Posiciones planetarias usando órbitas circulares
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Raiz]


Contenidos


Introducción

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En esta página vas a encontrar un método para calcular de manera aproximada la posición de los planetas. Este método es exacto hasta el grado, lo que es suficiente para la observación con prismáticos. Como un ejemplo del método voy a calcular la posición de Venus y Saturno para las 0h TU del día 27 de enero de 2001

Este método está basado en la sección 55 del libro de Peter Duffett-Smith Practical Astronomy with your Calculator (3ª ed., 1990).

Si quieres posiciones exactas de los planetas hasta 2006, te sugiero que eches un vistazo a la página NASA Twelve Year Planetary Ephemeris (TYPE) mantenidad por Fred Espenak. He usado sus datos para comprobar la exactitud del método que voy a utilizar.

Método

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Los planetas orbitan el sol siguiendo una trayectoria aproximadamente elíptica. El plano de cada una de las órbitas está ligeramente inclinado con respecto el plano de la Eclíptica un pequeño ángulo varible. Ambos hechos complican el cálculo de la posición del planeta. En el cálculo que se desarrolla a continuación vamos a hacer dos grandes aproximaciones:

Habiendo hecho estas dos aproximaciones, podemos dividir el cálculo en cuatro etapas principales: Para conocer la posición actual de un planeta en su órbita, sólo necesitamos conocer su posición en un instante de tiempo (conocido como época y cual es la velocidad del planeta. Este tipo de información se lista para varios días en el Anuario del Observatorio Astronómico y también en el libro de Duffett-Smith, así como en otros libros. Un conjunto de siete números definen sin ambigüedad una órbita elíptica, y este conjunto son los elementos de la órbita. Sólo listaré los elementos necesarios para llevar a cabo el cálculo simplificado.

Como una de las simplificaciones que usamos es la permanencia de todas las órbitas en un mismo plano, una simple suma nos dará la Longitud Heliocéntrica del planeta. La Latitud Heliocéntrica se toma como cero a lo largo de todo el cálculo. También necesitaremos calcular la Longitud Heliocéntrica de la Tierra, para así poder calcular las posiciones referidas a la Tierra en una etapa posterior.

Habiendo calculado las posiciones de la Tierra y el planeta como un ángulo referido al Sol, necesitamos expresarlas con referencia a la Tierra. Esto requiere el uso de algunas funciones trigonométricas. Acabaremos calculando la Longitud Geocéntrica del planeta, de nuevo la Latitud Geocéntrica del planeta será cero debido a las simplificaciones que hemos tenido en cuenta.

Los mapas estelares y los planisferios están calibrados en Coordenadas ecuatoriales, Ascensión Recta y Declinación. Necesitamos transformar la Longitud Eclíptica Geocéntrica en AR y DEC.

Elementos de las órbitas

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Únicamente vamos a necesitar la longitud media para la época (L) y el movimiento diario (n) del planeta y de la Tierra y el semieje mayor de la órbita del planeta (a), el cual debe ser entendido como el radio de una órbita circular. Los valores dados por el Anuario 2000 son:

Época J2000.0 12h TU 1 Enero 2000

Planeta n L a
Mercurio 4º.092377 252º.251 0.387098
Venus 1º.602169 181º.980 0.723330
Tierra 0º.985647 100º.466 1.000001
Marte 0º.524071 355º.433 1.523679
Júpiter 0º.083129 34º.351 5.202603
Saturno 0º.033498 50º.075 9.554910
Urano 0º.011769 314º.055 19.218446
Neptuno 0º.006020 304º.349 30.110387

n - movimiento diario en grados por día L - Lóngitud Media o Longitud de la Época (grados) a - Distancia media (UA) (tomada aquí como radio de la órbita)

Posición de la Tierra en su órbita

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Como hemos supuesto que las órbitas son circulares, los planetas se mueven con velocidad constante. Para encontrar la Longitud Heliocéntrica de la Tierra un número de días dado después de la época de los elementos, solamente tenemos que multiplicar el número de días por el movimiento diario y añadirlo a la Longitud de la época de los elementos. Debemos mantener esta longitud dentro del rango de 0º a 360º.

La longitud heliocéntrica de la Tierra se calcula:

lht - Longitud helicéntrica de la Tierra
nt  - movimiento diario de la Tierra
D   - número de días desde la época de los elementos
Lt  - lóngitud de la Tierra en la época de los elementos

1) lht = nt * D + Lt

    Resta múltiplos de 360 para dejar lht en el rango 0º-360º
El 27 de Enero de 2001
nt = 0º.985647
 D = 365.5 + 27 = 392.5 desde la época de los elementos
Lt = 100º.466

1) lht = 0º.985647 * 392.5 + 100º.466
       = 487º.3324475
       = 127º.3324475
Este valor se usará para referir las posiciones de Venus y Saturno con respecto a la Tierra.

Venus (planeta interior)

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Para calcular la Longitud geocéntrica de Venus, primero calculamos su Longitud Heliocéntrica (etapa 2) y entoncesces cambiamos el centro de coordenadas a la Tierra (etapas 3 a 5). La fórmula utilizada para hacer esta transformación es diferente si se trata de planetas interiores o exteriores.

Posición de Venus en su órbita

Con los mismos argumentos que para la Tierra, la posición de Venus puede ser calculada con la siguiente fórmula:
2) lhv = nv * D +Lv

El 27 de enero de 2001

 nv = 1º.602169
  D = 392.5
 Lv = 181º.980

2) lhv = 1º.602169 * 392.5 + 181º.980
       = 810º.8313325
       = 90º.8313325

Tomando la Tierra como centro de coordenadas

Las ecuaciones siguientes transforman la Longitud de Venus de Heliocéntrica a Geocéntrica. Sólo funcionan para planetas interiores (Venus y Mercurio).
Sabiendo que:

       av - radio de la órbita de Venus
lht y lhv - Longitudes Heliocéntricas de la Tierra y Venus
      lgv - Longitud Geocéntrica de Venus

3) Calculamos:

    Y = av * sen(lht - lhv)      (siempre en el rango de -0.75 a 0.75)
    X = 1 - av * cos(lht - lhv)  (siempre en el rango de 0.2 a 1.8)

4) Calculamos atan(Y/X). Si Y es negativa, sumamos 360 al resultado de atan(Y/X),
   X es siempre positiva.

5) Entonces

    lgv = 180 + lht + atan (Y/X)

    Se suma o resta intervalos de 360 para dejar el valor dentro del rango

La Latitud Geocéntrica de Venus es cero.
Para el 27 de Enero de 2001
 av = 0.723330
lht = 127º.3324475
lhv =  90º.8313325
lgv = Latitud Geocéntrica de Venus

3) Y = 0.723330 * sen(127º.3324475 - 90º.8313325)
     = 0.4302644816

   X = 1 - 0.723330 * cos(127º.3324475 - 90º.8313325)
     = 0.4185545900

4) atan (Y/X) = 45º.790374333

5) lgv = 180 + 127º.3324475 + 45º.790374333
       = 353º.12282183

Saturno (planeta exterior)

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Para calcular la Longitud Heliocéntrica de Saturno, calculamos la Longitud heliocéntrica de Saturno (etapa 2) y cambiamos el origen de coordenadas a la Tierra (etapas 3 a 5). La ecuación utilizada es diferente para planetas exteriores e interiores.

Posición de Saturno en su órbita

La Longitud heliocéntrica de Saturno puede calcularse mediante la siguiente ecuación:
2) lhs = ns * D * Ls

   Restando múltiplos de 360º para dejar el valor dentro del rango 0º-360º

   lhs = Longitud Helicéntrica de Saturno
   ns  = movimiento diario de Saturno
   D   = número de días desde la época de los elementos
   Ls  = Lóngitud Heliocéntrica de Saturno en la época de los elementos
El 27 de Enero de 2001:
ns = 0º.033498
 D = 365.5 + 27 = 392.5 desde la época de los elementos
Ls = 50º.075

2) lhs = 0º.033498 * 392.5 + 50º.075
       = 63º.222965

Tomando la Tierra como centro de coordenadas

El desarrollo que se presenta a continuación transforma la la Longitud Heliocéntrica de Saturno en Geocéntrica. Esta ecuación sólo puede usarse con planetas exteriores (Marte, Júpiter, saturno, Urano, Neptuno)
Sabiendo que:

       aj - radio de la órbita de Saturno
lht y lhs - Longitudes Heliocéntricas de la Tierra y Saturno
      lgs - Longitud Geocéntrica de Saturno

3) Calculamos:

    Y = sen(lhs -lht)        (siempre en el rango de -1 a 1)
    X = as - cos(lhs -lht)   (siempre en el rango de 8.55 a 10.55)

4) Calculamos atan(Y/X)
    Si Y < 0 se suma 360 al resultado, X siempre es positivo

5) Entonces
    lgs = lhs +atan(X/Y)

    suma o resta múltiplos de 360 para llevar el valor dentro del rango 0-360

La Latitud Geocéntrica de Saturno se toma como cero.
Para el 27 de Enero de 2001
 as = 9.554910
lht = 127º.3324475
lhs =  63º.222965
lgs = Longitud Geocéntrica de Saturno

3) Y = sen(63º.222965 - 127º.3324475)
     = -0.8996300577

   X = 9.554910 -cos(63º.222965 - 127º.3324475)
     =  9.118257095

4) atan(X/Y) = 354.3652911

5) lgs = 63º.222965 + 354.3652911
       = 417º.5882561
       =  57º.5882561
Debido a las grandes suposiciones que hemos hecho, la Latitud Geocéntrica de Saturno es cero.

Transformación a AR y DEC

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En las secciones anteriores hemos calculado la Longitud Geocéntrica (lgp) y Latitud geocéntrica de Venus y Saturno. Vamos a calcular ahora las Coordenadas Ecuatoriales de los planetas, Ascensión Recta, (AR) y Declinación (DEC). Para ello usaremos un valor para la inclinación de la Eclíptica (E) con respecto al Ecuador de 23º.42736.

E   - Inclinación de la Eclíptica
lgp - Longitud Geocéntrica del planeta
      lgv para Venus y lgs para Saturno

6) Y = sen(lgp) * cos (E)

   X = cos(lgp)

   RA' = arctan(Y/X)

   Si X < 0 sumamos 180º al valor de RA'
   Si Y < 0 y X >> 0 sumamos 360º al valor de RA'
   Si no se cumple ninguna de estas condiciones dejamos sin cambiar RA'

   DEC = arcsen(sen(lgp) * sen(E))

Resultados para Venus

Para el 27 de Enero de 2001, tenemos los siguientes valores de Venus:
  E =  23º.42736
lgv = 353º.12282183
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores tenemos:
6) Y   = sen(353º.12282183) * cos(23º.42736)
       = -0.1098800966

   X   = cos(353º.12282183)
       = 0.9928051156

   RA' = arctan(-0.1098800966 / 0.9928051156)
       = -6º.315587235

   RA  = 353º.6844113
       = 23.5789609 h
       = 23h 34m

   DEC = arcsen(sen(353º.12282183) * sen(23º.42736))
       = -0º.0476075
       = -(0º 3m)
TYPE da para Venus el día 27 de Enero de 2001 RA = 23h 36m y DEC = -(1º 41m)

Resultados para Saturno

Para el 27 de Enero de 2001, tenemos los siguientes valores de Venus:
  E = 23º.42736
lgs = 57º.5882561

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores tenemos:
6) Y   = sen(57º.5882561) * cos(23º.42736)
       = 0.7746248559

   X   = cos(57º.5882561)
       = 0.5359998454

   RA' = arctan(0.7746248559 / 0.5359998454)
       = 55º.31879412

   RA  = 3.6879196 h
       = 3h 41m

   DEC = arcsen(sen(57º.5882561) * sen(23º.42736))
       = 19º.61203052
       = 19º 37m
TYPE da para Saturno el día 27 de Enero de 2001 RA = 3h 28m y DEC = 16º 46m

Referencias

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Practical Astronomy with your calculator
Peter Duffett-Smith
Cambridge University Press
ISBN 0-521-35699-7 (3ª edición)

Anuario del Observatorio Astronómico 2000
Instituto Geográfico Nacional
ISBN 84-7819-066-X


Ultima modificación 21 de Diciembre de 2000
Manuel Roca Vicent
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