de la suma de cien con cincuenta por mil,
la multiplicación de dos por cien, y tres.
Por consiguiente, quizás el sistema usado en el lenguaje comúnmente
hablado para el hindi, el
chino, el español, el inglés, y muchos otros es un sistema de tres
operaciones con nueve bases menores equivalentes a las cifras
simbólicas euro-indias 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y una
sucesión
de bases mayores que sigue aproximadamente una razón de diez,
equivalente a las cifras simbólicas romanas X, C, M, ...
Nótese que el sistema común al hablar o escribir solo con
palabras es un
sn3,
pues si fueran escritos con cifras simbólicas debería haber
cifras base para
cada base mayor, pues cada base mayor recibe un nombre propio. Como
para un
sn3
no se
precisa de 0 para escribir los números en la numeración hablada de este
tipo,
sn3,
tampoco se nombra el cero. Adviértase, por tanto, que
cuando se lee una expresión numérica simbólica en español, inglés,
francés y
otros idiomas, no se lee literalmente la expresión sino una
interpretación de la expresión. Así, resulta que el sistema oral usado
comunmente no es el mismo que el sistema común escrito con cifras, a
veces llamado sistema posicional, el cual implica cuatro operaciones
-no solo tres-, solo tiene cifras de una cclase, las cuales coinciden
con la nueve cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y precisa de 0 para
escribirse.
Pero, por ejemplo, el sistema numérico simbólico usado comúnmente en la
escritura en caracteres
chino-japoneses es de este tipo,
sn3, por ejemplo:
一, 二, 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九
ichi, ni, san, shi, go, roku, shichi, hachi, kyuu
十, 百, 千, 万, 億
jyuu, hyaku, sen, man, oku
三十百万百五十千二百三
sanjyuubyakuman hyakugojyuusen nibyakusan
"sanlluubiacuman jiakugolluusen nibiacu san" en lectura españolizada.
Equivalente en valor a "treinta y cuatro millones cientocincuenta mil
dos cientos tres", pero los valores parciales son diferentes. Se dan
las siguientes relaciones entre los valores de las cifras bases:
一 + 一 = 二, 二 + 一 = 三, 三 + 一 = 四, 四 + 一 = 五, 五 + 一 = 六, 六 + 一
= 七, 七+ 一 = 八, 八 + 一 = 九, 九 + 一 = 十
十 × 十 = 百, 百 × 十 = 千, 千 × 十 = 万, 万 ×百 = 億
"ichi" más "ichi" es "ni", "ni" más "ichi" es "san", "san" más "ichi"
es "shi", "shi" más "ichi" es "go", "go" más "ichi" es "roku", "roku"
más "ichi" es "shichi", "shichi" más "ichi" es "hachi", "hachi" más
"ichi" es "kyuu", "kyuu" más "ichi" es "jyuu"
"jyuu" por "jyuu" es "hyaku", "hyaku" por "jyuu" es "sen", "sen" por
"jyuu" es "man", "man" por "hyaku" es "oku". Esto es se dan la
siguientes equivalencias numéricas:
一,
ichi = uno
二, ni = dos
三, san = tres
四, shi = cuatro
五, go = cinco
六, roku = seis
七, shichi = siete
八, hachi = ocho
九, kyuu = nueve
十, jyuu = diez
百, hyaku = cien
千, sen = mil
万, man = diezmil
pero...
億, oku = un millón
Los nombres de las cifras dadas son del japonés
George Ifrah en su manual sobre la "Historia de las cifras" denomina
sistemas
híbridos a estos sistemas que implican este doble uso de las
cifras, uno como base y otro como expresión de un valor local.
Quizás la noción de sistema
híbrido no sea equivalente a la de
sistemas numéricos de tres operaciones,
sn3, ya que cabe
hacer sistemas similares a estos
híbridos con mayor número de
operaciones;(léase más adelante, por ejemplo, los sistemas numéricos de
cuatro
operaciones con doble grafia de las cifras o los sistemas numéricos de
más de cuatro operaciones que construyo por medio de hibridación de
numeraciones.
Sistema de numeración de 4 operaciones sn4
nociones: cantidad, cifra, base, posición relativa de cifras e
hibridación de
operaciones, base y operaciones implicadas por una posición
La razón o base implicada de una numeración en una numeración de cuatro
operaciones es un valor numérico no explicitado e implicado en la
posición de cada cifra sobre el que se opera
con el valor numérico de la cifra para obtener una sucesión de
valores parciales asociados
respectivamente a cada posición, sucesión de valores con que a su vez
se opera para obtener un valor global de la expresión.
Expresar una
base como implicada es pragmáticamente
relevante, o evolutivamente ventajoso, al ir a expresar valores
numéricos para los cuales usar numeraciones
sn2 o
sn3 supone
expresiones desmesuradas para la memoria, la articulación oral o el
espacio de la escritura, esto es, con una numeración
sn4 se minimiza
la
cantida de cifras de la
expresión sin perderse la
máxima efectividad o significación de un valor numérico relativamente
mayor que para un
sn2
o un
sn3;
pero, en valores numéricos relativamente pequeños, como los
siglos, los capítulos de un libro, las fechas, ... se siguen usando
numeraciones
sn2
y
sn3.
En las expresiones de los sistemas numéricos de dos y tres operaciones,
hay
operaciones implicadas por la posición global o la local,
pero no hay
valores numéricos implicados por la posición, en el
sistema numérico de
cuatro
operaciones un valor numérico, al que he denominado base
implicada, o, también, razón, se halla implicado
en cada posición de cifra. Ahora, ocurre que, al ser la razón un
número, que no se explicita con
cifras la nulidad del valor numérico correspondiente a una posición
pasaría desapercibida, y esto conllevaría perder un orden de posición y
la indeterminación de la posición, a no ser que se
explique de alguna manera la ausencia de una cifra con valor numérico
en la posición, para explicar esto se viene a emplear una cifra de
valor numérico nulo, 0, como marcador de posición. Pragmáticamente,
explicar con 0
la ausencia de alguno de los valores numéricos parciales, es más
económico
expresivamente que explicitar todas las bases más la potenciación;
pues,
la mayoría de las expresiones de valores numéricos entre 1000 y
10000000 usando 0 para
explicar una ausencia de razón son más cortas usando bases implicadas
que explicitando
la razón más la potenciación. Por ejemplo: 203 es más corto que
2(10^2)3 (dos por
diez elevado a dos mas tres); 315 es más corto que 3(10^2)(10)5;
2006 es más corto que 2(10^3)6, no obstante, 2000000 es tan
largo como 2(10^6), pero cualquier expresión sin ceros resulta mucho
más larga si no se usa la numeración con base implicada.
nueva operación natural: potenciación natural,
tetraficar,
operación cuatro,
o4,
"4"(), ४(), ४·,
o4, ^, ...
Esta operación natural implica una anidación de un número multiplicado.
Por ejemplo, tetraficar, o potenciar, IIIII por III es multiplicar
IIIII por IIIII por IIIII. Otro ejemplo, tetraficar III por IIIII, es
multiplicar III por III por III por III por III. Naturalmente estos dos
ejemplos
son diferentes; (si se tratara de una operación no-ordenada ¿serían el
mismo ejemplo?).
En general un
sn4 tiene
expresiones numéricas como esta:
...mtkrmxx
que implica las operaciones sumar +, multiplicar × y
potenciar ^, unas bases explícitas, por ejemplo: x, m, r, k, t, ... y
una base
implicada R:
+(...×(m, ^(R, ...)+×(k, ^(R, t), ×(r, ^(R, k), ×(m, ^(R, r), ×(x,
(^(R, m)), ×(x, ^(R, x))
yendo implícitas las relaciones:
x = valor nulo; m = I; r = +(m, I); k = +(r, I); t = +(k, I); ...
R>m, R>r, R>k, R>t, ...
Expresado en términos de bases genéricas la expresión numérica de
arriba se
parece a esto:
...B
1B
4B
3B
2B
1B
0B
0
que implica las operaciones sumar +, multiplicar ×, y
potenciar ^, las bases explícitas, B
0, B
1 , B
2
, B
3
, B
4, ..., ∞ y la razón, o base implícita, B
i:
+(...×(B
1, ^(B
i, ...)+×(B
3, ^(B
i,
B
4), ×(B
2, ^(B
i, B
3), ×(B
1,
^(B
i, B
2), ×(B
0, (^(B
i, B
1)),
×(B
0, ^(B
i, B
0))
yendo implícitas las relaciones:
B
0 = valor nulo; B
1 = I; B
2 = +(B
1,
I); B
3 = +(B
2, I); B
4 = +(B
3,
I); ...
B
i>B
1, B
i>B
2, B
i>B
3,
B
i>B
2, ...
si, por ejemplo, R=IIIIIIIIII, y las bases son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, entonces una expresión es, por ejemplo: 150203
Implica: +(×(1, ^(10, 5), ×(5, ^(10, 4)), ×(0, ^(10, 3)), ×(2, ^(10,
2)), ×(0, ^(10, 1)), ×(3, ^(10, 0)))
Que es una suma de productos de sucesivas potencias de R por sucesivas
cifras correlativas a las potencias.
Este sistema de numeración de cuatro operaciones, se suele abandonar al
tratar de numeros que se expresarían con numerosos ceros y unos pocos
valores en torno a alguna potencia de diez, en favor de expresiones
en términos de potencias de diez. Por ejemplo, en lugar de escribir:
13000000 0000000002 0000000000
Se escribiría, como sigue, por ser, la que sigue, una expresión más
breve:
13×10^26+2×10^10
Sin embargo, quizás esta expresión no es pertinente como expresión
genérica de un número, ya que más bien es un conjunto de operaciones
lo representado. Pero, el deseo de reducir la expresión implica que a
intentar expresar valor numéricos superiores quizá a un millón, resulta
gradualmente más y más impertinente la versión de
sn4 presentada
arriba y, por tanto, cabe
quizás intentar desarrollar versiones que sean más pertinentes
para la expresión de numeros mayores.
Si adoptamos una convención para expresar un número
de ceros,
como la de los
números vacíos en que una expresión numérica
tachada representa su valor en ceros, entonces toda tira de ceros
podría ser
expresada en expresiones tachadas, por ejemplo:
13000000 0000000002 0000000000
se expresaría:
13
152
10
otros ejemplos:
1
10 = 1 0000000000 = 10^10
1
20 = 1
0000000000 0000000000 = 10^20
1
30 = 1 0000000000 0000000000 0000000000 =
10^30
1
7545
723
10 = 1
0000000545 0000000023 0000000000 = 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1
4545
623
15 = 1
0000545000 0002300000 0000000000 = 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243
394522
3860220
= 1 2430009452
2000860220
Un comentario a esta simplificación, esta versión es un sistema híbrido
en que se reduce el tamaño de la expresiones usando dos sistemas de
expresión diferenciados tipográficamente, la nuevas expresiones
significan cantidades numéricas de ceros, pero la interpretación de las
expresiones requiere contar y sumar para averiguar la posición de las
cifras. Expresado de otra manera, esta manera de empequeñecer las
expresiones atiende a su forma explícita y si se compara con la versión
de la que
partimos resulta un tanto
impertinente por el esfuerzo superfluo que se requiere para
interpretarla en relación a su
significado. Esto es, por ejemplo, quizás es mucho más complicado
entender:
1
4545
623
15
que entender:
1 0000545000 0002300000 0000000000
Es quizás tan complicado como para no merecer la pena tal sistema.
Se sigue, por esto, otra alternativa, quizás sea más conveniente
diseñar un sistema simbólico con una nueva noción, la de glifo que
puede ser un diacrítico o una cifra de un glifo diferente. No es una
cosa históricamente nueva, pues ya se han empleado diacríticos como
medios mnemotécnicos en las expresiones de números con muchos ceros,
por ejemplo, así:
1.000.000.000.000
o así:
1.00.00.00.00.00.00
o, incluso, así:
1.0000.0000.0000
Cabe decir que estos diacríticos que marcan grupos de ceros,
resultan redundantes si se les añade el significado de marcadores de
posición con el uso de los ceros que son los marcadores de posición en
ausencia de otra cifra; un modo de evitar esta redundancia es no usar
diacríticos
sino solo espacios:
1 000 000 000 000
Esta expresión resulta asímismo menos ambigüa porque el punto se
emplea, también, como marcador de la posición de los decimales (en
inglés, por ejemplo). Pero, otra alternativa y quizás una novedad sería
tomar una de estas
notaciones con diacríticos y prescindir de los ceros como redundantes;
por
ejemplo: si se acepta el estilo de subíndice como notación:
1.000.000.000.000 pasaría a expresarse así: 1.0.0.0.0
Los grupos de ceros que están meramente marcando posiciones vacías
pueden omitirse si hay ya otro marcador de posición. Cabe mencionar
que en la numeración india se tiende a separar grupos de dos ceros y
en la china se tiende a separar grupos de cuatro ceros:
india: 1 00 00 00 00 00 00 00
china: 1 0000 0000 0000 0000
Sin embargo, en estos ejemplos los grupos de tres ceros, 000, de seis,
000000, de dos ceros 00 o de cuatro ceros 0000 no resultan
significativos en relación con la razón, R, del sistema decimal que es
diez, lo pertinente en relación al sistema sería separar grupos de diez
cifras, o diez ceros si se trata de ceros. Quizás sería interesante
proponer numeraciones trinarias, ternarias o pentarias, o quizá
septenarias, (o con nombres como: trigesimales, tetragesimales,
pentagesimales y septagesimales) para el uso humano, aprobechando que
quizá estas se acomodan mejor a la percepción. Pero de momento,
prefiero considerar un sistema decimal en que
los diacríticos, o las separaciones mnemotécnicas, marquen posiciones
relacionables con la razón del
sistema, por ejemplo:
1.0000000000.0000000000.0000000000
12 0000000001 0000000000
Quizás si adoptamos una convención para hacer
explícitas
las posiciones en que van implicadas R sucesivas
potencias de R, (por ejemplo, diez sucesivas potencias de diez si
R=IIIIIIIIII), que en los ejemplos de la versión original de
sn4
he destacado con espacios vacíos dentro de la expresión, y en lugar de
espacios usamos el
marcado con un diacrítico del lugar correspondiente a la siguiente de R
potencias sucesivas de R, (en el ejemplo, la siguiente de diez
potencias sucesivas de diez entonces), los ceros se vuelven
irrelevantes como marcadores de posición y los omitiríamos. Por
ejemplo, si para la expresión:
13000000 0000000002 0000000000
la posición de la primera décima potencia de diez, y de la segunda
décima potencia de diez se explica con un diacrítico, por ejemplo, con
un punto, se escribiría:
13000000·0000000002·000000000
13000000·
0000000002·
0000000000
13000000·2·0
Dado que con los puntos, · , ya queda significado de qué posición se
trata la siguiente y por consiguiente a qué potencia de diez
corresponde, entonces, sobran los ceros marcadores de posición, que he
tachado, pues su función significativa duplica la del punto. Así, por
ejemplo, se usarían las siguientes expresiones de potencias sucesivas
de diez:
1·0 = 1 0000000000 = 10^10
1·0·0 = 1 0000000000 0000000000 = 10^20
1·0·0·0 = 1 0000000000 0000000000 0000000000 = 10^30 =
1·545·23·0 = 1 0000000545 0000000023 0000000000 = 10^30 + 545×10^20 +
23×10^10
1·545000·2300000·0 = 1 0000545000 0002300000 0000000000 = 10^30 +
545×10^23 + 23×10^15
De esta manera las expresiones de números con valores alrededor de las
sucesivas Rsimas potencias de R, (en el ejemplo, R es diez), resultan
más relevantes que las expresiones mediante los sistemas de expresiones
con ceros y de expresiones con operaciones, si bien, las expresiones
de números con valores en todas las potencias de R, (en el ejemplo R es
diez), siguen resultando igual de extensas que las expresiones con
ceros
porque su extensión depende de tal detalle, o precisión, por ejemplo:
1·2430009452·2000860220 = 1 2430009452 2000860220
Pero, en este caso la relevancia de la expresión con puntos diacríticos
no es mucho menor, así que en conjunto el uso de puntos diacríticos
para
explicitar Rsimas potencias de R es más relevante que el solo uso de
ceros y que las expresiones mediante potencias de R explícitas. Nota:
he empleado como diacrítico el punto alto, ·, porque el apóstrofe, ',
la coma, , , y
el punto bajo, . , se usan para marcar ya la posición de los decimales,
(por
ejemplo, 3'1426 ó 3,1426 ó 3.1416), ya los grupos de 3 ceros (por
ejemplo,
1,000,000 ó 1.000.000). Nótese que la convención de marcar las
posiciones
Rsimas, se parece algo a regularizar para la
razón la costumbre
de
marcar con un punto o una coma cada tres, dos o cuatro, posiciones.
Un comentario a esta simplificación, de marcar posiciones Rsimas con un
punto, es que reduce el tamaño de la expresiones, aunque menos que el
sistema anterior de expresar cantidades de ceros con expresiones de
cifras tachadas, pero con ella resulta más sencillo calcular las
posiciones
de las cifras y quizás por esto sea pertinente para expresar valores
numéricos mayores que la versión inicial de
sn4 que he
tratado.
Otro paso en el desarrollo o la evolución de esta versión con marcas
diacríticas de sistema numérico de
cuatro operaciones, que quizás merezca la pena, sea si consideramos que
este sistema de diacríticos se desarrolla más, por ejemplo, con
la siguiente convención: una sucesión en número R del diacrítico se
marca con un duplete del diacrítico, una sucesión en número R del
duplete
diacrítico se marca con un triplete diacrítico, etcétera. Por ejemplo:
1000000000 = 1000000000 = 10^9
1·0 (= 1 0000000000) = 10^10 = 10''2
1·0·0 (= 1 0000000000 0000000000) = 10^20
1·0·0·0 (= 1 0000000000 0000000000 0000000000) = 10^30
...
1·0·0·0·0·0·0·0·0·0 = 1·0·0·0·0·0·0·0·0·0 = 10^90
1··0 (= 1 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0) = 10^100 = 10''3
1··0··0 (= 1 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 =) 10^200
...
1··0··0··0··0··0··0··0··0··0 = 10^900
1···0 (= 1 ··0··0··0··0··0··0··0··0··0··0) = 10^1000 = 10''4
etcétera
Con esta versión híbrida de
sn4 al
expresar un
número como 3×10^1000 + 34×10^703 + 52×10^305 + 4235×10^63 resultaría
una expresión así:
3···34000··0··0··0··5200000··0··0··4235000·0·0·0·0·0·0
Si, por ejemplo, llamaramos prima-puntado, seco-puntado, terce-puntado,
etcétera a cada numero por aumento de diez posiciones, y
prima-bi-puntado, seco-bi-puntado, terce-bi-puntado, etcétera a cada
número
por aumento de
100 posiciones, y prima-tri-puntado, seco-tri-puntado,
terce-tri-puntado,
etcétera a cada número por aumento de 1000 posiciones y etcétera,
etcétera. La expresión anterior se leería, por ejemplo:
3···34000··0··0··0··5200000··0··0··4235000·0·0·0·0·0·0
tres primatripuntados, treinta cuatro mil septibipuntados,
cincomillones doscientos mil tercebipuntados, cuatromillones doscientos
treintaicinco mil sextapuntados.
Otra opción para abreviar las expresiones largas con muchos ceros
podría ser indicar la posición numéricamente. Me parece fácil de
confundir las cifras subindizadas con las
cifras normales, por esto, por probar otras opciones usaré otros medios
de hacer glifos diferentes. En lugar de adoptar una expresión numérica
en subíndice consideraré en primer lugar una expresión numérica
subrayada, entonces se podrían omitir los ceros como marcadores de
posiciones vacías, por ejemplo:
13000000 0000000002 0000000000
se expresaría:
13
262
10
otros ejemplos:
1
10 = 1 0000000000 = 10^10
1
20 = 1 0000000000 0000000000 = 10^20
1
30 = 1 0000000000 0000000000 0000000000
= 10^30 =
1
30545
2023
10 = 1 0000000545 0000000023 0000000000
= 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1
30545
2323
15 = 1 0000545000 0002300000 0000000000
= 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243
1694522
9860220
= 1 2430009452 2000860220
En esta versión evolucionada de
sn4
en cierto sentido
recuperamos una versión del
sn3 al
hacer un doble uso del
sn4
inicial, un uso para expresar valores locales que entran multiplicando
y otro uso para expresar las bases que entran sumando.
Un comentario a esta simplificación, es que reduce el tamaño
de la expresiones, y el cálculo de las posiciones para la
interpretación de las expresiones viene dado por las expresiones de
cifras subrayadas. Sin embargo, la diferenciación de las cifras no
necesariamente precisa ser el subrayado, el cual quizás de lugar a
confusión con cierta probabilidad debida a no quedar precisa la
longitud de la raya, en este caso puede
usarse unas cifras diferentes, haciendo una diferención tipográfica de
las cifras
o haciendo una separación de las cifras mediante
corchetes
u otro tipo de paréntesis. Por ejemplo:
1 0000545000 0002300000 0000000000
que es una expresión numérica de un valor equivalente a:
10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
Se expresaría de alguna de estas maneras:
1XXX545XXIII23XV
１三十545二十三23十五
1३०545२३23१५
1
30545
2323
15
1
30545
2323
15
1··30·545··23·23··15
1[30]545[23]23[15]
En que la expresiones con cifras diferenciadas quizás expresan
posiciones de las potencias de R, si R es diez, IIIIIIIIII, en el caso
de los ejemplos, podríamos, por ejemplo, escribir, con cifras
diferenciadas mediante la grafía devanagari:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, ∞
१, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३, १४, ... = [
10^1], [
10^2],
[
10^3], ...
1१० = 1[
10^10] = 1 0000000000 = 10^10
1११ = 1[
10^11] = 10 0000000000 = 10^11
1२० = 1[
10^20] = 1 0000000000 0000000000 = 10^20
1३० = 1[
10^30] = 1 0000000000 0000000000 0000000000 =
10^30
1३०545२०23१० = 1[
10^30]545[
10^20]23[
10^10] = 10^30
+ 545×10^20 + 23×10^10
1३०545२३23१५ = 1[
10^30]545[
10^23]23[
10^14] = 10^30
+ 545×10^23 + 23×10^15
1243१६94522९860220 = 1243[
10^16]94522[
10^9]860220 =1
2430009452 2000860220
La primera expresión de cada igualdad es la expresión en esta versión
de sistema numérico de cuatro operaciones que quizás se pueda
considerar como un
sistema numérico de cuatro
operaciones híbrido. Una primera cuestión a este respecto
es que las cifras devanari tienen ya un uso para un sistema de
numeración
sn4. Otras cuestiones
son, aprenderse las cifras
devanari para este sistema, que no creo que suponga un gran esfuerzo
comparado con las ventajas que conllevan su utilización. Un obstáculo
mayor que su aprendizaje, podría ser la disponibilidad del juego de
letras; sin embargo, no hay tal obstáculo al escribir a mano, solo el
requerimiento de trazar las cifras con precisión suficiente.
Adicionalmente se podría añadir algún trazo para diferenciar más
aquellas cifras que pudieran dar lugar a confusión, como quizás podría
ser el poner un punto dentro
de un cero de un tipo y no en el del otro tipo (si es que la diferencia
de tamaño no es suficientemente relevante para diferenciarlos).
Algunos sistemas de cifras de interés para esta función quizás sean los
de otros idiomas diferentes, por ejemplo:
Del Oriya: ୦, ୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬, ୭, ୮, ୯, ∞
Del Telugu: ౦, ౧, ౨, ౩, ౪, ౫, ౬, ౭, ౮, ౯, ∞
Otro ejemplo de diferenciación de los glifos es con cifras
diferenciadas por el color:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10, 11, 12, 13, 14, ... , ∞
1,
2,
3,
4,
5,
6<,
7,
8,
9,
10,
11,
12,
13,
14,
... = [
10^1], [
10^2], [
10^3], ...
1
10 = 1[
10^10] = 1
0000000000
1
11 = 10 0000000000 = 10^11
1
20 = 1 0000000000 0000000000 =
10^20
1
30 = 1 0000000000 0000000000
0000000000 = 10^30
1
30545
2023
10 = 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1
30545
2323
15 = 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243
1694522
9860220
= 1 2430009452 2000860220
El uso de un color diferente es expresivamente eficaz, pero quizás sea
un obstáculo mayor con respecto a las otras alternativa tanto la
disponibilidad tipográfica del color como por la necesidad de cambiar
de instrumento de escritura cuando se trazan a mano las cifras.
Otro ejemplo, con cifras diferenciadas mediante formas y numeración
romana:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10, 11, 12, 13, 14, ...
I, V, X, L, C, D, M, ...
1X = 1[
10^10] = 10^10
1XI = 10^11
1XX = 10^20
1XXX = 10^30 =
1XXX545XX23X = 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1XXX545XXIII23XV = 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243XVI94522IX860220 = 1 2430009452 2000860220
En el caso de usar la numeración romana, cabe considerar como obstáculo
la poca eficacia representativa de este sistema numérico llegados a
cierto tamaño de los números y su poca eficacia para el cálculo
escrito. No obstante, cabe un sistema de numeración que derivara de las
cifras romanas,
por ejemplo, al decimal, reinventando las cifras romanas, así:
i,
n,
m,
w,
v,
y,
t,
z,
k, con
x para el cero; usadas para expresarse en un
sn4:
i,
n,
m,
w,
v,
y,
t,
z,
k,
ix,
ii,
in,
im,
iw,
iv,
iy,
it,
iz,
ik,
nx,
... .
La idea es
i por I,
n por II,
m por III,
w
por IV,
v por V,
y por VI,
t por VII,
z
por
VIII,
k por IX,
x por cero.
Otro ejemplo, con cifras diferenciadas con formas y numeración chinas:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11, 12, 13, 14, ...
一, 二 , 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九
十, 百, 千, 万, 億,
1十 = 1[
10^10] = 10^10
1十一 = 10^11
1二十 = 10^20
1三十 = 10^30 =
1三十545二十23十 = 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1三十545二十三23十五 = 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243十六94522九860220 = 1 2430009452 2000860220
En el caso de usar la numeración china, quizás sea un obstáculo la
disponibilidad tipográfica, otro probable obstáculo es, asímismo, la
menor eficacia expresiva de este sistema numérico chino que es un
sn3,
comparado con el sistema indio simple que es el
sn4 inicial, y,
asimismo, un
sn3 tiene menor eficacia para el cálculo escrito.
No obstante, cabe un sistema de numeración de cuatro operaciones con
las
cifras 一, 二 , 三, 四, 五, 六, 七, 八, 九, y un ○. Se podría escribir en un
sn4:
一, 二, 三, 四, 五, 六, 七, 八，九, 一○, 一一, 一二, 一三, 一四, 一五, 一六, 一七, ...
Cada una de las expresiones en cifras marcadas se puede entender como
la explicitación de una posición que implica cierta potencia de
R... pero, cabe divagar considerando que, si en lugar de expresar
posiciones, se expresaran potencias de R parece que se daría una
confusión, pues
cabría quizás expresar, por ejemplo:
1 = 10^1 = 10
10 = 10^10 = 1 0000000000
y, entonces, quizás resulta la ambigüedad:
11 = 10 0000000000; ó
11
= 1 0000000010
101 =
10^101; ó
101
=10^100 + 10
Esta ambigüedad se puede reducir si en lugar de hacer la diferenciación
mediante un cambio de cifras o uno tipográfico, se hace mediante una
separación:
[1] = 10
[10] = 1 0000000000
[11] = 10 0000000000
[10][1] = 1 0000000010
[101] = 10^101
[100][1] = 10^100 + 10
Pero, esta separación puede asignarse como significado adicional de las
cifras consideradas hasta ahora como no diferenciadas, o cifras "no
marcadas" (con el sentido que tiene +marcado y -marcado en lingüística
generativa), de las expresiones en los sistemas con diferenciación de
cifras. Quizás, así:
1१ = 10
1१० = 1 0000000000
1११ = 10 0000000000
1१०1१ = 1 0000000010
1१०१ = 10^101
1१००1१= 10^100 + 10
1
1 = 10
1
10 = 1 0000000000
1
11 = 10 0000000000
1
101
1
= 1 0000000010
1
101
= 10^101
1
1001
1 =
10^100 + 10
Que es el sistema antes descrito, pero restando importancia a dar una
interpretación específica acerca de qué es lo que representa una y otra
clase de cifras, pues quizás unas representen a la vez un valor
numérico y
separaciones entre valores numéricos de potencias de
R representadas por sus exponentes, o quizás unas representen valores
numéricos
y las otras posiciones de potencias de R.
Para el uso de estas versiones con dos equipos de cifras de diferentes
glifos quizás, como escribo en los comentarios anteriores, sea un
obstáculo la disponibilidad tipográfica, y, o, el uso cultural de los
glifos;
una alternativa a estas versiones que sería inobjetable en tales
sentidos
es el usar un solo equipo de cifras para ambas funciones y marcar las
diferentes funciones, por ejemplo, con glifos diacríticos, así:
Con dos puntos, ··, delante de apertura y un punto, ·, de cierre detrás:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
··1·, ··2·, ··3·, ... = [
10^1], [
10^2], [
10^3],
...
1··10 = 1[
10^10] = 1 0000000000 = 10^10
1··11 = 1[
10^11] = 10 0000000000 = 10^11
1··20 = 1[
10^20] = 1 0000000000 0000000000 = 10^20
1··30 = 1[
10^30] = 1 0000000000 0000000000 0000000000
= 10^30
1··30·545··20·23··10 = 1[
10^30]545[
10^20]23[
10^10]
= 10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1··30·545··23·23··14 = 1[
10^30]545[
10^23]23[
10^14]
= 10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243··16·94522··9·860220 = 1243[
10^16]94522[
10^9]860220
=1 2430009452 2000860220
O, con algún tipo de paréntesis, por ejemplo, corchetes, ya que tienen
un glifo de apertura y otro de cierre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
[1], [2], [3], ... = [
10^1], [
10^2], [
10^3], ...
1[10] = 1[
10^10] = 1 0000000000 = 10^10
1[11] = 1[
10^11] = 10 0000000000 = 10^11
1[20] = 1[
10^20] = 1 0000000000 0000000000 = 10^20
1[30] = 1[
10^30] = 1 0000000000 0000000000 0000000000
= 10^30
1[30]545[20]23[10] = 1[
10^30]545[
10^20]23[
10^10] =
10^30 + 545×10^20 + 23×10^10
1[30]545[23]23[14] = 1[
10^30]545[
10^23]23[
10^14] =
10^30 + 545×10^23 + 23×10^15
1243[16]94522[9]860220 = 1243[
10^16]94522[
10^9]860220 =1
2430009452 2000860220
Un comentario general a todas estas versiones en que se usan
necesariamente dos tipos de glifos es que reducen el tamaño de la
expresiones,
y el cálculo de los valores parciales para la interpretación de las
expresiones viene dada por las expresiones con cifras diferenciadas o
función diferenciada. Quizás sean estas versiones de
sn4 híbrido
relevantes como una alternativa a la versión original de los ceros
marcadores de posición.
Tal y como lo estoy planteando, las expresiones de números con estas
versiones que implican dos equipos de glifos de las cifras base, se
desarrollan de dos maneras, por ejemplo, una la de las expresiones
globales con cifras de ambas formas, en que los ceros de una forma de
cifras son sustituidos por expresiones de posición en la otra forma
de cifras, y otra la de las expresiones de posición cuyos ceros no son
sustituidos por expresiones en otra forma de cifras. Así, por ejemplo:
1 0000000000
pasa a escribirse, por ejemplo, así:
1१०
1×10^10
pero para una expresión como:
1१०००००
1×10^100000
No hay otra expresión, esto se puede comparar con el sistema
de describir una expresión por la posición de las cifras en que
1×10^100000 lo expresaba, así:
1[1[6]]
"uno en uno en seis"
1×10^100000
Ahora, cabe quizás considerar que el sistema de numeración de cuatro
operaciones de razón 10, quizás tiene un
límite pertinente en
la décima potencia de diez, esto es en 1 0000000000. Pues, las cifras
básicas acaban ante la primera potencia de diez, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, donde se produce un cambio en el modo de expresión, si
consideramos
que en el crecimiento de las expresiones se de una recurrencia de este
cambio ocurrido en este inicio, u origen, tal recurrencia parece que
será pertinente en la expresión en que la razón, R, se potencia por un
número igual a la
razón, R. Esto es en un sistema decimal, R=IIIIIIIIII, de 1 a 999999999
se expresaría usando solo ceros como marcadores de posición, pero 1
0000000000 se expresaría ya de manera diferente que usando ceros
como marcadores
de posición, no obstante, la expresión debería pertenecer a un sistema
numérico de más de cuatro operaciones para que tenga este sentido
recurrente; el
uso de un punto para significar series de diez ceros adquiere en cierto
sentido una preparación para entender esta otra convención.
Los sistemas de numeración de cuatro operaciones de razón R,
tendrán un límite pertinente en la expresión de un número igual a R
por R, del mismo modo que lo hay en la expresión de R con respecto a
las bases explíctas, las Bs.
Así, por ejemplo, aún con numeraciones
sn4:
0, 1, ∞; R=10
०, १, ∞
१,१०,११,१००, ... = [10^1], [10^10], [10^11],...
1, 1१, 11, 1१०, 101, 111, 1११, 1001, 1010, 1011, 1100, ...
La cuestión en este sistema binario es si resulta pertinente
la disminución de la longitud de las expresiones en relación al
esfuerzo que hay que realizar para entenderlas. Por ejemplo:
1000 = 1×10^11
1११ = 1×[10^11]
La ventaja parece escasa.
Si R es el número que sucede a 2 en un sistema de dos cifras
base:
0, 1, 2, ∞; R = 10
1,
2,
3, ...,
10,...
= [10^1], [10^2], [10^10],...
1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 1
2,
101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 2
2,
201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222, 1
10,
1001, 1002, 1010, 1011, 1020, 1021, 1022, 11
2,
1101, 1102, 1110, 1112, 1120, 1122, 12
2,
1201, 1202, 1210, 1211, 1212, 1220, 1221, 1222, 1
11,
...
En lugar de 1
1 he escrito 10
considerando que es equivalente, me parece que no resulta pertinente
prescindir del cero porque como mínimo se requiriría para la
expresiones de los números diferenciados y algunas expresiones se
alargarían, por
ejemplo:
1, 2, 1
1, 11, 12, 2
1,
21, 22, 1
2,
1
21, 1
22,
11
1, 111, 112, 12
1,
121, 122, 2
2,
201, 202, 210, 211, 212, 22
1, 221,
222, 1
10, 1
101,
1
102, 1
101
1, 1
1011,
1
102
1,
1
1021, 1
1022,
11
2, 11
21,
11
22, 111
1,
1112, 112
1, 1122, 12
2,
12
21,
12
22, 121
1,
1211, 1212, 122
1, 1221, 1222, 1
11,
...
Estas expresiones: 1
101
1,
1
1011,
1
102
1,
1
1021, 1
1022
son más largas y complejas que: 1010, 1011, 1020, 1021, 1022, para
expresar el mismo valor, por lo cual las 1010, 1011, 1020, 1021, 1022
resultan quizás más pertinentes.
Otro sistema, por ejemplo, si R es el número que sucede a 3 en un
sistema de tres cifras base:
0, 1, 2, 3, ∞; R = 10
०, १, २, ३, ∞; R = १०; =[10^1], [10^2], [10^3], [10^10], ...
1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 1२,
101, 102, 103, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 130, 131, 132, 133, 2२,
201, 202, 203, 210, 211, 212, 213, 230, 231, 232, 233, 3२, 301, 302,
303, 310, 311, 312, 320, 321, 322, 330, 331, 332, 333, 1३, ...
Otro sistema, por ejemplo, si R es el número que sucede a 4 en un
sistema de cuatro cifras base:
0, 1, 2, 3, 4, ∞; R = 10
०, १, २, ३, ४, ∞; R = १०; =[10^1], [10^2], [10^3], [10^4], [10^10],..
1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34,
40, 41, 42, 43, 44, 1२,
Asimismo, en el caso del
sn4 con R
igual diez:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10, 11, 12, 13, 14, ... , ∞
१, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३, १४, ... (= [10^1], [10^2],
[10^3], ...)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 1२, 101, 102, ..., 1३, 1३1,
1३2, ...
1१० (= 1×10^10= 1 0000000000)
1१०००००००००० (= 1×10^1 0000000000)
En el siguiente apartado propongo otra alternativa para una numeración
de cinco operaciones teniendo en cuenta la
pertinencia de tal recurrencia del cambio de la expresión.
Sistema de numeración de 5 operaciones sn5
nociones: cantidad, cifra, base, posición relativa de cifras e
hibridación de
operaciones, base y operaciones implicadas por una posición, cifras
nomen-numerales e hibridación de
numeraciones
En el sistema de numeración de cinco operaciones se hace preciso
utilizar bien un signo diacrítico, bien unas cifras con una
grafía diferente, explicando en qué posición se
halla implicada la operación de nivel superior a la potenciación. Este
diacrítico o estas cifras que explican numeraciones las llamo glifos
operativos, o glifos nomen-numerales
sea un diacrítico, o una cifra de diferente grafía. Es un signo
explícito
que está para marcar la implicación de un valor y una operación
asociados
a una numeración.
nueva operación natural:
pentificar, operación cinco,
"5"(), ५(), ५·,
o5, '' .
Esta operación natural es la anidación de potencias naturales. Por
ejemplo, pentificar por IIIII por III es potenciar por IIIII por
IIIII por IIIII. Pentificar
m por
r es elevar un número
m a una potencia igual a él, un número
r de veces.
Pentificar IIIII por III no es potenciar III por III
por III por III por III; pues, esto, es pentificar III por IIIII.
La expresión de los números naturales uno por uno quizás no tenga mejor
solución que un sistema de cuatro operaciones, pues en el caso de
valores que supongan la existencia de valores distintos de cero en
todas las potencias de la razón no será posible una simplificación sin
error. Claro que es posible reducir la dificultad de operar con
una expresión compleja en cifras a costa de reducir la precisión
suprimiendo cifras y valores con el fin de simplificar la expresión y
que la expresión sea más breve; esto se hace en cierta
notación científica, por ejemplo, en las máquinas de cálculo en el caso
de que el cálculo
rebase la capacidad de la máquina:
3^3 = 27
3^3^3 = 19683
3^3^3^3 = 7.62559748499e+012 = 7.62559748499×10^12
La expresión 7.62559748499e+012 es, conteniendo un error, de un valor
numérico próximo al resultado de la operación
3^3^3^3; la expresión 7.62559748499e+012 es pertinente, solamente, por
su utilidad como término de una operación en que los medios de
computación son insuficientes.
Sin embargo, para los valores cuya expresión es simple porque supone la
repetición de
ceros es posible valerse de otros sistemas de expresión más breve sin
por ello perder precisión. En este sentido un sistema numérico de
más
de cuatro operaciones que tenga una razón (por ejemplo, diez
IIIIIIIIII) quizás sea relevante en orden a expresar valores mayores
asociados con tal base fundamental o razón del sistema por medio de
operaciones naturales de mayor orden,
o5,
o6,
o7,
o8, ... ya que estas operaciones implican repeticiones
más extensas de la razón, -porque cada operación natural de orden
superior
se puede descomponer en operaciones de orden inferior-, aunque no más
profundas, -porque las operaciones naturales se basan en el orden
pragmáticamente
más económico de operación y no en otro orden menos económico que se
pudiera establecer por convención. Un ejemplo, de operación no natural
es el tipo de potenciación implicada en la operación de la
tetración
propuesta por Rudy Rucker; en comparación con la tetraficación, la
potenciación implicada en la tetración lleva implicada la asociación de
los dos últimos términos y su resultado asociarlo con el término que
les precede manteniéndo el orden de operación natural dentro de cada
asociación; por ejemplo: (3)^((4)^((5)^2)) que no es ni la asociación
en orden natural de la tetraficación (((3)^4)^5)^2 ni la conmutación
completa y asociación natural 3^(4^(5^(2))). Prosiguiendo, las
operaciones
naturales
superiores a la potenciación quizás sean útiles para expresar con
brevedad valores
que se expresarían con un 1 seguido de numerosos ceros en el sistema
numérico de cuatro operaciones. Ahora, alguna condiciones aparentemente
requeridas para un sistema con tales operaciones son quizás: (a) que la
expresión
de valores numéricos pueda ser continua, uno a uno, de cero hacia
infinito,
(b)
que se puedan cubrir todas las potencias de diez sin dejar huecos y
(c) que se puedan integrar sin ambigüedad las expresiones parciales en
una expresión global.
La condición (a) se puede abordar considerando que la numeración sea
flexible elijiéndose las expresiones más breves -con menos cifras- y
más significativas -exactas, no-reducidas- por ser las relevantes en
una numeración de números naturales, sean estas expresadas en la
sub-numeración que sea; en este sentido la numeración tendría unas
constantes, que serían las expresiones en cifras base explicitadas, la
cifra base implicada, y un
sn4, siendo las
expresiones nomen-numerales de uso, eventual, cuando sean pertinentes.
Un versión de un sistema de cinco operaciones,
sn5, quizás podría ser de
expresiones numéricas como estas:
...ºººmxrººkxxtxmr
...
Otra versión de un sistema de cinco operaciones,
sn5, quizás podría ser de
expresiones numéricas como estas:
...mxr
sn5rxxx
sn4kxxtxmr
sn5mxx
...
otra versión de un sistema de cinco operaciones,
sn5, quizás podría ser de
expresiones numéricas como estas:
...mxrººrxxxºkxxtxmrººmxx
...
y otras versiones,quizá más interesantes que las dos anteriores, de un
sistema de cinco operaciones,
sn5,
podría ser de expresiones numéricas como estas:
...mxr५rxxx४kxxtxmr५mxx
...
...mxr[5]rxxx[4]kxxtxmr[5]mxx
...
En "
...mxr
sn5rxxx
sn4kxxtxmr
sn5mxx
..." he empleado
sn5 y
sn4 como glifos operativos, esto
es como
expresiones nomen-numerales
de las numeraciones
sn4 y
sn5 con que se
han de interpretar las
expresiones
numerales que marcan, en cualquiera de las versiones propuestas
las operaciones, implícitas o implicadas según el caso, son: contar
o1, ⇒;
sumar
o2,
+;
multiplicar,
o3,
×; potenciar,
o4,
^; pentificar,
o5,
''; y hay una base R implicada como sigue:
...+(×(^(''(R, k), r), +(×(m, ^(R, r)), r)), ×(''(R, r), +(×(k, ^(R,
p),
×(t, ^(R, k)), ^(R, r), r))
yendo implícitas las relaciones:
x=valor nulo; m=I; r=+(m, I); k=+(r, I); t=+(k, I); h=+(t, I); p=+(h,
I); ...
R
sn4m=R^x,
sn4mx=R^m,
sn4mxx=R^r, ...
sn4r=R^x×r,
...
sn4rm=R^m×r+m,
sn4rxm=R^r×r+m, ...
...
sn5m=R''x,
sn5mx=R''m,
sn5mxx=R''r,
...
sn5r=R''x^r,
sn5rx=R''m^r,
sn5rxx=R''r^r,
...
...
sn5rm=R''m^r×m,
sn5rxm=R''r^r×m,
...
...
sn4...
implica
o2
para lo que le precede -a la izquierda- y
o3 para lo que
le sigue -a la derecha.
sn5...
implica
o3
para lo que le precede -a la izquierda- y
o4 para lo que
le sigue -a la derecha.
Expresado en términos de bases genéricas las expresiones numéricas se
parecen a esto:
...B
1B
0B
2sn5B
2B
0B
0B
0sn4B
3B
0B
0B
4B
0B
1B
2sn5B
1B
0B
0...
que implica las operaciones contar,
o1, ⇒; sumar,
o2, +;
multiplicar,
o3,
×;
potenciar,
o4,
^; pentificar,
o5,
''; y la razón B
i del siguiente modo:
...+(×(^(''(B
i, B
3), B
2), +(×(B
1,
^(B
i, B
2)), B
2)), ×(''(B
i, B
2),
+(×(B
3, ^(B
i, B
6),
×(B
4, ^(B
i, B
3)), ^(B
i, B
2),
B
2))
yendo implícitas las relaciones:
B
0=valor nulo, B
1=I, B
2=+(B
1,
I), B
3=+(B
2, I), B
4=+(B
3,
I), ... B
j=+(B
j-1, I)
B
i = +(B
j, I)
sn4B
1=B
i^B
0,
sn4B
1B
0=B
i^B
1,
sn4B
1B
0B
0=B
i^B
2,
...
sn4B
2=B
i^B
0×B
2,
sn4B
2B
0=B
i^B
1×B
2,
sn4B
2B
0B
0=B
i^B
2×B
2,
...
...
sn4B
2B
1=B
i^B
1×B
2+B
1,
sn4B
2B
0B
1=B
i^B
2×B
2+B
1,
...
...
sn5B
1=B
i''B
0,
sn5B
1B
0=R''B
1,
sn5B
1B
0B
0=R''B
2,
...
sn5B
2=B
i''B
0^B
2,
sn5B
2B
0=B
i''B
1^B
2,
sn5B
2B
0B
0=B
i''B
2^B
2,
...
...
sn5B
2B
1=B
i''B
1^B
2×B
1,
sn5B
2B
0B
1=B
i''B
2^B
2×B
1,
...
sn4...
implica
o2
para lo que le precede -a la izquierda- y
o3 para lo que
le sigue -a la derecha.
sn5...
implica
o3
para lo que le precede -a la izquierda- y
o4 para lo que
le sigue -a la derecha.
...
A continuación, un ejemplo de expresión en un sistema
númerico de cinco
operaciones, en este caso para un sistema de nueve cifras base,
siguiendo la pauta
...mxrººrxxxºkxxtxmrººmxx
...
expuesta arriba, así, por ejemplo, con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, R=+(9, 1), ∞:
ejemplo: 21ºº320º15020ºº30
Implica:
Comentarios: se podría considerar un
sn5 en que un
diacrítico diferente marca la
posición de cada pentificación, por ejemplo, ºº, para 10''2; ººº para
10''3; ººº para 10''4; etcétera. Con la convención de que cada posición
es repetible tantas veces como sea requerido para cubrir los valores
hasta la siguiente pentificación. Por ejemplo:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10, 11, ..., 20, 30, 40, ... 90
100, 101, ... 111, ... 999
1000, 1001, ... 1010, ... 1111, ..., 2000, ... 9999
...
1000000000, ... 999999999
1ºº0 = 10''2 = 1 0000000000
(1ºº0º0 = 1ºº0)
1ºº1 = 10''2+1 = 1 0000000001
2ºº0 = 10''2×2 = 2 0000000000
1ºº10 = 10''2+10 = 1 0000000010
1ºº100 = 10''2+100 = 1 0000000100
10º0ºº0 = 10''2×10 = 10 0000000000
100º0ºº0 = 10''2×100 = 100 0000000000
1000º0ºº0 = 10''2×1000 = 1000 0000000000
...
1000000000º0ºº0 = 10''2×1000000000 = 1000000000 0000000000
...
1ºº0ºº0 = 10''2^2 = 1 0000000000 0000000000
1ºº1ºº0 = 10''2^2+10''2 = 1 0000000001 0000000000
1ºº10ºº0 = 10''2^2+10''2×10 = 1 0000000010 0000000000
1ºº100ºº0 = 10''2^2+10''2×100 = 1 0000000100 0000000000
1ºº0ºº0ºº0 = 10''2^3 = 1 0000000000 0000000000 0000000000
...
1ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0 = 10''2^9
1ººº0 = 10''3
(1ººº0ºº0 = 1ººº0)
1ººº1 = 10''3+1
1ººº1ºº0 = 10''3+10''2
1ºº0ººº0 = 10''3×10''2
1ºº1ººº0 = 10''3×10''2+10''3
1º0ºº0ººº0 = 10''3×10''2×10
1º5ºº1ººº0 = 10''3×10''2×10+10''3×10''2×5+10''3
1ºº2740ººº0 = 10''3×10''2+10''3×2740
1ººº0ººº0 = 10''3^2
...
1ºººº0 = 10''4
1ººººº0 = 10''5
Cada instancia de un diacrítico º, ºº, ººº, ºººº, ...
marca la posición de una pentificación y las posiciones intermedias de
la misma pentificación hasta la siguiente mayor; cuentan hacia el
principio -la izquierda- (por ejemplo en: 1ºº0ººº0=10''3×10''2), pero
no cuentan hacia el final -la derecha (por ejemplo en:
1ººº0ºº0=1ººº0=10''3), respecto de una pentificación de mayor orden.
Toda posición se cuenta desde el extremo derecho de la expresión. El
valor numérico de una expresión en una posición entra multiplicando al
valor numérico implicado por la posición. El resultado de una expresión
parcial de cada posición se suma con el resto de las expresiones
parciales de las otras posiciones.
Cabe comentar que en este sistema las expresiones de números
menores que 1 00000 00000 (diez mil millones) vienen a ser iguales que
para el sistema de numeración de cuatro operaciones,
sn4,
por ejemplo, 1 y 1, 2 y 2, 100 y 100, su longitud es la misma. A partir
de 1 00000 00000 las expresiones en este,
sn5,
pueden resultar
ser más cortas, de manera que al llegar a las expresiones con numerosos
ceros que
sería costoso de expresar con un
sn4,
las expresiones de
un
sn5 resultan más económicas; por
ejemplo, 1ºº0 y 10000000000,
1ººº0
y 100000(0)...0 = 10^10000000000; también, es cierto, que las
expresiones con cifras diferentes de cero para cada potencia de la base
implicada son extraordinariamente costosas de expresar en el
sn5. Esto es en
un sistema de razón
IIIIIIIIII,
las expresiones con muchos ceros son fácilmente representables en un
sn5,
cuando en un
sn4 serían costosas por
la gran cantidad de
ceros
a representar necesarios, pero las expresiones de números con pocos o
ningún cero son extraordinariamente costosas de expresar en un
sn5; el
sn4 es la
numeración más económica por lo que se refiere a la precisión. Por
ejemplo:
la siguiente expresión de
diez
símbolos en un
sn5: 1ºººº15ºº0
= 10''4+10''2×15 = 10^10^10^10+10^10×15 = 10^1000+10^10×15
en el
sn4
supone
mil uno símbolos, esto
es, un 1 seguido de mil cifras
la siguiente expresión de
veinte y un
símbolos en un
sn5: 1º0ºººº234ººº15ºº60º3
= 10×10''4+10''3×234+15×10''2+60+3= 10×10000+234×1000+15×100+60+3
en el
sn4
supone
cien mil uno símbolos,
esto es, un 1 seguido de cien mil cifras
la siguiente expresión de
doce
símbolos en un
sn5:
1ºº203456190
= 10''2+203456190
en el
sn4
supone
diez símbolos, esto
es,
1203456190
la siguiente expresión de
treinta y
uno símbolos en un
sn5:
11000º2ºº9873100000ºº2034560190
11002×10''2^2+98731×10^16+2034560190
en el
sn4
supone
veinticinco símbolos,
esto es, 1100298731000002034560190
Las expresiones de números con valores significativos en
todos los rangos de las potencias de diez, resultan más largas en el
sistema de cinco operaciones... si hay alguna pertinencia en emplear un
sn5 para
esta no es de economía de la expresión, sino, si ha caso, la de
facilitación de la interpretación de la expresión al estar marcadas sus
partes. que en otro, porque no son ampliables (están al
máximo de ampliación). Expresado de otra manera, el detalle o la
precisión en la expresión del número no se ve afectada por el cambio de
un sistema numérico de cuatro operaciones a uno de cinco, así,
expresiones de números
que tienen valores en todos los rangos de las potencias de la razón, R,
vienen a
ser igual de precisas en un sistema numérico de cinco
operaciones,
sn5, que en un sistema
numérico de cuatro
operaciones,
sn4.
Un paso en el desarrollo o la evolución del sistema numérico
de cinco operaciones que quizás parezca -a primera vista- pertinente,
es el prescindir de aquellos de los glifos de mayor nivel que no
aportan información más relevante que la posición, como he hecho en un
principio, -pero no en los ejemplos del párrafo anterior- esto es, por
ejemplo:
1º0 dejarlo en 10; porque 1º0 = 10''1 = 10
10º0 dejarlo en 100; porque 10º0 = 10''1×10 = 10
100º0 dejarlo en 1000; porque 100º0 = 10''1×100 = 10
etcétera hasta 1ºº0 = 1 0000000000, pues 1ºº0 es obviamente diferente
de 10, por tanto, parece relevante usar las expresiones, 1, 10, 100, en
lugar de 1, 1º0, 10º0. Al llegar a 1ºº0 ya no variaría con respecto al
anterior. Pero, habría que mantener el glifo ºº y recordar que ese
doble
glifo ºº es así porque el valor implicado es la pentificación de R por
2 que es igual a la potenciación de R por R. La alternativa de abreviar
la expresión de 1ºº0 a un solo glifo
1º0,
nos devuelve a la versión de
sn4 del
punto · que traté en el
apartado anterior. Cabe notar que el primer punto en, por ejemplo,
1·0·0 está en la posición de la pentificación de R por 2, pero lo que
tal punto marca
realmente es una
potenciación de R por R. Desde este punto de
vista,
pongamos por ejemplo algunas expresiones equivalentes entre
el sn5
del
º y
el sn4 del · :
1ºº0 = 1·0 = 1 0000000000 = 10
o410 = 10
o52
1ºº0ºº0 = 1·0·0 =1 0000000000 0000000000 = 10
o420
1ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0ºº0 = 1·0·0·0·0·0·0·0·0·0=10
o490
1ººº0 = 1··0 =10
o4100 =10
o410
o410
= 10
o53 (=1 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 = 1 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000)
1ºººº0 = 1···0 = 10
o410
o410
o410
= 10
o54 (=1 ··0··0··0··0··0··0··0··0··0··0 = 1
·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0
·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0
·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0 ·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0
·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0)
1ºººººººººº0 = 1·········0 =10
o410
o410
o410
o410
o410
o410
o410
o410
o410
= 10
o510
Y la serie de
nueve puntos en, 1 ·········0, se corresponde con
la serie de
diez º en, 1ºººººººººº0, ambas expresiones
equivalen al mismo valor. La intención de esta comparación es mostrar
que el sistema considerado de puntos, ·, es un
sn4, porque se
correlaciona con el número de potenciaciones de R por R, mientras que
el sistema considerado del diacrítico º es un
sn5 porque se
correlaciona con los exponentes de pentificaciones de R. Como las
expresiones resultan más o menos igual de largas, precisamente, son
algo más largas las del
sn5, no
parece mucho más eficaz este
sn5
que el
sn4 de puntos, pero se
puede apreciar que este
sn5 es más
eficaz si consideramos que
es
más fácil de interpretar el
sn5 que
el
sn4. Por
ejemplo:
1ººººººººº0 = 1········0
1ººººººººº0 = 10''9 "diez pentificado por nueve,
IIIIIIIII."
1········0 = (10)^10^10^10^10^10^10^10^10 "diez potenciado ocho,
IIIIIIII,
veces por diez"
Sin embargo, en el apartado anterior sobre los
sn4 abordé varias
versiones híbridas fundamentadas en una doble grafía de las cifras y
quizás conviene explorar tal modo de hacer para construir un sistema
numérico de cinco operaciones más manejable o que quepa dentro una
teoría general sobre las numeraciones. Estas versiones de
sn5 no son aún
las que he presentado al iniciar este apartado sobre los
sn5. Sino un
paso evolutivo previo, en que cabe construir numeraciones con
diferentes números de operaciones e hibridarlas en un solo sistema
multinumeral, y para esto, preferentemente, voy a intentar utilizar dos
equipos de cifras base con diferentes glifos de otra manera, aunque el
uso de diacríticos -por ejemplo, corchetes-, es asímismo una
alternativa pertinente. Haré, preferentemente, como
sigue, un equipo de cifras base con glifos diferentes de los
euro-indios -por ejemplo,
devanagari-
para expresiones en un
sn5 y otro
equipo de
cifras base con glifos euro-indios-, para las expresiones en el
sn4. De manera
que algunas de las expresiones llevan valores numéricos en
sn4 hibridadas
con expresiones en el
sn5.
Aunque ambas clases de expresión son numerales, el
sn5 hibridando, o
parcial, resulta
rudimentario por dos razones, una que en él no se puede representar al
máximo detalle los numeros naturales, otra que progresa de manera en
cierto modo irregular para los valores iniciales. Y el
sn4 con el
sn5 hibridados forman un sistema
completo
sn5
capaz de expresar más brevemente algunos valores numéricos mayores que,
solamente, con el
sn4.
Glifos para las cifras de las expresiones del
sn5 hibridando:
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, ∞
Glifos para las cifras de las expresiones del
sn4: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
Veamos, a continuación tres opciones para que un
sn5 hibridando realice
este servicio. ¿Cómo construimos las expresiones del
sn5 hibridando?, teniendo
como equipo de cifras marcadoras a las devanagari y la razón diez,
R=IIIIIIIIIII.
Una opción es construir expresiones en que el valor de la cifra de
cada posición entrara
multiplicando por la pentificación de R
implicada en la posición, y los valores parciales resultantes en cada
posición
se sumaran, tenemos:
mr...t = +(×(''(R, (nº de posición n-1), m), ×(''(R, (nº de
posición n-2), r), ...×(''(R, (nº de posición 1-1), t))
१ = 1×10''0 = 1
२ = 2×10''0 = 2
३ = 3×10''0 = 3
१० = 1×10''1 = 10
११ = 1×10''1 + 1×10''0 = 11
२० = 2×10''1 + 0 = 20
२१ = 2×10''1 + 1×10''0 = 21
३० = 3×10''1 + 0 = 30
१०० = 1×10''2 + 0 + 0 = 1 0000000000
२०० = 2×10''2 + 0 + 0 = 2 0000000000
३०० = 3×10''2 + 0 + 0 = 3 0000000000
१००० = 1×10''3 + 0 + 0 = 1 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
Comentario: quedan lagunas de valores sin expresión, entre:
१००= 1
0000000000 y १००० = 1 (0100)
que no resultan fáciles de cubrir, habrían de suplirse quizás con
repeticiones, pero esto quizá supone sobrecargar de convenciones el
sistema. Como me parece que esta manera de solucionar el asunto no es
la más
pertinente, aunque pudiera ser una posible solución, paso a la
siguiente opción.
Pasemos a otra opción, la de que si construimos expresiones en que el
valor de la
cifra en cada posición entrara como
potencia de la
pentificación
de R implicada en la posición, y los valores parciales resultantes en
cada posición
se sumaran, tenemos un
sn5 rudimentario con
expresiones como:
mr...t = +(^(''(R, (nº de posición m-1), m), (^(''(R, (nº de posición
m-2), r), ... (^(''(R, (nº de posición 1-1), t))
० = 10''0^0 = 1
१ = 10''0^1 = 1
२ = 10''0^2 = 1
३ = 10''0^3 = 1
१० = 10''1^1+10''0^0 = 11
११ = 10''1^1+10''0^1 = 11
१२ = 10''1^1+10''0^2 = 11
२० = 10''1^2+10''0^0 = 101
२१ = 10''1^2+10''0^1 = 101
३० = 10''1^3+10''0^0 = 1001
१०० = 10''2^1+10''1^0+10''0^0= 1 0000000002
२०० = 10''2^2+10''1^0+10''0^0= 1 0000000000 0000000002
१००० = 10''3^1+10''1^0+10''0^0 = 1 [(0)99]3
Comentario: se da como novedad respecto a la versión anterior el que
las expresiones aunque resultan impertinentes debido a que surgen del
cálculo valores en las unidades, sin embargo, cubren valores en rangos
pertinentes entre:
१००= 1 0000000000 y १००० = 1 (0100)
por ejemplo:
३०० = 1 0000000000 0000000000 0000000000
sin necesidad de recurrir
a la repetición de expresiones y otras convenciones. Este
sn5
rudimentario
quizás se pueda hacer más pertinente si se usa un cero especial para el
caso, por ejemplo, que el cero devanagari tachado
०
de
manera que su valor anule la exponenciación: 10^
०
= 0;
pero, asimismo, esto, aunque quizá sea interesante de explorar, resulta
"raro" o demasiado significativo. Cabe, asímismo, comentar que el
mantener la suma como última
operación a realizar para las expresiones parciales se hace al pasar de
los
sn2 a los
sn3 y, también, al pasar de los
sn3
a los
sn4, mientras que la primera
operación a realizar para
calcular los valores locales sube de orden, por ejemplo, se puede
apreciar en expresiones en cada sistema en que numero los tipos de
operación del primero al último en la aplicación:
sn2: MMMCCCIII = +¹(M, M, C, C,
C)⇒(I, I, I)
sn3: IIIMIIICIII = +²(×¹(M, ⇒(I, I,
I)), ×¹(C, ⇒(I, I, I), ⇒(I, I, I))
sn4: 3303 = +³(ײ(^¹(X, ⇒(I, I, I)),
3), ײ(^¹(X, ⇒(I, I)), 3), 3)
Una expresión en una sn5 con tales convenciones de sumar los valores
parciales y del cero que como potencia da cero como resultado:
sn5: 5३
००402
= +
⁴(׳(׳(''¹(10, 2), 3), 5), ׳(^²(10, 2), 4),
2) = (3 ³× ((10 ¹'' 2) ²^ 2))
4+ (3 ³×
((10 ¹'' 2) ²^ 1))
El tener que hacer uso de un cero especial, este cero tachado que
podría considerarse un cero vacío específico de la numeración de cinco
operaciones puede quizás resulta
impertinente.
Una última opción, quizá, es construir expresiones en que el
valor de cada cifra en una posición entra como
potencia de la
pentificación de R implicada en la posición, y los valores parciales
resultantes en cada posición se
multiplican, tenemos, un
sn5
rudimentario con expresiones como:
mr...s = ×(^(''(R, (nº de posición m-1), m), ^(''(R, (nº de posición
m-2), r), ... ^(''(R, (nº de posición 1-1), s))
० = 10''0^0 = 1
१ = 10''0^1 = 1
२ = 10''0^2 = 1
३ = 10''0^3 = 1
१० = 10''1^1×10''0^0 = 10''1^1 = 10
११ = 10''1^1×10''0^1 = 10''1^1 = 10
१२ = 10''1^1×10''0^2 = 10''1^1 = 10
२० = 10''1^2×10''0^0 = 10''1^2 = 100
२१ = 10''1^2×10''0^1= 10''1^2 = 100
२२ = 10''1^2×10''0^2= 10''1^2 = 100
३० = 10''1^3×10''0^0 = 10''1^3 = 1000
३१ = 10''1^3×10''0^1 = 10''1^3 = 1000
३२ = 10''1^3×10''0^2 = 10''1^3 = 1000
१०० = 10''2^1×10''1^0×10''0^0 = 10''2 = 1 0000000000
११० = 10''2^1×10''1^1×10''0^0 = 10''2 = 10 0000000000
१२० = 10''2^1×10''1^1×10''0^0 = 10''2 = 100 0000000000
२०० = 10''2^2×10''1^0×10''0^0 = 10''2^2 = 1 0000000000 0000000000
१००० = 10''3^1×10''2^0×10''1^0×10''0^0 = 10''3
१२०० = 10''3^1×10''2^2×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^2
Comentario: de este modo quizás el nivel de las unidades parezca
irrelevante porque todas expresan el valor 1 y asímismo los valores
de las potencias de la razón menores que la razón parezce
irrelevante porque tales valores
se expresarían ya con un subsistema de numeración de cuatro
operaciones.
Las expresiones de valores superiores a la potencia de la razón por la
razón pueden progresar pertinentemente de pentificación en
pentificación
de la razón y cubrir todos los valores subsidiarios a pentificiones
previas
a una dada intermedios entre un orden de pentificación y el anterior,
por
ejemplo:
१०० = 10''2^1×10''1^0×10''0^0 = 10''2^1 = 1 0000000000
२०० = 10''2^2×10''1^0×10''0^0 = 10''2^2 = 1 0000000000 0000000000
३०० = 10''2^3×10''1^0×10''0^0 = 10''2^3 = 1 0000000000 0000000000
0000000000
४०० = 10''2^4×10''1^0×10''0^0 = 10''2^4
५०० = 10''2^5×10''1^0×10''0^0 = 10''2^5
६०० = 10''2^6×10''1^0×10''0^0 = 10''2^6
७०० = 10''2^7×10''1^0×10''0^0 = 10''2^7
८०० = 10''2^8×10''1^0×10''0^0 = 10''2^8
९०० = 10''2^9×10''1^0×10''0^0 = 10''2^9
१००० = 10''3×10''2^0×10''1^0×10''0^0 = 10''3
१२०० = 10''3×10''2^2×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^2
१३०० = 10''3×10''2^3×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^3
१४०० = 10''3×10''2^4×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^4
१५०० = 10''3×10''2^5×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^5
१६०० = 10''3×10''2^6×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^6
१७०० = 10''3×10''2^7×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^7
१८०० = 10''3×10''2^8×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^8
१९०० = 10''3×10''2^9×10''1^0×10''0^0 = 10''3×10''2^9
२००० = 10''3^2×10''1^0×10''0^0 = 10''3^2
३००० = 10''3^3×10''1^0×10''0^0 = 10''3^3
४००० = 10''3^4×10''1^0×10''0^0 = 10''3^4
५००० = 10''3^5×10''1^0×10''0^0 = 10''3^5
६००० = 10''3^6×10''1^0×10''0^0 = 10''3^6
७००० = 10''3^7×10''1^0×10''0^0 = 10''3^7
८००० = 10''3^8×10''1^0×10''0^0 = 10''3^8
९००० = 10''3^9×10''1^0×10''0^0 = 10''3^9
१०००० = 10''4×10''3^0×10''2^0×10''1^0×10''0^0 = 10''4
De las tres alternativas, quizás la más pertinente de usar para el
propósito de hacer un sistema numérico de cinco operaciones sea esta
tercera, al menos, porque cubre con un mínimo de esfuerzo -relativo
a las dos opciones anteriores- las sucesivas potencias y
pentificaciones de diez. La cuestión de si es pertinente o no
prescindir de los valores de la primera y quizás de los de la segunda
posición de este
sn5 rudimentario
queda por decidir...
adelanto que desde mi punto de vista son imprescindibles para una
numeración de n operaciones si n>5.
La hibridación de este
sn5 rudimentario
hibridando con el
sn4
para conseguir un
sn5
completo, es otra cuestión a resolver. Quizá, por un lado, lo más
pértinente es que las expresiones del se sumen si están a la derecha y
sean multiplicadores si están a la izquierda, por ejemplo:
9१०० = ×(१००, 9) = 9 0000000000
१००9 = +(१००, 9) = 1 0000000009
Y, por otro, lado, si una expresión en
sn5 tiene a la
cabeza -a la derecha- una expresión en
sn4 la
operación que relaciona a toda la expresión parcial con la que le
preceda es la suma; pues, de otro modo sería posible expresar con la
mayor brevedad toda la sucesión de los valores numéricos naturales, por
ejemplo:
३०००2१०० = +(३०००, ×(१००, 2))
३०००1१०० = +(३०००, ×(१००, 1))
Si en lugar de:
३०००1१०० = +(३०००, ×(१००, 1))
fuera
३०००1१०० = ×(३०००, ×(१००, 1))
entonces, ३०००1१०० sería superflua por ser sinónima de ३१००, y además,
no habría manera breve de expresar el valor numérico:
+(३०००, ×(१००, 1))
sino solo así, 10^10^10^3+10^10:
1 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1000000000
o, así, 10^10^10^3+10^10:
३०००10000000000
por consiguiente resulta preferible que sea la suma lo implicado entre
३००० y 1१०० a su derecha, porque entonces la expresión ३०००1१००
significa, del modo más breve, el valor de 10^10^10^3+10^10.
Resumiendo lo que se refiere a este
sn5: Teniendo en
cuenta la idea de que un límite pertinente para
la expresiones con el
sn4 es la
posición de la primera
potenciación de R por R, entonces, cabe diseñar un sistema numérico de
cinco operaciones híbrido y completo, en que: los valores de n entre 0
y R, ambas exclusive, se expresan con cifras base euro-indias; los
valores de n
entre R y R^R-I, ambas inclusive, se expresar, preferentemente, con
combinaciones de las
cifras base euro-indias según un
sn4,
en el cual en una expresión cada posición de una cifra sucesiva implica
una potencia de R, la cifra se multiplica por la potencia de R de su
posición, y los valores parciales de cada posición se suman; los
valores de R^R
en adelante se pueden expresar mediante una hibridación de la
numeración sn4de las cifras base euro-indias, y otra numeración
sn5 con expresiones un equipo más de
cifras base indias que forman expresiones en que cada posición sucesiva
de una cifra implica una pentificación de
R, la cifra entra como potencia de la pentificación de R implicada en
la posición, y los valores parciales de las posiciones sucesivas se
multiplican.
Las reglas de la hibridación son, una, que la posición relativa de una
expresión parcial es regida por la expresión de mayor valor, por
ejemplo, una expresión está a la derecha o a la izquierda de otra si es
la menor, otra regla es, que los valores expresados en el subsistema
sn4 si están a la
derecha
de un valor expresado en el
sn5 rudimentario se suman y si están la
izquierda
se multiplican, y, otra regla más es, que en expresiones parciales las
reglas de hibridación de la numeración menor rigen, en lo global, sobre
la mayor.
Las reglas de uso de las cifras y expresiones son dos son expresiones
pertinentes, preferentemente, las que tiene menor número de cifras, y
mayor exactitud en la representación de un valor númerico.
Un ejemplo de sistema numérico de cinco operaciones,
sn5
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ०,१,२,३,४,५,६,७,८,९, ∞
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se suma
con el subsistema,
sn2:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan, preferentemente,
con un subsistema
sn4; usando las cifras: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que,
por ejemplo:
302 = +(×(^(R, 2), 3), 2)
Los valores: R^R-I <
R''R
, se expresan,
preferentemente, mediante hibridación del
subsistema
sn4 anterior y otro
subsistema
sn5 rudimentario;
usando las cifras:
०,१,२,३,४,५,६,७,८,९
tal que, por ejemplo:
४३०० = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de
valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
Ejemplos:
34४३००34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34४३००1३००34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), ^(''(R, 2), 3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar
pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque pueden expresarse valores
mayores que R''R si se añaden otras convenciones.
Algunos ejemplos del sistema:
10 = 1×10^1
100 = 1×10^2
1000 = 1×10^3
1000000000 = 10^9
१०० = 10''2^1 = 10^10
१००10 = 10''2^1+1×10^1 = 10^10+10
10१०० = 10''2^1×10 = 10^11
100१०० = 10''2^1×100 = 10^12
२०० = 10''2^2 = 10^20
२००10 = 10''2^2+1×10^1 = 10^20+10
2२०० = 10''2^2×2 = 10^20×2
3२०० = 10''2^2×3 = 10^20×3
३०० = 10''2^3 = 10^30
४०० = 10''2^4 = 10^40
...
९०० = 10''2^9 = 10^90
१००० = 10''3 = 10^100
१३०० = 10''3×10''2^3 = 10^130
४३०० = 10''3^4×10''2^3×10''1^0×10''0^0
४३००3 = 10''3^4×10''2^3×10''1^0×10''0^0+3
3४३००3 = 10''3^4×10''2^3×10''1^0×10''0^0×3+3
3४३००3१०० = 10''3^4×10''2^3×10''1^0×10''0^0×3+10''2×3
१००००० = 10''5 = 10^100000
१००३०० = 10''5×10''2^3 = 10^10030
२००३०० = 10''5^2×10''2^3 = 10^20030
5२०३०० = 5×10''5^2×10''2^3 = 10^2030×5
50000१०००००= 5×10^4×10''5 = 10^4×10^10000×5= 10^10004×5
El valor numérico denominado
googol que equivale a diez
potenciado por cien en el
sistema decimal de cuatro operaciones,
en este sistema que también es decimal pero de cinco operaciones se
escribe:
१०० = 10^100
y el
googol-plex que equivale a diez potenciado
por un
googol en el
sistema decimal de cuatro
operaciones,
en este sistema decimal de cinco se escribe:
१००००० = 10^100^10^100
se puede apreciar
que aún quedan expresiones rentables hasta el valor numérico:
१००००००००००-1
donde este sistema dejaría de ser suficientemente relevante, de acuerdo
al criterio de cambiar de subsistema en cada posición en que redunda R
como segundo término de una operación.
Explicaré, por si es el caso, la definición arriba dada de este ejemplo
de sistema de numeración de cinco operaciones:
La razón del sistema es: R=IIIIIIIIII. La razón podría ser otra, por
ejemplo, R=IIII y en este caso solo se precisaría de las cifras:
0, 1, 2, 3, ०, १, २, ३, ∞.
Pero, si se toma IIIIIIIIII como base implicada
o razón de la numeración, entonces se precisa de 21 cifras:
0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, ∞
Con el subsistema de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se
expresa particularmente cada uno de los nueve primeros valores
numéricos,
los valores entre cero y erre: 0 < n < R. Estas cifras significan
el valor numérico que corresponde a su posición según se las cuenta de
izquierda a derecha.
Con un subsistema numérico de cuatro operaciones en que se usan las
cifras con los glifos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
se construyen
expresiones para los valores numéricos entre el valor de la razón, R, y
el valor de la potencia de la razón por la razón, R potenciado por R;
en cada expresión cada posición sucesiva implica una potencia sucesiva
de la razón, empezando por la potencia cero para la primera posición,
asimismo, las cifras en cada posición entran multiplicando, y los
valores parciales resultantes en cada posición se suman.
Con un segundo equipo de glifos para las diez cifras base:
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९
se construyen expresiones de un subsistema numérico
de cinco operaciones o
sn5
rudimentario; en que para cada
posición hay una pentificación de la razón implicada, la cifra en cada
posición entra potenciando y los valores parciales de cada posición se
multiplican.
El sistema de numeración de cinco operaciones completo se logra
combinando los tres subsistemas, según un principio de hibridación en
que las expresiones del subsistema
sn4
implican la
multiplicaciónn si están a la izquierda de las del
sn5
rudimentario y la suma si están a la derecha. Por consiguiente, las
operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y la
suma; expresiones en el
sn4 de
valores localmente menores a la
izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
Con el sistema numérico de cinco operaciones completo se
expresarán los valores entre uno inclusive y el valor de la
pentificación de la razón por la razón, R''R, exclusive; el
sn5 completo se
puede usar para
representar valores mayores que R''R, pero quizás resulta inconveniente
en este sentido.
Para el siguiente ejemplo, equivalente del anterior, usaré otro
tipo de glifos que es el equipo propuesto arriba haciendo glifos de
cifras
a la romana. La siguiente versión de sistema numérico de cinco
operaciones híbrido y de razón=IIIIIIIIII:
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, i, n, m, w, v, y, t, z, k, ∞
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se cuenta
con el subsistema,
sn1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan con un subsistema
sn4; usando las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que,
por ejemplo:
34 = +(×(^(10, 1), 3), 4)
Los valores: R^R-I < R''R
, mediante hibridación del
subsistema
sn4 anterior y otro subsistema
sn5 rudimentario;
usando las cifras: x, i, n, m, w, v, y, t, z, k; tal que, por ejemplo:
wmxx = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
34wmxx34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34
wmxx1mxx34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), ^(''(R, 2), 3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar
pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque puede expresarse valores
mayores que R''R.
0 < n < R
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
R-I <
n < R^R-I
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ... 30, ... 99, 100, ...
200, ... 300, ... 999, 1000, ... 2000, ... 3000, ... 9999, 10000, ...
20000, ... 30000, ... 99999, 100000, ... 200000, ... 300000, ...
999999, 1000000, ... 2000000, ... 3000000, ... 9999999, 10000000, ...
20000000, ... 30000000, ... 99999999, 100000000, ... 200000000, ...
300000000,
... 1000000000, ... 2000000000, ... 3000000000, ... 999999999
R^R-I <
n <R''R
ixx, ixx1, ixx2, ..., ixx999999999, 10ixx, 100ixxx, 1000ixx,
10000ixx, 100000ixx, 1000000ixx, 10000000ixx, 100000000ixx,
1000000000ixx, nxx, ... mxx, ... wxx, ... vxx, ... yxx, ... txx, ...
zxx, ... kxx,
... , ixxx, iixx, inxx, imxx, iwxx, ivxx, iyxx, itxx, izxx, ikxx, nxxx,
... mxxx, ... wxxx, ... vxxx, ... yxxx, ... txxx, ... zxxx, ... kzzz,
... ..., ixxxx, ... nxxxx, ... mxxxx, ... wxxxx, ... vxxxx, ... yxxxx,
... txxxx, ... zxxxx, ... kxxxx, ... ..., ixxxxx, ... nxxxxx, ...
mxxxxx,
... wxxxxx, ... vxxxxx, ... yxxxxx, ... txxxxx, ... zxxxxx, ... kxxxxx,
... ..., ixxxxxx, ... nxxxxxx, ... mxxxxxx, ... wxxxxxx, ... vxxxxxx,
... yxxxxxx, ... txxxxxx, ... zxxxxxx, ... kxxxxxx, ... ..., ixxxxxxx,
... nxxxxxxx, ... mxxxxxxx, ... wxxxxxxx, ... vxxxxxxx, ... yxxxxxxx,
... txxxxxxx, ... zxxxxxxx, ... kxxxxxxx, ... ..., ixxxxxxxx, ...
nxxxxxxxx,
... mxxxxxxxx, ... wxxxxxxxx, ... vxxxxxxxx, ... yxxxxxxxx, ...
txxxxxxxx,
... zxxxxxxxx, ... kxxxxxxxx, ... ... ixxxxxxxxx, ... nxxxxxxxxx, ...
mxxxxxxxxx, ... wxxxxxxxxx, ... vxxxxxxxxx, ... yxxxxxxxxx, ...
txxxxxxxxx, ... zxxxxxxxxx, ... kxxxxxxxxx, ...
Cabe considerar que estas versiones en que uso un equipo de glifos
diferente quizás sean la solución más relevante y elegante para una
numeración de cinco operaciones, pero quizás sea un obstáculo en el
caso
de que no se disponga de tales glifos, esto se soluciona usando un
equipo
de cifras de glifos más accesibles y por esto estoy sugiriendo el uso
de cifras de sistemas de escritura existentes como las del devanagari,
el oriya y otros; pero, otro obstáculo similar se da si culturalmente
no resulta conveniente, por ejemplo, si a una persona que usa
habitualmente
las cifras devanagari para un
sn4
quizás no le resulte
conveniente
usarlas para un
sn5; en este caso la
solución sería diseñar un
nuevo equipo de cifras para cumplir tal función de expresarse en un
sn5
rudimentario, y que tal equipo fuera conocido y aceptado.
En este sentido, cabe también la alternativa de marcar con ºº y º el
inicio y el final de las expresiones que funcionan como
sn5
rudimentario, o, también, cabe marcarlas con corchetes. Así, con
una versión del sistema numérico de cinco operaciones empleando
corchetes en lugar de cifras devanagari o de la cifras romanas
inventadas arriba resultaría:
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
Diacríticos: [ ]
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se cuenta
con el subsistema,
sn1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan con un subsistema
sn4; usando las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que,
por ejemplo:
34
=
34 = +(×(^(10, 1), 3), 4)
Los valores: R^R-I <
R''R
, mediante la hibridación
del subsistema
sn4 anterior; y otro subsistema
sn5
rudimentario, usando las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en un
sn5 rudimentario, entre corchetes, para indicar este diferente
uso; tal que, por ejemplo:
[4300] = = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de
valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
34[4300]34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34[4300]1[300]34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), ^(''(R, 2),
3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar
pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque puede expresarse valores
mayores que R''R.
Ejemplos de expresiones:
10 = 1×10^1
100 = 1×10^2
1000 = 1×10^3
1000000000 = 10^9
[100] = 10''2^1 = 10^10
[100]10 = 10''2^1+1×10^1
[200] = 10''2^2 = 10^20
[200]10 = 10''2^2+1×10^1 = 10^20+1×10^1
2[200] = 10''2^2×2 = 10^20×2
3[200] = 10''2^2×3 = 10^20×3
[300] = 10''2^3 = 10^30
[400] = 10''2^4 = 10^40
...
[900] = 10''2^9 = 10^90
[1000] = 10''3 = 10^100
[1300] = 10''3×10''2^3 = 10^130
[100000] = 10''5 = 10^10000
[100300] = 10''5×10''2^3 = 10^10030
[200300] = 10''5^2×10''2^3 = 10^20030
5[20300] = 10''5^2 ×10''2^3×5 = 10^20030×5
5[200000]1[300] = 10''5^2×5+10''2^3 = 10^20000×5+10^30
50000[100000] = 10^4×10''5×5 = 10^10005×5
[500000] = 10''5^5 = 10^50000
Sin embargo, ya lo he escrito, surge más adelante un problema mayor con
el uso
común de diferentes equipos de glifos de cifras, o con el uso común
de diacríticos, para diferenciar sub-sistemas de numeración parte de
un sistema, el problema de que difícilmente resulta extensible a
sistemas
de muchas más operaciones porque para cada nueva operación habría que
disponer de un nuevo equipo de cifras de diferentes glifos o de un
nuevo
diacrítico; por ejemplo, extendiendo esta versión para un
sn6
se requerirán 2 equipos de cifras más, en total tres tipos de glifos,
para un
sn7
tres equipos de cifras más o en total cuatro tipos de glifos, etcétera.
Los
corchetes y con otros marcadores diacríticos resultan, análogamente,
igual de poco extensibles a sistemas de mayor numéro de operaciones. Si
queremos introducir más operaciones habrá que recurrir a una convención
más eficaz.
Así, llegamos a las versiones de
sn5 propuestas
al inicio de estas líneas sobre los
sn5. Quizás
disponemos de algo más pertinente, en el sentido de un sistema
extendible, del siguiente modo, indicando
si es
pertinente la expresión parcial con un número del orden de
operación natural del subsistema
sn0,
sn1,
sn2,
sn3,
sn4,
sn5,
sn6, ... igual al del sistema a que
correspondería y que esté en funciones con tal parte de la expresión.
O, en orden, a hacerlo de manera más breve adoptar una convención, o
simbolismo, que puede ser el de usar cifras
de glifos diferentes, o una expresión entre diacríticos, para nombrar
los
subsistemas de numeración -expresiones a las que he denominado
"nomen-numerales"- y, o, las operaciones en que se basa cada
subsistema
de numeración. Para esto, se puede recurrir a glifos conocidos como la
cifras devanagari u otros o a algún tipo de paréntesis como los
corchetes.
Por ejemplo, unos últimos sistemas de numeración en esta parte sobre
los sistemas numéricos de cinco operaciones:
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ०, १, २, ३, ४, ५, ∞
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se cuenta
con el subsistema,
sn1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan con un subsistema
sn4; usando las cifras:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
tal que,
por ejemplo:
34
=
+(×(^(10, 1), 3), 4)
Los valores: R^R-I <
R''R
, mediante hibridación del
subsistema
sn4 anterior y otro
subsistema
sn5 rudimentario;
usando las cifras pertinentes de entre las siguientes:
0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, ०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९
y para este
sn5
las cifras pertinentes
son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ४, ५
tal que, por ejemplo:
५4300 = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
34५4300४34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34५4300४1५300४34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), ^(''(R, 2),
3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque puede expresarse valores
mayores que R''R.
En la expresión 34५4300४1५300४34 la parte ४1 precediendo a ५300 se
precisa para indicar que ५300 entra sumando. Si se prescindiera de tal
४1 y se escribiera 34५4300५300४34 resultaría ambigüo o habría que
llegar a una convención acerca de cual es la operación implicada entre
५300
y 34५4300.
Otro sistema equivalente usando diacríticos, por ejemplo:
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
Diacríticos: [ ]
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se cuenta
con el subsistema,
sn2:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan con un subsistema
sn4; usando las cifras: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que,
por ejemplo:
34
=
+(×(^(10, 1), 3), 4)
Los valores: R^R-I <
R''R
, mediante hibridación del
subsistema
sn4 anterior y otro subsistema
sn5 rudimentario;
usando las cifras pertinentes de entre las siguientes: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, y los diacríticos [ ];y para este sn5 las cifras
pertinentes son: 4, 5; tal que, por ejemplo:
[5]4300 = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de
valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
34[5]4300[4]34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34[5]4300[4]1[5]300[4]34 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)),
^(''(R, 2),
3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque puede expresarse valores
mayores que R''R.
Otras versiones:
Haciendo glifos de otro color:
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
0,
1,
2,
3,
4,
5, ∞
R=IIIIIIIIII; I vale uno.
Los valores: 0 < n < R, se expresan sucesivamente segun se cuenta
con el subsistema,
sn2:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Los valores: R-I <
n < R^R, se expresan con un subsistema
sn4; usando las cifras: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que,
por ejemplo:
32
=
+(×(^(10, 1), 3), 4)
Los valores: R^R-I <
R''R
, mediante hibridación del
subsistema
sn4 anterior y otro subsistema
sn5 rudimentario;
usando las cifras pertinentes de entre las siguientes: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9,
0,
1,
2,
3,
4,
5; y para este
sn5 las cifras pertinentes son:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
4,
5, tal que,
por ejemplo:
54300 = ×(^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3))
Las operaciones implicadas en esta hibridación son la multiplicación y
la suma; expresiones en el
sn4 de valores localmente menores a
la izquierda entran multiplicando al valor de la pentificación de R
implicado por su posición, los valores con sus operaciones globalmente
decrecientes hacia la derecha relativos a cada posición entran sumando.
34
54300
434 =
+(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)), 34)
34
54300
5300
434 = +(×(34, ^(''(R, 3), 4), ^(''(R, 2), 3)),
^(''(R, 2),
3),
34)
Los tres subsistemas forman un sistema para expresar
pertinentemente
los valores: 0 < n < R''R; aúnque puede expresarse valores
mayores que R''R. Por ejemplo:
10 = 1×10^1
100 = 1×10^2
1000 = 1×10^3
1000000000 = 10^9
5100= 10^10 = 10''2^1
5100
410 =
10''2^1+1×10^1
5200 = 10''2^2
5200
410 =
10''2^2+1×10^1
5200
41
5200
= 10''2^2+10''2^1
2
5200 = 10''2^2×2
3
5200 = 10''2^2×3
5300 = 10''2^3
5400 = 10''2^4
...
5900 = 10''2^9
51000 = 10''3 [= 1 (0100)]
5300
51000 =
10''2^3×10''3
5300
41
51000
= (10''2^3+1)×10''3
5100000 = 10''5 [= 1 (0100000)]
5100300 = 10''5 + 10''2^3
5200300 = 10''5^2 + 10''2^3
5
520300 = 10''5^2×5+5×10''2^3
5
5200000
5300
= 10''5^2×5+10''2^3
50000
5100000 = 10''5×10^4×5
5500000
Y otra versión más, con cifras usadas a modo de diacrítico en
superíndice a la izquierda:
10 = 10^1×1
100 = 10^2×1
1000 = 10^3×1
1000000000 = 10^9×1
5100= 10^10 = 10''2^1
5100
410 = 10''2^1+1×10^1
5200 = 10''2^2
5200
410 = 10''2^2+1×10^1
5200
41
5200 = 10''2^2+10''2^1
2
5200 = 10''2^2×2
3
5200 = 10''2^2×3
5300 = 10''2^3
5400 = 10''2^4
...
5900 = 10''2^9
51000 = 10''3 [= 1 (0100)]
5300
51000 = 10''2^3×10''3
5300
41
51000 = (10''2^3+1)×10''3
5100000 = 10''5 [= 1 (0100000)]
5100300 = 10''5 + 10''2^3
5200300 = 10''5^2 + 10''2^3
5
520300 = 10''5^2×5 + 5×10''2^3
5
5200000
5300 = 10''5^2×5 + 10''2^3
50000
5100000 = 10''5×10^4×5
5500000
Esta solución con números en superíndice quizás resulta más
íntima
(o menos
agena) ya que se usan las cifras tradicionales para
los superíndices pero quizás también es más confusa, ya que se puede
confundir un signo en superíndice con un signo regular, y, además,
porque la convención de superíndice quizá asocie a la potenciación.
Comentario, todas estas versiones de numeración de cinco
operaciones consistentes en la hibridación de expresiones
nomen-numerales con expresiones numerales tienen de pertinente su
extensionalidad hacia sistemas que impliquen cada vez más operaciones.
Sistema de numeración con más de cinco
operaciones
nociones: cantidad, cifra, cifra base, posición relativa de cifras e
hibridación de operaciones, cifra base implicada y operaciones
implicadas por una posición, posición relativa de numeraciones e
hibridación de numeraciones, numeración base para nombrar las
numeraciones.
nuevas operaciones naturales se introducen a discreción, según resulta
pertinente, todas ellas se introducen con la intención de reducir la
redundancia en el caso de que hubiera que emplear las operaciones
precedentes.
Pretender hacer una versión de numeración con n operaciones mediante
una evolución a partir del uso del glifo º para marcar posiciones de
pentificaciones de R conlleva quizás una condición a la expresión de
números mayores
que la posición de la pentificiación de R por R y a la expansión a un
sistema de más operaciones que cinco, ya que llegados al que quizás sea
el límite pertinente de los sistemas de numeración de cinco operaciones
que es el del número de la expresión en que se vuelva a dar una
recurrencia al operar sobre la razón R con un número igual a la razón,
R, tendríamos que incorporar un signo diferente del glifo º, para
marcar las posiciones de las sextificaciones de R, y así sucesivamente.
Por ejemplo, podríamos usar el símbolo º para marcar las posiciones de
las pentificiaciones de R y una vez cubiertas las expresiones de un
sistema de cinco operaciones con º, ºº, ººº, ºººº, ººººº, ºººººº,
ººººººº, ºººººººº, ººººººººº, tendríamos que incorporar un nuevo glifo
para las posiciones de la operación de la sextificación, por ejemplo, ª
= ºººººººººº, o algún otro, por ejemplo, ˜, ˘, ˇ, y otros, y después de
ª, ªª, ªªª, ªªªª, ªªªªª, ªªªªªª, ªªªªªªªª, ªªªªªªªª, ªªªªªªªªª,
incorporar otro glifo para las posiciones de la operación de la
septificación, por ejemplo, ˜, ˜˜, ˜˜˜, ˜˜˜˜, ... etcétera. Como me
parece que resulta un tanto engorroso utilizar estos diacríticos los
dejo de considerar, para pasar al sistema de usar diferentes glifos
para las cifras base.
Asímismo, cave considerar una versión para una numeración de n
operaciones evolución de la versión de
sn5
en que se usa dos
equipos de glifos base, uno para representar potencias de una razón
implicadas en cada posición y otro para representar pentificiaciones de
una razón implicadas en cada posición, pues cabe añadir un tercer
equipo de
glifos base para representar las sextificaciones de una razón
implicadas en cada posición, y quizás añadir otros equipos de glifos
base para cada nueva operación natural que se quiera introducir. Así,
para un sistema decimal, en que R=IIIIIIIIII, el símbolo '' para la
pentificación,
o5, y el
símbolo ¨ para la sextificación,
o6,
o simplemente usar
o5,
o6,
o7,
o8,
o9,
etcetera para las
siguientes operaciones naturales, entonces, por ejemplo, si se usan de
manera híbrida los siguientes tres equipos de glifos para cifras base
de cada sistema:
sn2:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
para 0 < n
< R
sn4 usando
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; para (R-1)<n<(R''R)-1
sn5 rudimentario usando
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९; para algunos valores
(R''R)<n<(R¨R)-1
sn6 rudimentario usando
୦, ୧, ୨, ୩, ୪, ୫, ୬, ୭, ୮, ୯; para algunos valores (R¨R)<n<(R
o7·R)-1
etcétera
sn2:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
para 0 < n
< R
sn4:
sn2 . sn4: (R-1)<n<(R''R)-1
sn5:
sn2 . sn4 . sn5
rudimentario: (R''R)<n<(R¨R)-1
sn6:
sn2 . sn4
. sn5 rudimentario .
sn6 rudimentario: (R¨R)<n<(R
o7·R)-1
y otros
Tendríamos expresiones como estas:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000
१०० = 10''2×1 = 10^10
१००10 = 10''2+10
10१०० = 10''2×10 = 10^10×10
୧୦୦10 = 10¨2+10
10୧୦୦ = 10¨2×10
10१०୧୦୦ = 10¨2^10×10
୧୦୦१०० = 10¨2×10''2 = 1×10''10*10^10
१००୧୦୦ = 10¨2^10''2 = 10''10^10^10
10१००୧୦୦ = 10¨2^10''2×10 = 10''10^10^10×10
२००୧୦୦ = 10¨2^10''2^2 = 10''10^10^10^2
३००୧୦୦ = 10¨2^10''2^3 = 10''10^10^10^3
Pero quizás la solución más relevante para hacer una numeración con un
número n de operaciones mayor que cinco sea el recurrir a la siguiente
extensión
del sistema: indicando
si es pertinente la
expresión parcial con un número del orden de operación del subsistema
sn0,
sn1,
sn2,
sn3,
sn4,
sn5,
sn6,
... igual al del sistema a que correspondería y que esté en funciones
con
tal parte de la expresión. O, en orden, a hacerlo de manera más breve
adoptar una convención, o simbolismo, que puede ser el de usar cifras
de glifos
diferentes, o una expresión entre diacríticos, para numerar los
subsistemas de numeración y, o, las operaciones en que se basa cada
subsistema de
numeración. Para esto, se puede recurrir a glifos conocidos como la
cifras
devanagari u otras o a algún tipo de paréntesis como los corchetes.
Esto
es, por ejemplo, si usamos los glifos de las cifras del alfabeto
devanagari para
significar numeraciones y las operaciones, así:
० =
sn0; ०() =
o0() = →()
१ =
sn1; १() =
o1() = ⇒()
२ =
sn2; २() =
o2() = +()
३ =
sn3; ३() =
o3() =
×()
४ =
sn4; ४() =
o4() =
^()
५ =
sn5; ५() =
o5() =
''()
६ =
sn6; ६() =
o6() = ¨()
७ =
sn7; ७() =
o7()
८ =
sn8; ८() =
o8()
९ =
sn9; ९() =
o9()
१० =
sn10; १०() =
o10()
११ =
sn11; ११() =
o11()
१२ =
sn12; १२() =
o12()
...
३५ =
sn35; ३५() =
o35()
etcétera
La operación superior correspondiente a cada numeración se expresa con
el mismo glifo devanagari que corresponde a la numeración, usado
como letra de función, o usado como símbolo algebraico si se marca
quizás con
un punto, por ejemplo:
Subitar 3, 2, 1, 1, 1: ०(3, 2, 1, 1, 1) = ०·3०·2०·1०·1०·1 = 3
Contar 3, 2, 1, 1, 1: १(3, 2, 1, 1, 1) = १·3१·2१·1१·1१·1 = 5
Sumar 3, 2, 1, 1, 1: २(3, 2, 1, 1, 1) = २·3२·2२·1२·1२·1 = 8
Multiplicar 3, 2, 1, 1, 1: ३(3, 2, 1, 1, 1) = ३·3३·2३·1३·1३·1 = 6
Potenciar 3, 2, 1, 1, 1: ४(3, 2, 1, 1, 1) = ४·3४·2४·1४·1४·1 = 9
Pentificar 3, 2, 1, 1, 1: ५(3, 2, 1, 1, 1) = ५·3५·2५·1५·1५·1 = 27
Hexificar 3, 2, 1, 1, 1: ६(3, 2, 1, 1, 1) = ६·3६·2६·1६·1६·1= 19683
Septificar 3, 2, 1, 1, 1: ७(3, 2, 1, 1, 1) = ७·3७·2७·1७·1७·1
Octificar 3, 2, 1, 1, 1: ८(3, 2, 1, 1, 1) = ८·3८·2८·1८·1८·1
Noveficar 3, 2, 1, 1, 1: ९(3, 2, 1, 1, 1) = ९·3९·2९·1९·1९·1
Decificar 3, 2, 1, 1, 1: १०(3, 2, 1, 1, 1) = १०·3१०·2१०·1१०·1१०·1
...
Treinta-y-cuatrificar 3, 2, 1, 1, 1: ३५(3, 2, 1, 1, 1) =
३५·3३५·2३५·1३५·1३५·1
Etcétera
Denominaré
números operativos, o
nomen-numerales, a las
expresiones del siguiente tipo:
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३, ...
en cuanto
que representen
numeraciones
u
ordenes de numeración; y adicionalmente las usaré si marcadas
con un punto medio:
०·, १·, २·, ३·, ४·, ५·, ६·, ७·, ८·, ९·, १०·, ११·, १२·, १३·, ...
para representar operaciones naturales.
Una numeración decimal de n operaciones
Cifras:
I
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∞
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, ∞
Numeraciones básicas:
un
sn1
para expresar el valor de la base implicada o razón; un
sn2 para
expresar los valores iniciales y dos
sn4 para
expresar valores numéricos y simbolizar las numeraciones a que
corresponden los valores numéricos.
Ejemplo de numeración decimal de n operaciones:
R=IIIIIIIIII
I vale uno, cada I vale por uno diferente, usado en una
numeración
sn1,
simbolizada १. El valor de R en una numeración decimal es el resultado
de
contar: IIIIIIIIII = १·(I, I, I, I, I, I, I, I, I, I) =
१·I१·I१·I१·I१·I१·I१·I१·I१·I१·I = ०·I०·I०·I०·I०·I०·I०·I०·I०·I०·I
Los nombres de las numeraciaciones son simbolizados mendiante las
cifras devanagari:
०, १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९
las cuales son empleadas para hacer
expresiones -que he denominado nomen-numerales- según una
numeración base, que es una
numeración de cuatro operaciones,
sn4, con que nombrar
simbólicamente, si es pertinente, el orden de operación de una
numeración de una expresión escrita con las cifras euro-indias:
0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9
a su continuación.
Ejemplos de expresiones que son nombres de numeraciones -o
'nomennumerales'-:
sn0⇝०, sn1⇝१, sn2⇝२, sn3⇝३, sn4⇝४,
sn5⇝५, sn6⇝६, sn7⇝७, sn8⇝८, sn9⇝९, sn10 ⇝१०, sn11⇝११, etcétera.
Ejemplos de expresiones de valores numéricos: 3, 1, 7, 9, 10, 11, 234,
2006, ५320, ६20, ११30000, ३१30200, ...
En cada expresión 3, 1, 7, 9 se puede considerar implícito २, (a saber:
२3, २1, २7, २9) y en cada expresión 10, 11, 234, 2006 (a saber: ४10,
४11, ४234, ४2006) se puede considerar implícito ४.
Los valores n: 0 < n < R son expresados sucesivamente segun
cifras base euro-indias, las cuales cada una conlleva la convención de
un valor numérico, lo cuál es propio de un
sn2,
simbolizado २, consistente en:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ejemplos las
expresiones: 3, 1, 7, 9.
Los valores n: R-I < n < ४·(R, R) se expresan con un
sn4,
simbolizado:
४
que, si es pertinente, precede a expresiones con las cifras:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9
Ejemplos de
expresiones: 10, 11, 234, 2006.
si el símbolo ४ no es pertinente... se prescinde de escribirlo;
no es pertinente si no hay otra interpretación de la expresión dentro
de la numeración.
En una expresión de
४
las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 -vaya ४ escrito o no- entran
como multiplicadores del valor implicado por su posición. En una
expresión de
४ la
posición
de una cifra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 implica una potenciación de
R por el valor del orden de la posición menos uno; porque, hay una
hibridación del २
anterior, en la
primera posición; de manera que la potencia de R por uno va
implicada en la segunda posición de la expresión, la potencia
de R por dos en la
tercera y así
sucesivamente, reservándose la primera posición para los valores
representados con el २. Los valores y las operaciones parciales, -esto
es, los totales relativos a cada
posición-,
del ४ que resultan ser globalmente decrecientes, se suman.
Los valores n:
n·(R, R)-I <n<
(n+1)·(R,
R) para
n·>४
·, se expresan
mediante
hibridación
de los subsistemas anteriores y sucesivos subsistemas de numeración,
snn rudimentarios. Las
cifras de una
expresión
marcada como siendo de cierto
snn
implican
la
(n-1)ficación del valor
implicado por su posición. La posición de una cifra de una expresión
parcial
marcada como siendo de cierto
snn
implica
la
n-ficación de R por un
valor igual al orden de la posición menos uno; la primera
n-ficación de R va implicada
en la segunda posición, la segunda en la tercera y así sucesivamente.
Ejemplo de explicación:
५320 = ३(४(५(10, 2), 3), ४(५(10, 1), 2)) =
×(^(''(10, 2), 3), ^(''(10, 1), 2))
Las operaciones implicadas en la hibridación para cada subsistema
snn
son la
(n-1)ficación y la
(n-2)ficación. Expresiones de
un
subsistema snn
de valores
con sus
operaciones en posiciones locales -un valor menor- a la izquierda
(n-1)fican
el valor de la posición global -un valor mayor- expresado a su derecha,
los valores con sus operaciones relativos a una posición global
son decrecientes hacia la derecha
(n-2)fican.
Ejemplos
de expresiones:
५10६300 ५220, ५10६300 ४1६220
Ejemplos de
explicaciones:
५10६300 ५220 = ३(४(५(६(10, 2), 3), 10), ३(४(५(10, 2), 2), ४(५(10, 1),
2))) = ×(^(''(¨(10, 2), 3), 10), ×(^(''(10, 2), 2), ^(''(10, 1),
2)))
५10६300 ४1५220 =
२(४(५(६(10,
2), 3), 10), ३(४(५(10, 2), 2), ४(५(10, 1), 2))) = +(^(''(¨(10, 2), 3),
10), ×(^(''(10, 2), 2), ^(''(10, 1), 2))
Adicionalmente, por la explicación se puede deducir que en una
expresión como:
५10६300 ४1५220
la expresiones ५10 y ४1 ocupan posiciones locales, mientras que ६300 y
५220 ocupan posiciones globales, en esto, este sistema de n operaciones
es idéntico a una numeración de tres operaciones en la cual, también,
hay expresiones parciales en posiciones locales y expresiones parciales
asociadas a posiciones globales; la diferencia es que mientras en la
numeración de tres operaciones las posiciones globales eran ocupadas
-si era pertinente- cada una por una cifraa base, en la numeración de n
operaciones estas son ocupadas -si es pertinente- por expresiones de
numeraciones de sucesivos órdenes o del mismo orden pero de valor menor.
Relevancia formal de la expresión: aunque los valores numéricos podrían
expresarse de varias maneras, quizá hay que considerar una pertinencia
formal
de la expresión en función del criterio de no reducción de la precisión
de la expresión
-o precisión máxima en la expresión dell valor numérico- y del criterio
de economía de la expresión -o expresión con la mínima cantidad de
cifras dentro de las reglas de la numeración.
En resumen, el conjunto de subsistemas de numeración quizás forman un
sistema de numeración para expresar con
mayor pertinencia valores mayores de numeros naturales, 0 < n
<
∞, que no resultaría pertinente expresar con numeraciones de pocas
operaciones. Este sistema decimal de n operaciones, si es el caso, se
manifiesta máximamente al expresar valores numéricos que con el resulta
relevante expresar,
quizás sirva para pensar valores numéricos hasta ahora
demasiado
alejados hacia el infinito para los sistemas basados, solamente, en la
implicación de la potenciación, la multiplicación y la suma.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... 20, 30, 40, ...
10^0 = 1
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1000
...
10^9 = 1000000000
10^10 = 10''2 = ५100
10^11 = 10''2×10 = 10५100 = ५110
10^12 = 10''2×10^2 = 100५100 = ५120
10^13 = 10''2×10^3 = 1000५100 = ५130
...
10^19 = 10''2×10^9 = 1000000000५100 = ५190
10^20 = 10''2×10^10 = 10''2×10''2 = 10''2^2 = ५200
10^30 = 10''2^3 = ५300
...
10^90 = 10''2^9 = ५900
10^100 = 10^10^10 = 10''3 = ५1000 = ६30 =
1 googol
10^200 = 10^10^10^2 = 10''3^2 = ५2000 = 2६30
10^300 = 10^10^10^3 = 10''3^3 = ५3000 = 3६30
10^421 = 10^10^10^4×10^10^2×10
= 10''3^4×10''2^2×10''1 = ५4210
...
10^900 = 10^10^10^9 = 10''3^9 = ५9000 = 9६30
10^1000 = 10^10^10^10 = 10''4 = ५10000 = ६40
10^10000 = 10^10^10^10^10 = 10''5 = ५100000 = ६50
10^100000 = 10^10^10^10^10^10 = 10''7 = ५1000000 = ६60 =
1 googol-plex
...
10^100000000 = 10''9 = ५1000000000
10''10 = 10¨2 = ६100 = ७20 =
1
seguido de un millón de ceros
10''10×10 = 10¨2×10 = 10६100 = ६100५10
10''10×1000000000 = 10¨2×10^9 = ६100५90
10''10×10^10 = 10¨2×10''2 = ६100५100
10''10×10^100000000 = 10¨2×10''9 = ६100५1000000000 = ६100५1६90
10''10^2 = 10¨2^2 = ५2६100 =
1
seguido de un billón de ceros
10''10^9 = 10¨2^9 = ५9६100
10''11 = 10''10^10 = 10¨2^10¨1= ५10६100 = ६110
10''11×10 =
10''10^10×10 = 10¨2^10¨1×10 = 10६110
10''12 =
10''10^10^10 = 10''10^10''2 = 10¨2^10¨1''2 = ६120
10''12×10 =
10''10^10^10×10 = 10''10^10''2×10 = 10¨2^10¨1''2×10 = 10६120
Se podrá pensar valores numéricos similares a los pensados para el
siguiente ejemplo:
२१००७2300
210072300
[21007]2300
nixxt2300
Esto es 2300 en un sistema numérico de
veinte y un mil siete operaciones
naturales, un
sn21007,
en que २१००७2300 implica:
२१००७2300 = २१००५(२१००६(२१००७(10, 3)
, 2), २१००६(२१००७(10,
2),
3))
210072300 = 10
o210073
o210062
o2100510
o210072
o210063
[21007]2300 = 10
o210073
o210062
o2100510
o210072
o210063
nixxt2300 = 10
o210073
o210062
o2100510
o210072
o210063
No hay otra manera que conozca de expresar tal valor numérico como:
२१००७2300
no puedo
decir que no sea capaz de imaginarlo porque ahí está, y la
cuestión de expresarlo en un
sn4
tiene que ver no solo con la
capacidad mental, sino con una capacidad energética, muscular,
maquinal y temporal de
hacerlo; pues, considerar que no he pensado el valor numérico:
२१००७2300
porque no lo haya expresado en un sistema posicional decimal, es
similar a considerar que no he pensado en un millón si no he contado
hasta un millón; si al decir millón pienso en un millón, al escribir:
"२१००७2300"
es porque he pensado en el valor numérico:
२१००७2300
El operar con estos números quizás sea interesante.
¿Cómo leer २१००७2300?
Una manera simple de leerlo es considerar las lecturas de las cifras
así 0 cero, 1 uno, 2 dos, 3 tres, 4 cuatro, 5 cinco, 6 seis, 7 siete, 8
ocho, 9 nueve, dar estas mismas lecturas a las cifras devanagari: ०
cero, १ uno, २ dos, ३ tres, ४ cuatro, ५ cinco, ६ seis,
७ siete, ८ ocho, ९ nueve y emplear el término "gésima" para completar
el nombre de una numeración. Entonces leer:
२१००७2300 "dos uno cero cero siete
gésima
dos tres cero cero"
esto es "el valor correspondiente a la expresión 2300 en la numeración
२१००७".
Si se leyera a la manera popular sería así:
२१००७2300 "ventiunmilseptuagésima
dosmiltrescientos"
Esto es el valor correspondiente a la expresión 2300 en la numeración
ventiunmilseptuagésima, tanto:
"ventiunmilseptuagésima"
como:
"dosmiltrescientos"
en este caso funcionan como nombres propios de:
२१००७ y de 2300
y no como expresiones
de valores numéricos por suma de productos.
Tengo que hacer otras cosas, por consiguiente, dejaré esta indagación
hacia el infinito.
Referencias:
Georges Ifrah: "Historia
Universal de las Cifras"; 1996 páginas. Espasa Y Calpe; Madrid 2001.
(Traducido del francés al español por: Juan María López de Sa y de
Madariaga; José Luis Prieto Pérez; Jose Manuel Rodríguez Sanjurjo; Juan
Tarres Freixenet; Sergio Toledo Prats.)