En esta página vas a encontrar un método para calcular de manera aproximada la posición de los planetas. Este método es exacto hasta el grado, lo que es suficiente para la observación con prismáticos. Como un ejemplo del método voy a calcular la posición de Venus y Saturno para las 0h TU del día 27 de enero de 2001
Este método está basado en la sección 55 del libro de Peter Duffett-Smith Practical Astronomy with your Calculator (3ª ed., 1990).
Si quieres posiciones exactas de los planetas hasta 2006, te sugiero que eches un vistazo a la página NASA Twelve Year Planetary Ephemeris (TYPE) mantenidad por Fred Espenak. He usado sus datos para comprobar la exactitud del método que voy a utilizar.
Los planetas orbitan el sol siguiendo una trayectoria aproximadamente elíptica. El plano de cada una de las órbitas está ligeramente inclinado con respecto el plano de la Eclíptica un pequeño ángulo varible. Ambos hechos complican el cálculo de la posición del planeta. En el cálculo que se desarrolla a continuación vamos a hacer dos grandes aproximaciones:
Como una de las simplificaciones que usamos es la permanencia de todas las órbitas en un mismo plano, una simple suma nos dará la Longitud Heliocéntrica del planeta. La Latitud Heliocéntrica se toma como cero a lo largo de todo el cálculo. También necesitaremos calcular la Longitud Heliocéntrica de la Tierra, para así poder calcular las posiciones referidas a la Tierra en una etapa posterior.
Habiendo calculado las posiciones de la Tierra y el planeta como un ángulo referido al Sol, necesitamos expresarlas con referencia a la Tierra. Esto requiere el uso de algunas funciones trigonométricas. Acabaremos calculando la Longitud Geocéntrica del planeta, de nuevo la Latitud Geocéntrica del planeta será cero debido a las simplificaciones que hemos tenido en cuenta.
Los mapas estelares y los planisferios están calibrados en Coordenadas ecuatoriales, Ascensión Recta y Declinación. Necesitamos transformar la Longitud Eclíptica Geocéntrica en AR y DEC.
Únicamente vamos a necesitar la longitud media para la época (L) y el movimiento diario (n) del planeta y de la Tierra y el semieje mayor de la órbita del planeta (a), el cual debe ser entendido como el radio de una órbita circular. Los valores dados por el Anuario 2000 son:
Época J2000.0 12h TU 1 Enero 2000
Planeta | n | L | a |
Mercurio | 4º.092377 | 252º.251 | 0.387098 |
Venus | 1º.602169 | 181º.980 | 0.723330 |
Tierra | 0º.985647 | 100º.466 | 1.000001 |
Marte | 0º.524071 | 355º.433 | 1.523679 |
Júpiter | 0º.083129 | 34º.351 | 5.202603 |
Saturno | 0º.033498 | 50º.075 | 9.554910 |
Urano | 0º.011769 | 314º.055 | 19.218446 |
Neptuno | 0º.006020 | 304º.349 | 30.110387 |
n - movimiento diario en grados por día L - Lóngitud Media o Longitud de la Época (grados) a - Distancia media (UA) (tomada aquí como radio de la órbita)
Como hemos supuesto que las órbitas son circulares, los planetas se mueven con velocidad constante. Para encontrar la Longitud Heliocéntrica de la Tierra un número de días dado después de la época de los elementos, solamente tenemos que multiplicar el número de días por el movimiento diario y añadirlo a la Longitud de la época de los elementos. Debemos mantener esta longitud dentro del rango de 0º a 360º.
La longitud heliocéntrica de la Tierra se calcula:
lht - Longitud helicéntrica de la Tierra nt - movimiento diario de la Tierra D - número de días desde la época de los elementos Lt - lóngitud de la Tierra en la época de los elementos 1) lht = nt * D + Lt Resta múltiplos de 360 para dejar lht en el rango 0º-360ºEl 27 de Enero de 2001
nt = 0º.985647 D = 365.5 + 27 = 392.5 desde la época de los elementos Lt = 100º.466 1) lht = 0º.985647 * 392.5 + 100º.466 = 487º.3324475 = 127º.3324475Este valor se usará para referir las posiciones de Venus y Saturno con respecto a la Tierra.
Para calcular la Longitud geocéntrica de Venus, primero calculamos su Longitud Heliocéntrica (etapa 2) y entoncesces cambiamos el centro de coordenadas a la Tierra (etapas 3 a 5). La fórmula utilizada para hacer esta transformación es diferente si se trata de planetas interiores o exteriores.
2) lhv = nv * D +Lv El 27 de enero de 2001 nv = 1º.602169 D = 392.5 Lv = 181º.980 2) lhv = 1º.602169 * 392.5 + 181º.980 = 810º.8313325 = 90º.8313325
Sabiendo que: av - radio de la órbita de Venus lht y lhv - Longitudes Heliocéntricas de la Tierra y Venus lgv - Longitud Geocéntrica de Venus 3) Calculamos: Y = av * sen(lht - lhv) (siempre en el rango de -0.75 a 0.75) X = 1 - av * cos(lht - lhv) (siempre en el rango de 0.2 a 1.8) 4) Calculamos atan(Y/X). Si Y es negativa, sumamos 360 al resultado de atan(Y/X), X es siempre positiva. 5) Entonces lgv = 180 + lht + atan (Y/X) Se suma o resta intervalos de 360 para dejar el valor dentro del rango La Latitud Geocéntrica de Venus es cero.Para el 27 de Enero de 2001
av = 0.723330 lht = 127º.3324475 lhv = 90º.8313325 lgv = Latitud Geocéntrica de Venus 3) Y = 0.723330 * sen(127º.3324475 - 90º.8313325) = 0.4302644816 X = 1 - 0.723330 * cos(127º.3324475 - 90º.8313325) = 0.4185545900 4) atan (Y/X) = 45º.790374333 5) lgv = 180 + 127º.3324475 + 45º.790374333 = 353º.12282183
Para calcular la Longitud Heliocéntrica de Saturno, calculamos la Longitud heliocéntrica de Saturno (etapa 2) y cambiamos el origen de coordenadas a la Tierra (etapas 3 a 5). La ecuación utilizada es diferente para planetas exteriores e interiores.
2) lhs = ns * D * Ls Restando múltiplos de 360º para dejar el valor dentro del rango 0º-360º lhs = Longitud Helicéntrica de Saturno ns = movimiento diario de Saturno D = número de días desde la época de los elementos Ls = Lóngitud Heliocéntrica de Saturno en la época de los elementosEl 27 de Enero de 2001:
ns = 0º.033498 D = 365.5 + 27 = 392.5 desde la época de los elementos Ls = 50º.075 2) lhs = 0º.033498 * 392.5 + 50º.075 = 63º.222965
Sabiendo que: aj - radio de la órbita de Saturno lht y lhs - Longitudes Heliocéntricas de la Tierra y Saturno lgs - Longitud Geocéntrica de Saturno 3) Calculamos: Y = sen(lhs -lht) (siempre en el rango de -1 a 1) X = as - cos(lhs -lht) (siempre en el rango de 8.55 a 10.55) 4) Calculamos atan(Y/X) Si Y < 0 se suma 360 al resultado, X siempre es positivo 5) Entonces lgs = lhs +atan(X/Y) suma o resta múltiplos de 360 para llevar el valor dentro del rango 0-360 La Latitud Geocéntrica de Saturno se toma como cero.Para el 27 de Enero de 2001
as = 9.554910 lht = 127º.3324475 lhs = 63º.222965 lgs = Longitud Geocéntrica de Saturno 3) Y = sen(63º.222965 - 127º.3324475) = -0.8996300577 X = 9.554910 -cos(63º.222965 - 127º.3324475) = 9.118257095 4) atan(X/Y) = 354.3652911 5) lgs = 63º.222965 + 354.3652911 = 417º.5882561 = 57º.5882561Debido a las grandes suposiciones que hemos hecho, la Latitud Geocéntrica de Saturno es cero.
En las secciones anteriores hemos calculado la Longitud Geocéntrica (lgp) y Latitud geocéntrica de Venus y Saturno. Vamos a calcular ahora las Coordenadas Ecuatoriales de los planetas, Ascensión Recta, (AR) y Declinación (DEC). Para ello usaremos un valor para la inclinación de la Eclíptica (E) con respecto al Ecuador de 23º.42736.
E - Inclinación de la Eclíptica lgp - Longitud Geocéntrica del planeta lgv para Venus y lgs para Saturno 6) Y = sen(lgp) * cos (E) X = cos(lgp) RA' = arctan(Y/X) Si X < 0 sumamos 180º al valor de RA' Si Y < 0 y X >> 0 sumamos 360º al valor de RA' Si no se cumple ninguna de estas condiciones dejamos sin cambiar RA' DEC = arcsen(sen(lgp) * sen(E))
E = 23º.42736 lgv = 353º.12282183Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores tenemos:
6) Y = sen(353º.12282183) * cos(23º.42736) = -0.1098800966 X = cos(353º.12282183) = 0.9928051156 RA' = arctan(-0.1098800966 / 0.9928051156) = -6º.315587235 RA = 353º.6844113 = 23.5789609 h = 23h 34m DEC = arcsen(sen(353º.12282183) * sen(23º.42736)) = -0º.0476075 = -(0º 3m)TYPE da para Venus el día 27 de Enero de 2001 RA = 23h 36m y DEC = -(1º 41m)
E = 23º.42736 lgs = 57º.5882561Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores tenemos:
6) Y = sen(57º.5882561) * cos(23º.42736) = 0.7746248559 X = cos(57º.5882561) = 0.5359998454 RA' = arctan(0.7746248559 / 0.5359998454) = 55º.31879412 RA = 3.6879196 h = 3h 41m DEC = arcsen(sen(57º.5882561) * sen(23º.42736)) = 19º.61203052 = 19º 37mTYPE da para Saturno el día 27 de Enero de 2001 RA = 3h 28m y DEC = 16º 46m
Practical Astronomy with your calculator
Peter Duffett-Smith
Cambridge University Press
ISBN 0-521-35699-7 (3ª edición)
Anuario del Observatorio Astronómico 2000
Instituto Geográfico Nacional
ISBN 84-7819-066-X