APMO 2000
T«i võa míi tham dù k× thi To¸n ch©u ¸ Th¸i B×nh D­¬ng (APMO) lÇn thø 13 vµo ngµy 8/3/2000. Bµi lµm cña t«i kh«ng tèt l¾m, chØ lµm ®­îc kho¶ng 50%, ®Æc biÖt ®· bá qua bµi h×nh häc (sè 3) rÊt ®¸ng tiÕc. Sau ®©y lµ ®Ò thi, gåm 5 bµi, thêi gian lµm bµi lµ 4 tiÕng. Do ngµy tæ chøc APMO ë c¸c n­íc kh«ng ®ång nhÊt, ®Õn b©y giê t«i míi ®­îc phÐp c«ng bè ®Ò thi.

Bµi 1: TÝnh tæng cña (x_i) / (1 - 3x_i + 3x_i²), i = 0 ®Õn 101, trong ®ã x_i = i/101


Bµi 2: T×m tÊt c¶ c¸c c¸ch ®iÒn c¸c sè 1,2,3,4,5,6,7,8,9 vµo 9 h×nh trßn d­íi ®©y sao cho: tæng 4 sè trong mçi c¹nh tam gi¸c b»ng nhau tæng b×nh ph­¬ng 4 sè trong mçi c¹nh tam gi¸c b»ng nhau

Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM, ph©n gi¸c AN. §­êng th¼ng vu«ng gãc AN t¹i N c¾t AB, AM t¹i P, Q. Qua P kÎ vu«ng gãc AP c¾t AN t¹i O. Chøng minh r»ng OQ ^ BC.
Bµi 4: Cho n > k, chøng minh r»ng:
(1/(n+1)).(nⁿ)/(k^k.(n-k)^n-k) < (n!)/(k!(n-k)!) < (nⁿ)/(k^k.(n-k)^n-k)
(bµi to¸n ban ®Çu lµ t×m sè n sao cho (1² + 2² +...+ n²)/n lµ sè chÝnh ph­¬ng. Nh­ng sau ®ã mét céng t¸c viªn cña APMO ph¸t hiÖn ra bµi nµy ®· cã trong mét k× thi... cã cì gÇn ®©y. Héi ®ång APMO lËp tøc göi bµi 4 míi (lµ bµi nµy) cho APMO c¸c n­íc).
Bµi 5: (a₀, a₁,... a_n) lµ mét ho¸n vÞ cña (0, 1, 2,..., n). Mét phÐp biÕn ®æi lµ hîp lÖ nÕu nã chØ ®æi chç a_i vµ a_j víi ®iÒu kiÖn a_i = 0 vµ a_j = a_i-1+1. T×m tÊt c¶ sè n ®Ó ta cã thÓ thu ®­îc (1, 2,...,n, 0) tõ (1, n, n-1,..., 2, 0) sau mét sè h÷u h¹n phÐp biÕn ®æi hîp lÖ.

VMO 2000
K× thi olympic to¸n quèc gia lÇn thø 38, n¨m häc 1999-2000, diÔn ra vµo hai ngµy 13, 14/3/2000. Dù thi m«n To¸n, c¸c häc sinh ph¶i lµm 3 bµi trong 3 tiÕng mçi ngµy. Sau ®©y lµ ®Ò thi:

Ngµy thø nhÊt
Bµi 1: c lµ mét sè thùc d­¬ng, d·y sè (x_n) x¸c ®Þnh bëi x_n+1 = ¶(c + ¶ (c + x_n)) (n = 0,1,2... 0) nÕu c¸c biÓu thøc trong c¨n kh«ng ©m. T×m c¸c sè c ®Ó víi mäi x₀ Î (0 ; c), d·y sè nµy x¸c ®Þnh víi mäi n, vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n khi n®¥.
Bµi 2: Cho hai ®­êng trßn (O₁ ; r₁) vµ (O₂ ; r₂). Hai ®iÓm M, N chuyÓn ®éng trªn hai ®­êng trßn víi cïng vËn tèc gãc vµ cïng chiÒu kim ®ång hå. §­êng th¼ng O₁M vµ O₂N c¾t nhau ë Q.
1. T×m quü tÝch trung ®iÓm cña MN.
2. Chøng minh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNQ ®i qua ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x³ + 153x² - 111x + 38
1. Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt 9 sè a trong ®o¹n [1 ; 3²⁰⁰⁰] mµ P(a) chi hÕt cho 3²⁰⁰⁰.
2. Cã bao nhiªu sè a trong ®o¹n [1 ; 3²⁰⁰⁰] mµ P(a) chi hÕt cho 3²⁰⁰⁰ ?

Ngµy thø hai
Bµi 4: Cho tr­íc 0 á a á p vµ P_n(x) = xⁿsina - xsin(na) + sin(n-1)a.
1. Chøng minh r»ng tån t¹i duy nhÊt mét tam thøc bËc hai cã d¹ng f(x) = x² + ax + b ®Ó cho P_n(x) chia hÕt cho f(x) víi mäi n > 3.
2. Kh«ng tån t¹i nhÞ thøc bËc nhÊt cã d¹ng g(x) = x + c mµ P_n(x) chia hÕt cho g(x) víi mäi n > 3.
Bµi 5: T×m tÊt c¶ sè n > 3 sao cho tåi t¹i n ®iÓm trong kh«ng gian tho¶ m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau:
(1) kh«ng cã 3 ®iÓm th¼ng hµng
(2) kh«ng cã 4 ®iÓm n»m trªn mét ®­êng trßn
(3) c¸c ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm cã cïng b¸n kÝnh
Bµi 6: P(x) lµ mét ®a thøc tho¶ m·n P(x² - 1) = P(x) . P(-x)
Gäi A_P lµ tËp hîp c¸c sè x sao cho P(x) = 0. T×m sè phÇn tö lín nhÊt cña A_P