Es posible calcular la posición de uno de los planetas con una precisión de un minuto de arco usando una calculadora científica en poco más de veinte minutos.
Necesitaremos los elementos orbitales del planeta en cuestión y de la Tierra. Estos elementos tienen en cuenta las interacciones mutuas de los planetas para una fecha dada, pero para fechas diferentes a la de los elementos la precisión será menor. La ventaja es su simplicidad, estamos usando un modelo simple de dos cuerpos en una órbita con el Sol en uno de los focos.
Como ejemplo calcularemos la posición de Júpiter y la precisión de la posición será de unos minutos de arco tanto en días posteriores como anteriores a la fecha de los elementos (aproximadamente un año en ambos sentidos).
La imagen de un planeta moviéndose a lo largo de una órbita elíptica sometido a las leyes de Kepler parece tan simple que olvidamos cuan confuso y difícil fue el desarrollo de esta idea. Para mencionar sólo un detalle, en el periodo después de Kepler y antes de Newton, no existía una buena teoría sobre la refracción atmosférica, así que las posiciones de los planetas tenían errores sistemáticos que dependían del ángulo sobre el horizonte en el que eran hechas las observaciones. Éstas no ajustarían a elipses de una manera consistente y Kepler, Horrocks y Streete (entre otros) se enfrentaron a estas anomalías en el sentido descrito por Kuhn en su libro (Kuhn, 1962).
Las posiciones de los objetos en el cielo tal como se ven desde la Tierra están referidas a un sistema de coordenadas cuya alineación cambia con el tiempo de un modo complejo. Unos pocos, pero importantes, movimiento y efectos se resumen a continuación:
La precesión de los equinoccios significa que el "cero" de AR cambia lentamente con el tiempo, lo que significa que las coordenadas estelares deben referirse siempre a una época o fecha. Al usar los elementos orbitales correspondientes a la época fundamental J2000, las órbitas de los planetas se describen en un sistema de coordenadas que está basado en el equinoccio vernal de J2000. Una ventaja adicional es que nuestras posiciones para los planetas corresponderán exactamente con las posiciones que se encuentran en los atlas estelares más recientes. Será posible por tanto, dibujar la trayectoria de Júpiter directamente sobre una carta estelar tal como The Cambridge Star Atlas
La nutación (cuyo efecto es pequeño de todos modos) puede ser tenida en cuenta de forma indirecta refiriendo nuestras posiciones a la eclíptica media de J2000. La palabra "media" que no se ha tenido en cuenta la nutación. Nuestra plataforma de observación (la Tierra) cabecea, así que las estrellas y planetas parecerán cabecear. Los elementos correspondientes a J2000 darán unas coordenadas que coincidirán con la de las estrellas encontradas en los mapas estelares.
Existen fórmulas aproximadas y exactas para convertir posiciones en un tiempo a posiciones en otro tiempo [Duffett-Smith, secciones 34 y 35] [Meeus, capítulos 21 y 22].
Una órbita elíptica puede ser caracterizada por los valores de vaios números. Se debe especificar el plano de la órbita, el tamaño de la misma y su excentricidad, asi como la posición del perihelio y la posición del planeta en el día de los elementos. Existen varios conjunto de números que pueden usarse, y un conjunto puede convertirse en otro. El "Astronomical Almanac" da siete números para especificar una órbita:
JD = 2452120.5
Eclíptica y equinoccio medios de J2000.0
Tierra Júpiter
i 0º.00031 1º.30406
W 182º.0 100º.5118
v 102º.9568 15º.2061
a 1.0000070 5.203704
n 0.9855988 0.08306966
e 0.0166665 0.0489055
L 307º.68053 82º.14510
Los valores de los otros planetas se pueden encontrar en
el listado de programa en VBasic que hay más abajo.
Las secciones que siguen nos van a llevar a la obtención de AR y DEC a partir de los elementos orbitales. Como ejemplo calcularemos la posición de Júpiter el 25 de Junio de 2001. Las principales etapas en el cálculo son:
El método usado aquí es una adaptación del empleado por Paul Schlyter en su página "How to compute planetary positions".
Elementos i Inclinación W Longitud del nodo ascendente en la fecha de los elementos v Longitud del perihelio en la fecha de los elementos a Distancia media (UA) n Movimiento diario e Excentricidad de la órbita L Longitud media en la fecha de los elementos Cantidades calculadas M Anomalía media (º) v Anomalía verdadera (º) r Radio vector (UA) referido al origen de coordenadas actual X Coordenada rectangular (UA) Y Coordenada rectangular (UA) Z Coordenada rectangular (UA) a Ascensión recta (h ó º de acuerdo al contexto) d Declinación (º)
Para calcular el número de días que han pasado desde la fecha de los elementos (dt) se calcula el día juliano tanto para la fecha de los elementos (dele) como para la fecha de la observación (dobs) y se calcula la resta:
dt = dobs - deleEn el caso de que la fecha de observación sea anterior a la fecha de los elementos se mantendrá el signo negativo de d a lo largo de todo el cálculo.
El cálculo de día juliano de una fecha dada puede llevarse a cabo siguiendo el siguiente algoritmo:
Cálculo del día juliano de la fecha 25 de Julio de 2001 a = 2001 m = 6: m' = 6 d = 25: d' =25 A = 20: B = -13 C = 730865: D = 214 DJ = 2452085.5Por lo tanto el tiempo en días transcurridos en el ejemplo desde la fecha de los elementos será
dt = 2452085.5 - 2452120.5 dt = -35es decir, 35 días antes de la fecha de los elementos. El signo negativo debe mantenerse a lo largo de todo el cálculo.
Para planetas de movimiento rápido tales como Mercurio o Marte, se necesita incluir en el dia de observación la fracción de horas requerida. Sólo tenemos que sumar el TU en horas decimales divididas por 24 al número de día de la posición (dobs)
La anomalía media del planeta se calcula mediante la siguiente fórmula:
M = n * d + L - v n es el movimiento diario d es el número de días desde la fecha de los elementos L es la longitud media v es la longitud del perihelio M debe estar dentro del rango 0 a 360 gradosPara el caso de Júpiter y -35 días desde la fecha de los elementos:
n = 0.08306966 d = -35 L = 82.14510 v = 15.2061 M = 0.08306966 * -35 + 82.14510 - 15.2061 = 64º.031562
La segunda ley de Kepler establece que el radio vector de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto significa que el planeta tiene velocidades distintas a lo largo de la órbita. La anomalía media del planeta nos dice donde estaría el planeta si siempre tuviera la misma velocidad y describiera una órbita circular de radio el semieje mayor de la órbita elíptica. Queremos saber ahora cual es el ángulo verdadero desde el perihelio.
Para este cálculo manual, usamos una aproximación para hallar la anomalía verdadera llamada Ecuación del Centro. Esta aproximación toma la forma de una serie de potencias de la excentricidad y el seno de la anomalía media. El "Astronomical Almanac" (página E4) proporciona la serie hasta la tercera potencia de la excentricidad. En nuestra nomenclatura:
v = M + 180/pi * [(2 * e - (e^3) /4) * sin (M)
+ 5/4 * e^2 * sin (2*M)
+ 13/12 * e^3 * sin (3*M)]
v es la anomalía verdadera
M es la anomalía media
e es la excentricidad
pi es 3.14159...
Para la posición de Júpiter tenemos:
M = 64º.031562 e = 0.0489055 v = 64.031562 + 57.29577951 * [0.087909 + 0.002354 - 0.0000266] = 64.031562 + 5.170175450 = 69º.201737
La distancia del planeta al foco de la elipse viene dada por una sencilla fórmula basada en la geometría de la elipse:
r = a * (1 - e^2) / [1 + e * cos (v)]
a es el semieje mayor
e es la excentricidad
v es la anomalía verdadera
el radio vector r tendrá las mismas unidades que a, U.A. en este caso
En el ejemplo de Júpiter que estamos calculando:
a = 5.203704 U.A.
e = 0.0489055
v = 69º.201737
r = 5.203704 * (1 - 0.0489055^2) / [1 + 0.0489055 * cos(69.201737)]
= 5.10264903 U.A.
Habiendo calculado la anomalía verdadera y el radio vector del planeta, vamos a calcular ahora la posición del planeta con respecto al plano de la Eclíptica. Las ecuaciones que se muestran a continuación son una combinación de resolución y rotación alrededor de varios ejes para transformar las coordenadas al marco de la Eclíptica. Estas ecuaciones implican a la inclinación de la órbita del planeta (i), y varios ángulos en el plano de la órbita, asi como la longitud del nodo ascendente (W).
X = r * [cos(W) * cos(v + v - W) - sen(W) * sen(v + v - W) * cos(i)] Y = r * [sen(W) * cos(v + v - W) + cos(W) * sen(v + v - W) * cos(i)] Z = r + [sen(v + v - W) * sen(i)] r es el radio vector v es la anomalía verdadera W es la longitud del nodo ascendente v es la longitud del perihelio i es la inclinación de la órbita del planetaEn el caso de Júpiter tenemos:
r = 5.10264903 U.A. v = 69º.201737 W = 100º.5118 v = 15º.2061 i = 1º.30406 v + W - v = -16.103963 + 360 = 343º.896037 De estos valores obtenemos las siguientes coordenadas rectangulares: X = 5.10264903 * [ -0.17527915 + 0.27265528 ] = 0.49687624 Y = 5.10264903 * [ 0.94463588 + 0.05059175 ] = 5.07829732 Z = 5.10264903 * [ 0.02237623 ] = -0.03221143 Como comprobación SQR(X^2 +Y^2 + Z^2) debe ser igual a r
Debemos calcular ahora la anomalía verdadera y el radio vector de la Tierra usando el mismo método que hemos empleado para el planeta. Estos cálculos se esentan en forma más compacta.
M = 0.9855988 * -35 + 307.68053 - 102.9568 = 170º.227772 v = 170.227772 + 57.29577951 * [ 0.005657475 - 0.000116157 + 0.00000246 ] = 170.227772 + 0.317634845 = 170º.5454068 r = 1.0000070 * (1 - 0.0166665^2) / [1 + 0.0166665 * cos(170.5454068)] = 1.01643960 U.A. Xt = 0.06209123 Yt = -1.01454134 Zt = 0.00000550
El cambio del origen de coordenadas desde el Sol a la Tierra es muy fácil, únicamente restamos a cada coordenada del planeta la coordenada correspondiente de la Tierra:
X' = X - Xt Y' = Y - Yt Z' = Z - ZtEn nuestro caso tenemos:
X' = 0.49687624 - 0.06209123 = 0.43478501 Y' = 5.07829732 - -1.01454134 = 6.09283866 Z' = -0.03221143 - 0.00000550 = -0.03221693
El cambio de sistema de coordenadas de geocéntricas elípticas a geocéntricas ecuatoriales es solo cuestión de rotación alrededor del eje X un ángulo igual a la oblicuidad de la Eclíptica. El eje X apunta hacia el "Primer punto de Aries", el cual es la dirección espacial asociada con el equinoccio. Como estamos usando elementos que se refieren al equinoccio de J2000.0, usaremos la oblicuidad para esa época, que tiene un valor de 23º.439292. Las ecuaciones se dan a continuación.
Xq = X'
Yq = Y' * cos(ec) - Z' * sen (ec)
Zq = Z' * sen(ec) + Z' * cos (ec)
Siendo Xq las coordenadas ecuatoriales,
X' las coordenadas geocéntricas eclípticas y
ec la oblicuidad de la Eclíptica
Para Júpiter tenemos
Xq = 0.43478501 Yq = 5.60288530 Zq = 2.39403367Las coordenadas rectangulares no son muy útiles con las cartas estelares, así que calcularemos la ascensión recta (a) y la declinación (d) usando las ecuaciones:
a = arctan(Yq / Xq) Si Xq es negativa se suman 180º a a Si Xq es positiva y Yq negativa se suman 360º a a a se expresa normalmente en horas, así que dividimos por 15 d = arctan(Zq / (SQRT(Xq^2 + Yq^2)) distancia = SQRT(Xq^2 + Yq^2 + zq^2)Para Júpiter tenemos
a = arctan(5.60288530 / 0.43478501)
= 85.56272867 / 15 = 5.70418 h = 5h 42m 15.048s
d = arctan(2.39403367 / 5.61972968)
= 23º.07425 = 23º 4' 27".3
distancia = SQRT(0.43478501^2 + 5.60288530^2 + 2.39403367^2)
= 6.10841705 U.A.
Pincha en el hipervínculo para obtener el programa posiciones que calcula las coordenadas heliocéntricas rectangulares dela Tierra y el planeta elegido para un determinado instante, así como las coordenadas geocéntricas ecuatoriales del planeta. Los datos a introducir son:
El error en las posiciones calculadas mediante este método no aumenta de manera uniforme a medida que nos separamos de la época de los elementos sino que tiene un comportamiento complejo. En los gráficos que se presentan a continuación podemos ver este comportamiento para Júpiter, tanto en Ascensión Recta como en declinación. Estos gráficos han sido obtenidos representando en una hoja de cálculo la diferencia entre el valor obtenido mediante el método comentado aquí y los valores dados por el programa Planeph 4.1.
Los rasgos principales de este gráfico son:
Los rasgos principales de este gráfico son:
Practical Astronomy with your calculator
Peter Duffett-Smith
Cambridge University Press
ISBN 0-521-35699-7 (3ª edición)
Astronomical Algorithms
Jean Meeus
Willmann-Bell, Inc.
ISBN 0-943396-61-1 (2ª edición)
The Structure of Scientific Revolutions
Thomas S. Kuhn
The University of Chicago Press
ISBN 0-226-45808-3 (3ª edicion)