"Hoy, las l�neas de latitud y longitud gobiernan con m�s autoridad que lo que yo podr�a haber imaginado hace cuarenta a�os, pues permanecen fijas a medida que bajo ellas el mundo cambia su configuraci�n -el movimiento de los continentes a trav�s de un amplio mar, y las fronteras nacionales son redibujadas repetidamente por la paz o la guerra"
Este conjunto de p�ginas tratan sobre c�lculos astron�micos. Aqu� encontrar�s como calcular el Azimut (AZ) y la Altura (ALT) de un objeto en el cielo si tu sabes la fecha, el tiempo (TU) y la posici�n de tu lugar de observaci�n junto a la Ascensi�n recta (AR) y la Declinaci�n(Dec) del objeto. Actualmente no es necesario calcular a mano las posiciones de los cuerpos celestes, pues hay multitud de programas que lo hacen y mucho m�s r�pido, pero calcular una posici�n al menos una vez puede dar idea de como funcionan los sistemas de coordenadas.
Como un ejemplo concreto voy a calcular la altura y el azimut del objeto M31 del cat�logo de Messier (galaxia Andr�meda) para el 1 de Noviembre de 2000 a las 1827 TU, para Castell�n (Espa�a). La AR y Dec de M31 son:
AR = 0 h 42.7 m Dec = 41 � 16 'de acuerdo con la edici�n del a�o 2000 del Anuario del Observatorio Astron�mico, y de la misma fuente obtenemos la latitud y la longitud de Castell�n (Espa�a):
Lat = 39 � 59 ' 12 " N Lon = 0 � 02 ' 16 " OAhora debemos transformar estos valores y el tiempo a un formato decimal:
AR = 0 h 42.7 m = 0 + 42.7/60 = 0.711 horas Dec = 41 � 16 ' = 41 + 16/60 = 41.266667 grados Tiempo = 1827 horas = 18 + 27/60 = 18.45 horas Lat = 39 � 59 ' 12 " N = 39 + 59/60 + 12/3600 = 39.986667 grados Lon = 0 � 02 ' 16 " O = -(0 + 2/60 + 16/3600) = -0.037778 gradosEs una buena idea mantener todas las cifras decimales hasta el final del c�lculo, y entonces redondear. Hay que darse cuenta que las longitudes al Oeste son negativas, y al Este positivas. Tambi�n debemos usar la AR expresada en grados, no en horas para lo cual simplemente multiplicamos el valor ac tual por 15:
AR = 0.711 * 15 = 10.665 gradosCon el fin de calcular la altura y el azimut de M31 para una posici�n y tiempo concretos, necesitamos calcular el Tiempo sid�reo local (TSL) y a partir de �ste obtener el �ngulo horario (AH) de M31. A partir de estos datos podemos usar varias f�rmulas est�ndar de trigonometr�a esf�rica para transformar el AH y la Dec en ALT y AZ.
Te recomendar�a que leyeses el libro de Peter Duffett-Smith (ver Referencias m�s abajo) para ampliar informaci�n sobre los c�lculos, incluyendo precesi�n.
Una calculadora cient�fica es todo lo que se necesita para llevar a cabo estos c�lculos, aunque una calculadora programable te ahorrar� tiempo si vas a realizar una serie de c�culos. una hoja de c�lculo te permite preparar una lista de posiciones de un objeto para cada hora a lo largo de un d�a.
Cuando est�s introduciendo los datos en la calculadora debes tener en cuenta:
grados*3.14159265358979/180, donde grados es el �ngulo en gradosrads*180/3.14159265358979, donde rads es el �ngulo en radianesMuchas cosas (incluyendo el tiempo sid�reo) se miden a partir de una �poca o fecha fundamentales. Para muchos prop�sitos astron�micos modernos, la fecha de referencia es J2000, que corresponde a las 1200 horas TU del 1 de Enero de 2000 DC, y tu puedes usar la tabla siguiente para encontrar cu�ntos d�as han pasado desde J2000 para cualquier fecha en los pr�ximos 20 a�os aproximadamente.
Calculando los d�as a partir de J2000
-------------------------------------
Las tablas siguientes pueden usarse para calcular el n�mero de d�as y
la fracci�n de un d�a desde la �poca J2000. Si tu necesitas el n�mero
de siglos julianos, s�lo tienes que dividir el 'n�mero de d�a'
por 36525.
Tabla A | Tabla B
D�as al principio del | D�as desde J2000 al
mes | principio de cada a�o
|
Mes A�o A�o | A�o D�as | A�o D�as
normal bisiesto| |
| |
Ene 0 0 | 1998 -731.5 | 2010 3651.5
Feb 31 31 | 1999 -366.5 | 2011 4016.5
Mar 59 60 | 2000 -1.5 | 2012 4381.5
Abr 90 91 | 2001 364.5 | 2013 4747.5
May 120 121 | 2002 729.5 | 2014 5112.5
Jun 151 152 | 2003 1094.5 | 2015 5477.5
Jul 181 182 | 2004 1459.5 | 2016 5842.5
Ago 212 213 | 2005 1825.5 | 2017 6208.5
Sep 243 244 | 2006 2190.5 | 2018 6573.5
Oct 273 274 | 2007 2555.5 | 2019 6938.5
Nov 304 305 | 2008 2920.5 | 2020 7303.5
Dic 334 335 | 2009 3286.5 | 2021 7669.5
Ejemplo
Para encontrar el n�mero de d�as desde J2000.0 hasta 1827 hrs TU del
1 de Noviembre de 2000, haz lo siguiente:
1. Divide el n�mero de minutos por 60 para obtener la fraccion
decimal de horas, en este caso 27/60 = 0.45
2. A�ade esto a las horas, despu�s divide el total por 24 para obtener
la fracci�n decimal de d�a, en este caso 18.45/24 = 0.76875
Este es el primer n�mero usado abajo
3. A partir de la tabla A encuentra el n�mero de d�as desde el
principio del a�o hasta Noviembre, en este caso 305 d�as
4. Anota el d�a del mes, en este caso 1
5. A partir de la tabla B encuentra los d�as desde J2000 hasta
el principio del a�o, en este caso -1.5
6. Suma estos cuatro n�meros.
de los datos anteriores:
0.76875 + 305 + 1 - 1.5 = 305.26875 d�as desde J2000.0
date cuenta que las fechas que caigan antes de J2000.0 tendr�n un
n�mero de d�a negativo. Mant�n el signo negativo en todos los c�lculos
Ejercicio
�C�al es el n�mero de d�a para 19:15 TU, 6 de Septiembre 1999?
Yo obtengo -115.6979 d�as desde J2000.0
El c�lculo del n�mero de d�as desde J2000.0 tambi�n lo podemos llevar
a cabo usando la siguiente ecuaci�n, donde d es el n�mero de d�as, a es
el a�o, m es el mes, D es la fecha y TU es la hora expresada como horas:
d = 367 * y - 7 * ( y + (m+9)/12 ) / 4 + 275*m/9 + D - 730530
Date cuenta que TODAS las divisiones que se realizan deben ser divisiones
enteras. Por �ltimo a�ade la hora del d�a:
d = d + UT/24.0 (esta es una divisi�n de coma flotante)
Supon que hace una ma�ana soleada. Clava un palo en tierra y observa su sombra. A medida que pase el tiempo la sombra se hara cada vez m�s corta y a partir de un determinado momento se har� cada vez m�s larga. El tiempo que corresponde a la sombra m�s corta es tu mediod�a local. Nosotros definimos un d�a solar (aproximadamente) como el tiempo medio entre dos mediod�as locales, y a este periodo de tiempo le llamamos 24 horas de tiempo.
Las estrellas dan una vuelta alrededor de la Tierra (realmente es la Tierra la que se mueve) en un tiempo que es aproximadamente 4 minutos m�s corto que el d�a solar. Esto es debido a que durante un d�a la Tierra se mueve en su �rbita alrededor del Sol, as� que el Sol ha tenido que viajar un poco m�s para alcanzar el siguiente mediod�a. Las estrellas no tienen que viajar ese poco m�s para alcanzar la misma posici�n que el d�a anterior, as� que el d�a sid�reo es m�s corto.
Necesitamos poder contar el tiempo en la escala de las estrellas, y el tiempo sid�reo puede ser calculado a partir de una f�rmula que implica el n�mero de d�as desde la �poca J2000. Una versi�n aproximada de la f�rmulas es:
TSL = 100.46 + 0.985647 * d + long + 15*TU d es los d�as desde J2000, incluyendo la fraccion de un d�a TU es el tiempo universal en horas decimales long es tu longitud en grados decimales, Este positiva. Suma o resta m�ltiplos de 360 para tener el TSL en el rango 0 a 360 grados.Si quieres hallar el TSL com m�s precisi�n puedes usar la siguiente f�rmula
TSL = 280.46061837 + 360.98564736629 * (DJ - 2451545.0) + 0.000387933 * T^2
- T^3 / 38710000 + long
DJ = D�a juliano teniendo en cuenta la fracci�n de d�a
T = Siglo juliano contado desde J2000.0
long = longitud en grados decimales, Este positiva
Suma o resta m�ltiplos de 360 para tener el TSL en el rango 0 a 360 grados.
Este resultado dar�a el TSL medio, que no tiene en cuenta las correcciones por nutaci�n, para tenerelas en cuenta debemos a�adir el t�rmino Dycose donde Dy es la nutaci�n en longitud y e es la oblicuidad verdadera de la ecl�ptica
Dy = -17".20 * sen W - 1".32 * sen(2 * L) - 0".23 * sen(2 * L') + 0".21 *sen(2 * W) e = e0 + DeLos valores que aparecen en estas f�rmulas son:
W = 125�.04452 - 1934.136261 * T + 0.0020708 * T^2 + T^3 / 450000 L = 280�.4665 + 36000�.7698 * T L' = 218�.3165 + 481267�.8813 *T e0 = 23�.43929 - 0�.013004 * T - 2�e10-7 *T^2 + 5.0�e-7 *T^3 De = 9".20 * cos W + 0".57 * cos(2 * L) + 0".10 * cos(2 * L') - 0".09 * cos(2 * W)
Sabemos que TU = 18.45
d = 305.26875 (Secci�n anterior)
long = -0.037778 (Hacia el Oeste negativa)
Entonces
TSL = 100.46 + 0.985647 * d + long +15 * TU
= 100.46 + 0.985647 * 305.26875 + -0.037778 + 15 * 18.45
= 678.059450 grados
= 318.06 grados
Si hacemos el c�lculo usando la segunda f�rmula entonces tenemos:
TSLmedio = 280.46061837 + 360.98564736629 * (DJ - 2451545.0) + 0.000387933 * T^2
- T^3 / 38710000 + long
= 280.46061837 + 360.98564736629 * (2451850.26875 - 2451545.0)
+ 0.000387933 * 0.00835780287473823^2
- 0.00835780287473823^3 / 38710000 - 0.037778
= 318.06017977798 grados
TSL = TSLmedio + Dycose
= 318.06017977798 + -0.00412958077971941
= 318.0560501972 grados
= 318.0560502 grados
(s�lo he redondeado este �ltimo valor a la precisi�n de los datos de partida)
Podemos representar la rotaci�n de la Tierra reemplazando la AR por el �ngulo Horario. El AH de un objeto aumenta con el tiemp sid�reo, pero la declinaci�n permanece constante, ya que DEC mide el �ngulo formado por la direcci�n del objeto y el ecuador terrestre.
AH = TSL - AR Si AH resulta negativo, sumale 360� para llevarlo al rango 0�-360� AR debe usarse en gradosComo puedes ver, el AH del primer punto de Aries (donde AR es 0) es precisamente el TSL expesado en grados
AR = 10.665 grados TSL = 318.0560502 grados AH = TSL - AR = 318.0560502 - 10.665 = 307.3910502 grados = 307.391050 grados
Ahora que ya sabemos la AR, DEC y AH del objeto, y la Latitud (LAT) del lugar de observaci�n, las siguientes f�rmulas nos dar�n la ALT y AZ del objeto para el TSL de la observaci�n
sen(ALT) = sen(DEC) * sen(LAT) + cos(DEC) * cos(LAT) * cos (HA)
ALT = asen(sen(DEC) * sen(LAT) + cos(DEC) * cos(LAT) * cos (HA))
sen(DEC) - sen(ALT) * sen(LAT)
cos(A) = ----------------------------------
cos(ALT) * cos(LAT)
( sen(DEC) - sen(ALT) * sen(LAT) )
A = acos(----------------------------------)
( cos(ALT) * cos(LAT) )
Si sen(AH) es negativo, entronces AZ = A, en otro caso AZ = 360 - A
AH = 307.391050 grados
DEC = 41.266667 grados
LAT = 39.986667 grados
sen(DEC) = 0.6595645 cos(DEC) = 0.7516480
sen(LAT) = 0.6426093 cos(LAT) = 0.7661940
sen(AH) es negativo cos(AH) = 0.6072517
Poniendo estos valores en la primera f�rmula del apartado anterior
sen(ALT) = 0.6595645 * 0.6426093 + 0.7516480 * 0.7661940 * 0.6072517
= 0.4238423 + 0.3497212
= 0.7735635
ALT = 50.674975 grados
cos(ALT) = 0.6337188
Poniendo los valores adecuados en la segunda f�rmula
0.6595645 - 0.7735635 * 0.6426093
cos(A) = -----------------------------------
0.6337188 * 0.7661940
0.1624654
= -----------
0.4855515
= 0.3345997
A = 70.451800
Como sen(AH) es negativo, AZ =A
AZ = 70.451800 grados
Con lo que se acaba el c�lculo. A las 1827 TU del 1 de Noviembre de 2000, en Castell�n (Espa�a), M31 se encontrar� a una altitud de 50.7 grados, y un azimut de 70.4 grados.
Podemos transformar la notaci�n decimal en sexagesimal, con lo que obtenemos
50.674975 grados = 50� 40' 30" 70.451800 grados = 70� 27' 06"
Practical Astronomy with your calculator
Peter Duffett-Smith
Cambridge University Press
ISBN 0-521-35699-7 (3� edici�n)
La cita al principio de la p�gina es de:
Longitude
Dava Sobel
Fourth Estate, London
ISBN 1-85702-502-4
De este libro existe tambi�n una versi�n ilustrada
Como ejercicio puedes calcular el AZ y la ALT de la Nebulosa de la Cabeza del Caballo en la constelaci�n de Ori�n el 7 de Abril de 2001 a las 1520 TU en Castell�n (Espa�a). Los datos son los siguientes:
AR = 5h 40m 54s DEC = -2� 28' 0" (�poca J2000.0) Long = 0� 2' 16" O Lat = 39� 59' 12"Yo obtengo
TSL = 4.000943 horas ALT = 41.67559 grados AZ = 145.26744 grados