Que es limite de una función, infinitos asintóticos, concepto de derivada y sus aplicaciones en el campo de las ciencias administrativas

Cálculo Diferencial

Límite de una función

El límite de una función f es L cuando x se aproxima al 0, se cumple que la sucesión converge o tiende tener valor cada vez más cercanos a 0.

$\begin{displaymath}\lim_{X=0}=L\end{displaymath}$

Aplicación: Los límites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones, como aumento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos, inversiones de capital y velocidades límites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura.

Infinitos Asintóticos

Las asíntotas son rectas a las cuales una función se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.

Usando la notación de límite para describir asíntotas

Ahora considere la función

$g(x) = \frac {1}{x}.$

Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de $g ($ $0)$ no existe puesto que

$\qquad g(0) = \frac {1}{0}$

no está definido

Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grande como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer $g (x)$ igual a un millón, escogemos que x sea 10^-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan grande como queramos tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebraicamente como sigue

$\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x} = \infty$

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos).

De igual manera podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales.

Asíntota Vertical

Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:

$\lim_{x\to c^-} f(x) = \pm \infty$
$\lim_{x\to c^+} f(x) = \pm \infty$

Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

Asíntota Horizontal

Una asíntota horizontal es la recta $y = b$ y se tiene siempre que:

$\lim_{x\to \infty} f(x) = b$
$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b$

Derivadas: la definición de derivada

Una función f es derivable en un punto a si existe el siguiente límite:

Lim

h→0 f(a + h) − f(a)

El valor de este limite es la derivada de la función f en a y se representa f_(a).

La derivada de una función en un punto es un número real que mide como está creciendo la función en el punto, con relación al cambio de la variable.

Ya hemos visto numerosos ejemplos en los apartados anteriores y todavía veremos más en este. Antes, sin embargo, veamos un par de cuestiones importantes.

Si una función presenta una discontinuidad en un punto, no existe la derivada de la función en aquel punto.

Dicho de otra manera, si una función es derivable en un punto, tiene que ser continua en este punto.

Aplicaciones económicas.

En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de variación media mensual.

Solución:

Dado el periodo transcurrido, 11 meses, podemos llamar:

Ibex_0 = 11500

Ibex_11 = 9000

Entonces la tasa media mensual será:

Por lo tanto, si la tasa de variación media la definimos como:

nos devuelve cuantas veces crece (decrece en nuestro ejemplo) la variable “y” (en nuestro ejemplo el Ibex) por cada una de x (en nuestro ejemplo el mes).

Ejemplo

Sea la función:

Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”.

Solución:

La tasa de variación en el punto x=1 es:

Ejemplo.

Sea la función:

Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.

Solución:

La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero:

En el punto x=1:

Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:

En el punto x=2:

En el punto x=3:

Observamos que las tasas de variación instantánea o las derivadas de la función dada en cada uno de los puntos han dado valores muy distintos: negativo, cero y positivo. Si dibujamos la gráfica de la función podremos comprobar este hecho:

Vemos que en x=1 la pendiente es negativa, en x=2 la pendiente es cero y en x=3 la pendiente es positiva. Observamos, además que la pendiente, en valor absoluto, es mayor en x=3 que en x=1

Otras aplicaciones son los conceptos marginales. Así, si suponemos una empresa que produce un único bien en un número de unidades igual a “x”, entonces si llamamos C(x) al coste de producción de dicho bien y I(x) al ingreso por la venta del mismo, el beneficio:

B(x) = I(x) – C(x)

Pues bien, a las derivadas de estas funciones se llaman, respectivamente, B’(x) beneficio marginal, I’(x) ingreso marginal y C’(x) coste marginal.

Veamos otro concepto importante en Economía relacionado con las derivadas: la elasticidad.

Definición.

Sea F(x) y x un punto donde F(x) es derivable con F(x)0. La elasticidad de F con respecto a x es:

Ejemplo

Demostrar que:

Solución:

Derivadas de orden superior.

Sea F(x) y su función derivada F’(x). Definimos la derivada de orden “n” (n natural) como:

De la definición anterior, se desprende que la derivada de orden 3 es la derivada de la derivada de orden 2, siendo la derivada de orden 2 la derivada de la derivada de orden 1, a la que hemos llamado, en general, derivada de la función.

Ejemplo

Si tratamos de calcular la derivada tercera de la función x⁵-3x² + 9 hemos de proceder, según la definición:

1) Calcular la primera derivada:

F(x) = x⁵-3x² + 9 Þ F’(x) = 5x⁴ – 6x

2) Calcular la segunda derivada:

3) Calcular la tercera derivada (derivada de la segunda):

Definición.

Una función F(x) continua y cuyas derivadas hasta el orden k sean funciones continuas, se dice que es de clase k y se denota:

Las funciones de clase k las utilizaremos bastante en lo que sigue.

Derivación de funciones compuestas. Regla de la cadena.

Sean F y G dos funciones reales:

Sabemos que si se verifica:

entonces existe la composición

definida como

Pues bien, ahora se trata de determinar la derivada de la función composición FG a la que, por comodidad, llamaremos W = FG; es decir, tratamos de calcular W’.

A partir de la regla de la cadena:

W’(x) = G’(F(x)) F’(x)

Esta última expresión se deduce de la propia definición de la composición antes indicada, W(x) = G(F(x)).

En el caso que la derivada de W la queramos evaluar en un punto x₀, utilizaremos la expresión:

W’(x₀) = G’(F(x₀)) F’(x₀)

Evidentemente, siempre se puede realizar esta derivada calculando la composición directamente y derivando después en ésta, aunque este camino suele ser más largo que la aplicación de la regla de la cadena.

Ejemplo

Dadas las funciones F(x) = Log(x+2) y G(x) = x⁴-x, determinar la derivada de la función composición de ambas de forma general y evaluada en el punto x=0.

Solución:

Aplicando la regla de la cadena:

W’(0) = G’(F(0)) F’(0)

Calculemos dichos elementos:

F(x) = Log(x+2) ; F(0) = Log(2)

G(x) = x⁴- x ; G’(x) = 4x³– 1 ; G’(F(0)) = 4 (Log(2))³ -1

Por tanto:

W’(0) = 1/2 (4 (Log(2))³ - 1) = 2 (Log(2))³ - 1/2

Como hemos indicado anteriormente, podemos construir la composición de las funciones y luego derivar, sin aplicar, por tanto, la regla de la cadena. Este proceso, cuando las funciones son complicadas es mucho más difícil y lento que el método anterior.

En nuestro ejemplo:

W(x) = (F°G)(x) = G(F(x)) = G(Log(x+2)) = (Log(x+2))⁴ - Log(x+2)

W’(0) = 1/2 (4(Log(2))³ - 1) = 2 (Log(2))³ - 1/2

Resultando, evidentemente, lo mismo por los dos caminos.

En la práctica, además de todo lo indicado en el ejemplo anterior, se suele utilizar la regla de la cadena cuando se realiza el cálculo de la derivada de una función; por ejemplo, si preguntamos por la derivada del logaritmo neperiano de una función indicamos:

F(x) = Log(f(x))  F’(x) = 1/f(x) f ’(x)

estamos aplicando la regla de la cadena como se puede comprobar fácilmente.

Bibliografía

http://eco-mat.ccee.uma.es/Libro/FUNCIONES/Funciones6.htm

http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/L%C3%ADmites#L.C3.ADmites_infinitos

http://ballz.ababa.net/silvana/teorema-de-lhopital.html