Autor:
Heydi Cordero
Funciones
Lineales:
OFERTA
¿Cuántas
unidades de un determinado bien estará dispuesto a
ofrecer un productor para distintos precios? Haremos un análisis similar al
realizado para
De
igual manera que en el caso de la demanda, la oferta individual que realiza un
productor dependerá de numerosos factores, entre los que podemos nombrar la
tecnología utilizada, los precios de los factores de la producción (Tierra,
Capital, Trabajo, etc.), y el precio del bien que se desea ofrecer.
Para
analizar la oferta individual de un bien, aplicaremos la condición de "ceteris paribus", y
consideraremos temporalmente constantes todos los factores, a excepción del
precio del bien que se analiza.
|
Definimos
a la oferta como "la relación entre la cantidad que el productor está
dispuesto a ofrecer a la venta de un bien, y el precio al que dicha cantidad
se ofrece en el mercado, en un determinado momento" .
|
- Función Oferta:
Si
confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las
cantidades que un productor está dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo,
obtenemos una relación a la que llamaremos "Oferta individual" de un
determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se
conoce como "Oferta global o de Mercado".
Qué
sucede si los precios son muy bajos? Los productores
no ofrecerán nada, debido a que no se cubren los costos de producción. Pero si
los precios aumentan, la situación cambia y empezarán a ofrecer sus productos
en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor
será la oferta del mismo. Función Creciente
Tabla
de Oferta.
Cantidades
ofrecidas del bien A a distintos precios
|
pA |
qA |
|
2 |
0 |
|
3 |
2 |
|
4 |
4 |
|
5 |
6 |
|
6 |
8 |
Representamos
gráficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio
le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unión de todos los puntos
conforma la "Curva de
A
cada precio pA le corresponde una cantidad
ofrecida qA, si unimos los distintos
puntos (pA , qA) , obtenemos la
curva de oferta del bien A.
La
gráfica corresponde a una función lineal O = f (p) , y es
la representación de la relación que existe entre la cantidad ofrecida de un
bien (O) en un determinado momento y el precio de dicho bien (p), manteniendo
constante todos los demás factores que puedan afectar a la cantidad ofrecida,
por ejemplo: tecnología. Se caracteriza por tener pendiente positiva, ya que al
aumentar el precio aumentará también la cantidad ofrecida.
Veamos
un ejemplo de función de Oferta lineal, en donde se relaciona las cantidades
mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p):
O = q = f(p)
= 3 p -
1
Cuál
es el Dominio y el conjunto de las imágenes de esta función?
Do = [ 1/3,+ infinito)
Io = [0, infinito)
Nos
enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen
hemos supuesto que la cantidad ofrecida depende del precio, y no el precio de
la cantidad ofrecida, y para graficar ubicamos la variable independiente
precio, sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad en
el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la oferta.
Una oferta de ( - 0,25 ) unidades carece de sentido económico, las cantidades pertenecen al conjunto de los números enteros positivos.
Para precios inferiores a $1/3, los comerciantes no ponen sus productos a la venta. (Oferta cero).
La pendiente de la función es
positiva, ( a = 3 ). Al aumentar el precio de venta,
los comerciantes están dispuestos a ofrecer mayores cantidades de sus
productos. Función Creciente.
Si
conocemos que la oferta de un determinado modelo de calculadoras manuales es
lineal, y que cuando su precio es de $6 no hay unidades ofrecidas, pero cuando
el precio es $8, se ofrecen 56 unidades. Se desea formular la función Oferta de
calculadoras.
Una
forma de obtener la función es a partir de la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos:
|
|
DESPLAZAMIENTO DE
Al
igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce
un movimiento a lo largo de la curva de oferta.
Pero
cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes,
cambia el parámetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda.
Las
otras variables que influyen en la oferta son:
- Tecnología
Un cambio tecnológico produce un desplazamiento
de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer más cantidad.
- El costo de producción
Si disminuye el costo de producción (p. ej. si
baja el interés bancario que los productores pagan por los créditos banzarios o baja el salario de los trabajadores) a los
mismos precios se ofrecerá más cantidad y la oferta se desplaza a la derecha.
Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta
se desplaza a la izquierda.
- El precio de otros bienes
Cuando
aumenta el precio de la yerba, disminuye la oferta de
té, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por el mismo factore de producción: la tierra. Así también, si aumenta
el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son
de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.
Pueden
influir otros factores que hay que analizar en cada caso particular.
Funciones Lineales: DEMANDA
El
consumo de un determinado bien por un individuo tiene infinitas explicaciones,
tales como gustos o preferencias, ingreso del consumidor, precio de otros
bienes, pero por sobre todas las cosas el precio del bien. Para analizar la
demanda de un bien por un determinado individuo, aplicaremos la condición de "ceteris paribus"
y consideraremos temporariamente constante todos los
factores, a excepción del precio del bien que se está analizando, así obtenemos
La
suma de las demandas individuales de dicho bien, dará la demanda global o de
mercados
Mercado:
Es toda institución social donde compradores y vendedores intercambian
libremente bienes y servicios.
DEMANDA:
Es la relacion entre el precio de un bien y las
cantidades se está dispuesto a adquirir en el mercado en un determinado
momento, manteniendo constante los demás factores que puedan afectarla.
- Ley de la demanda:
El
precio de un bien y la cantidad demandada del mismo, poseen una relación
inversa debido a que mientras mayor sea el precio, menor será la cantidad
demandada, y por el contrario, cuando el precio disminuye aumenta la cantidad
demanda. Esta relación inversa se conoce como "Ley de
Excepciones
a esta ley la constituyen por ejemplo la demanda de servicios necesarios como
el agua, o de medicamentos oncológicos, entre otros.
Curva de demanda:
Analicemos
la demanda del detergente de marca A, a diferentes precios y por un determinado
consumidor, bajo las condición "ceteris paribus".
A
partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un
comprador, se confecciona la tabla de Demanda
Observamos
que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad
demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la
cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir.
Cuadro
.Tabla de demanda
|
Precio
(p) |
Cantidad |
|
$2 |
10 |
|
$4 |
8 |
|
$6 |
6 |
|
$8 |
4 |
|
$10 |
2 |
Con
los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la
demanda.
Curva de demanda de
detergente A
Cada
punto del plano de coordenadas (p,q),
muestra un precio p y una cantidad q que será demandada; al unirlos se obtiene
la curva de la demanda del detergente A en un determinado período
de tiempo para cada uno de los posibles precios.
·
Función
Demanda y su representación gráfica:
A
partir de ahora trabajaremos con la relación matemática que vincula la forma en
que varía la cantidad requerida de un bien, según el precio que tenga en el
mercado, aplicando la condición "ceteris paribus"; lo que nos
origina la función reducida de demanda y que designaremos "Función
Demanda", y la simbolizaremos como
Las
funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los números
reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas.
Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen
al conjunto de los Números Racionales Positivos Q+, y las cantidades
al conjunto de los Números Enteros Positivos .
Para
evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerará que
el precio pertenece al conjunto de los números Reales positivos (R+).
En
general, la demanda es una función decreciente que se representa gráficamente
en el primer cuadrante.
- Veamos un ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de un determinado modelo de sillones (q), y su precio de venta (p):
q = f(p) = 360 - 20 p
Cuál es el Dominio y el Conjunto de las imágenes de la
función
Nos
enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen
hemos supuesto que la cantidad demandada depende del precio, y no el precio de
la cantidad demandada.
Desde
el punto de vista matemático es indiferente considerarlo de una u otra forma, y
desde la óptica económica el análisis se simplifica al suponer que el precio
está determinado por el mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y
demandantes, por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato.
Observe en la gráfica que la variable independiente precio se mide sobre el eje
vertical, mientras que la variable dependiente cantidad se mide en el eje
horizontal.
Esta
forma responde a una convención entre los economistas para poder comparar
gráficos, siempre los valores monetarios se representan en el eje "y",
y como tal lo mantendremos en este curso, pero desde el punto de vista
matemático, en realidad no graficamos a la función oferta o demanda, sino, sus funciónes inversas.
Mercados de competencia perfecta: Tipo de mercado donde
el precio se fija por la interacción de muchos compradores y vendedores y
ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo único que se pueden
modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas.
- Para obtener el Dominio de la función buscamos los límites del precio p :
Cuál
es el precio para el cual el mercado ya no comprará más productos:
f(p) = 360 - 20 p
f-1(p) = - 1/20 p + 18
360 - 20p > 0
=> 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18
Es
decir que :
;
Si
el precio es 18, nadie está dispuesto a comprar sillones.
- Para obtener el Conjunto de las Imágenes de la función, buscamos los límites de las cantidades demandadas, para un precio cero:
f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 - 20 . 0
f(0) = 360
Es
decir que:
;
Si
el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 sillones.
|
Recordemos
que generalmente |
DESPLAZAMIENTO DE
Consideremos la ecuación de la demanda como Q = a - bp
Analizaremos ahora qué sucede cuando, permaneciendo
constante el precio del bien en cuestión, se altera alguno de los factores que
bajo la condición de ceteris paribus
hemos considerado constante.
Esos factores están cuantificados en el parámetro a. Un
cambio de cualquier factor que influya en la demanda diferente del precio del
bien, desplazará toda la curva de demanda a la derecha o a la izquierda, según
sea el sentido del cambio del factor. Este tipo de desplazamiento se denomina
cambios de la demanda, mientras que el resultado de variaciones del precio lo
denominamos cambios en la cantidad demandada. Esta distinción es muy importante
y se debe entender qué factores producen uno u otro tipo de cambios.
Entonces, una variación del precio produce un movimiento
dentro de la curva o sea una variación de la cantidad demandada.
Los otros factores o variables que producen
desplazamientos de la demanda porque modifican el parámetro son:
El ingreso de los consumidores
Cuando aumenta el ingreso las personas pueden consumir
más cantidad, cualquiera fuese el precio, por lo tanto aumenta la demanda y se
desplaza a la derecha. Por el contrario, cuando disminuye el ingreso, los
consumidores compran menos cantidad, disminuye la demanda y se desplaza a la
izquierda.
Las
variaciones del ingreso producen cambios en la misma dirección. Si bien ésta es
la regla, hay excepciones: como el caso de los bienes llamados inferiores, como
la mandioca y la grasa, cuya demanda disminuye cuando aumenta el ingreso.
Los precios de los bienes relacionados
El
efecto depende del tipo de bienes: pueden complementarios y bienes sustitutos.
Consideremos
primero el efecto sobre la demanda del bien x cuando se produce un cambio en el
precio del bien complementario. P. ej., si se produce un aumento en el precio
de la nafta, ello repercute en la demanda de autos nafteros,
se demandan menos autos y la demanda se desplaza a la izquierda.
Si
se tratan de bienes sustitutos, por ejemplo la naranja y la mandarina, cuando
aumenta el precio de la naranja, aumenta la demanda de mandarinas y la demanda
se desplaza a la derecha.
El gusto de los consumidores
El
razonamiento es sencillo. Si el producto se pone de moda o si por medio de la
publicidad se convence al consumidor que es mejor, más rico, más lindo, bueno
para la salud, etc., se demandará más cantidad independientemente del precio y
la demanda se desplazará a la derecha. Por el contrario, si pasa de moda pocas
personas lo comprarán aún cuando se ponga en oferta a un precio más bajo y la
demanda disminuye o sea que la curva se desplaza a la izquierda.
Otros
factores pueden influir en la demanda y producir desplazamientos. Para caso en
particular es necesario analizar cuáles son los más importantes.
FUNCIONES LINEALES DE COSTOS
El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio.
Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo.
Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla.
Costo lineal
Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)
El costo total es la suma de ambos
Costo total = Costos fijos + Costos variables
Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b
Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de CF (x) = 6
Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante.
Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por unidad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcionales a la cantidad de artículos producidos.
Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la forma g(x) = ax
Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la función de costo variable:
CV(x) = 0,8 x
Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos
CT(x) = CV(x) + CF(x)
CT(x) = ax + b (función afín)
CT(x) = 0,8 x + 6
Ejemplo 1 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica
¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?
Solución
El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un día es
C(x) = 2x + 30
El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por día es de $ 80.
C(25) = 2. 25 +30
C(25) = 80
Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.
Solución:
En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuación que determine la relación.
Por la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, tenemos
y = 0,16x+0,6
En el gráfico observamos que como x puede tomar únicamente valores enteros no negativos, no podemos representar a la función como una línea recta continua.
Generalmente, cuando se trabaja con funciones económicas, se considera el dominio real, por lo que se la representa como una línea continua.
Funciones
Cuadráticas:
Hasta
ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda de tipo
lineales, donde la variable dependiente cantidad ,
cambia en proporción directa con el cambio de la variable independiente precio.
Pero
existen casos en que la relación puede estar representada por una función no lineal,
donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción
directa con los cambios de la variable independiente.
Oferta
En
un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado
producto sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a
distintos precios.
Los
datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente:
|
Precio (p) |
Cantidad ofrecida(q) |
|
10 |
95 |
|
20 |
395 |
|
30 |
895 |
A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la oferta
q = p2 - 5
Si consideramos los valores del dominio que tienen
sentido económico, definimos a la oferta como una función biyectiva con
raíces .
Descartamos x2 , y el Dominio restringido de la
función Demanda será
Los vendedores estarán dispuestos a colocar sus productos
en el mercado a precios superiores a ( ).
Por debajo de dicho valor, no habrá productos en el mercado.
Para poder graficar buscamos su función inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.
El dominio de la función Oferta es el conjunto formado por los números reales positivos incluidos el cero.
Dominio restringido, se refiere a los posibles
valores que puede tomar la variable independiente con un sentido económico.
Para precios inferiores a ,
las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresión no tiene sentido
económico.
Si
Relación de inclusión:
.
Para un precio de $ 28, se ofrecerán 779 unidades del bien.
,
y una cantidad negativa carece de sentido económico.
A partir de un precio p +
los
productores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado.
La oferta es una función creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado.
DESPLAZAMIENTO DE
Al
igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce
un movimiento a lo largo de la curva de oferta.
Pero
cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes,
cambia el parámetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda.
Las
otras variables que influyen en la oferta son:
Tecnología
Un
cambio tecnológico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a los
mismos precios se puede ofrecer más cantidad.
El
costo de producción
Si
disminuye el costo de producción (p. ej. si baja el interés bancario que los
productores pagan por los créditos banzarios o baja
el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecerá más cantidad y
la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos,
se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.
El
precio de otros bienes
Cuando
aumenta el precio de la hierba, disminuye la oferta de té, debido a que son
productos de oferta rival porque compiten por el mismo factor de producción: la
tierra. Así también, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de
cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo
proceso productivo.
Pueden
influir otros factores que hay que analizar en cada caso particular.
Funciones
Cuadráticas:
Demanda
Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda, donde la variable dependiente cantidad, experimenta cambios que son directamente proporcionales a los que sufre la variable independiente precio.
Pero en la realidad, en la mayoría de los casos la relación puede estar representada por una función no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa con los cambios de la variable independiente.
En algunos casos la función de demanda puede expresarse como una función polinómica de grado dos o función cuadrática., cuya representación gráfica es una parábola.
Simbólicamente se expresa:
|
|
Una
empresa encuestadora sondeó a los posibles compradores de un modelo de paraguas
sobre los precios que estarían dispuestos a pagar.
Así
se obtuvo una función cuadrática de Demanda.
Los
datos de campo se muestran en la siguiente tabla:
|
Precio (p) |
Cantidad demandada (q) |
|
10 |
280 |
|
11 |
270 |
|
15 |
190 |
A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de
la demanda, que responde a la función cuadrática q = -2p2 +32p +160, y en lenguaje matemático la
identificaremos como:
Para graficar, respetamos las convenciones de los
economistas, y ubicamos a la variable independiente
precio en el eje vertical y a la variable dependiente cantidad en el eje
horizontal. En realidad graficamos la función inversa de
A partir de
Graficamos
la función inversa.
Bibliografía
http://www.fce.unam.edu.ar/pma/contenidos.htm