Autor: Heydi
Cordero
- Presentar las definiciones de
proposición.
Una proposición o enunciado es una oración
que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un
elemento fundamental de la lógica matemática.
Proposición: es lo que se afirma cuando se usa una
oración para decir algo verdadero o falso. Así pues, una proposición corresponde
al significado de una oración enunciativa, ya que las oraciones interrogativas,
desiderativas o exclamativas carecen de valor de verdad.
Proposición lógica: agrupación de términos de la que se
puede averiguar si su contenido es verdadero o falso. Ej: “La mesa es redonda”; “3+2=5”.
Las proposiciones son los elementos a
partir de los cuales se construyen los razonamientos.
- Clasificación de las
proposiciones.
·
Atómicas: Si no puede subdividirse en otras
proposiciones más pequeñas y siempre son afirmativas. Ej.:”Está lloviendo”;
“3+2=5”
·
Moleculares: pueden subdividirse en otras
proposiciones enlazadas y/o modificadas por algunos términos. Ej.: “Llueve y es
de día”; “La mesa no es redonda””No la mesa es redonda”
(Molecular)
Las proposiciones pueden ser
afirmativas y negativas. En lógica bivalente o lógica binaria, la
negación de una proposición negativa equivale a una
afirmación.
Por su extensión, las proposiciones
pueden clasificarse en universales (“Todo S es P”), particulares
(“Algún S es P”) y existenciales (“Sócrates
existe”).
La
combinación de ambos criterios da lugar a los siguientes tipos de
proposiciones:
- Universal afirmativa (“Todos los humanos son
mortales”).
- Universal negativa (“Ningún humano es
mortal”).
- Particular afirmativa (“Algunos planetas giran
alrededor del Sol”).
- Particular negativa (“Algunos planetas no giran
alrededor del Sol”).
- Existencial afirmativa (“Sócrates existe”).
- Existencial negativa (“Sócrates no existe”).
Todas ellas pueden ser verdaderas o
falsas. Su valor de verdad, sin embargo, no depende de la lógica, sino de la
aplicación de otro tipo de criterios de verdad.
- Definición de conectivos: negación, conjunción
disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional.
Cuando dos proposiciones simples se
combinan mediante la palabra « y », la proposición compuesta resultante
se le llama conjunción. Para la conjunción usaremos el símbolo lógico
^. De esta manera, se tiene que la nueva proposición p ^ q se
llama conjunción de « p y q ».
Ahora, el valor de verdad, para la
conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente
manera:
p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente
si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las
proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q,
es falso. Ejemplos:
1.- Si p es la proposición: «1 es un
número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces
p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo».
En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p:
«1 es un número impar», como q: «3 es un número primo», ambos son
verdaderos.
En matemáticas se emplea la palabra
«o» en el sentido inclusivo, como el término y/o. Entonces una
proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas».
Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición. Simbólicamente la
denotaremos escribiendo p v q. A esta nueva proposición compuesta se le
llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de
p y q.
El valor de verdad de la proposición
compuesta p v q cumple la condición siguiente:
Si p es verdadero o q es verdadera o si
ambos, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es
decir la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición
componente es falsa. Ejemplos:
1.- Si p es la proposición «2 es un
número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la
disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número
primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son
ambas verdaderas.
Con esto se
observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es
verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.
3.- Si p es: «París se encuentra en
Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el valor de la
disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son
falsas.
Si p es una proposición fundamental, de
ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p,
escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta
en p la palabra «No». Simbólicamente denotaremos a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos
autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p
,-p , etc...., nosotros utilizaremos
la notación ~p.
El valor de verdad de la negación de
una proposición fundamental depende de la condición
siguiente:
Si p es verdadero, entonces ~p es falso; si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la
negación de una proposición fundamental es siempre opuesto del valor de verdad
de la proposición. Ejemplos:
1.- Si p es la proposición «Alemania
se encuentra en Europa», entonces la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso que Alemania se
encuentre en Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposición p: «Alemania se
encuentra en Europa» es verdadero.
También se pudo haber expresado la
negación de p como: «Alemania no se encuentra en
Europa».
Por otra parte, en matemáticas se suele
utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales
proposiciones se llaman condicionales y se le denota por: p
--> q. El condicional p --> qq también se puede expresar de las
siguientes maneras:
- p implica q
- p solamente si q
- p es suficiente para q
- q es necesario para p
Por ejemplo:
Mi automóvil funciona si hay gasolina
en el tanque.
Este enunciado es equivalente a
expresarlo de las siguientes maneras:
a) Si hay gasolina en el tanque,
entonces mi automóvil funciona.
Observa que en este caso la proposición
condicional es del caso: «Si p, entonces q».
b) Mi automóvil sólo funciona si hay
gasolina en el tanque.
En este caso la proposición condicional
es del caso: «p solamente si q».
c) Si hay gasolina en el tanque, es
suficiente para que mi automovil
funcione
En este caso la condicional es de la
forma: «p es suficiente par q».
d) Para que mi automóvil funcione es
necesario que haya gasolina en el tanque.
Para este caso la proposición
condicional es de la forma: «q es necesario para
q».
e) Que haya gasolina en el tanque
implica que mi auto funcione.
En este caso la condicional es de la
forma: «p implica q».
El valor de verdad de la proposición
condicional p --> q está dado de la siguiente condición: el
condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q
falso. Es decir, una proposición verdadera no puede implicar una
falsa.
La proposición condicional juega un papel
muy importante en matemáticas, en particular, en la demostración matemática.
Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,
.etc, Vendrán dadas por una serie de condiciones a la
que llamaremos: Hipótesis o antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el
condicional p --> q a p se le llama el antecedente, y a q el
consecuente. También, es muy importante comprender el carácter que tiene el
condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q,
no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q. Ejemplos:
1.- Si mañana llueve, entonces hará
frío.
Se observa, que, si llega a ocurrir que
el día de mañana llueva, entonces el día de mañana será frío. Ahora, para saber
el valor de verdad de esta proposición, depende de los factores climatológicos
que se presenten para el día de mañana. Es decir, puede ser que mañana llueva,
pero no haga frío, en este caso dado la ley del valor de verdad de la
condicional, sería falsa. Pues una proposición verdadera no implica una
proposición falsa.
Otra observación interesante que hay
que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor de verdad de la
proposición condicional p --> q es falso, si p es verdadero y q es
falsa. Ahora puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la
condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera, o
más aún, es verdadero, dado que p es falsa y también q es falsa.
Ejemplo:
Sea la proposición condicional: «Si
4 es un número primo, entonces 6 es un número primo». Es una proposición
verdadera a pesar de que «4 es un número primo» es una proposición falsa.
El que la proposición «6 es un número primo» sea falsa, no tiene
importancia. Nada se afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso,
solamente el valor de verdad de p --> q, y éste queda completamente
determinado por las tablas de verdad que veremos mas
adelante.
Otro tipo de proposición que se
presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se
suele abreviar «p si q». Intuitivamente esta proposición parece ser la
combinación de p --> q y q --> p. A este conectivo lógico
especial lo llamamos bicondicional y se denota por
el símbolo <-->, entonces p <--> q es lo mismo que
(p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición de la
conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^
(q --> p). El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales
p <--> q obedece a la condición:
Si
p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es
verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p
<--> q es falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son
verdaderos, entonces p <--> q es verdadero.
Si tanto p como q
son falsos, entonces p <--> q también es verdadero.
Si p es
verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.
Si p es falso y
q verdadero, entonces p <--> q también es falso.
Ejemplo:
1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4
= 8.
Si se toma p
como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de
verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces
la bicondicional p <--> q es falsa.
- Tablas
de verdad.
A partir del conjunto original de
proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él
toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar
empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se
le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones
compuestas del tipo (p ^ q) v r.
El valor de verdad que se asigna a una
proposición compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensión
natural de las hipótesis anteriores.
Dichas hipótesis se resumen y se
generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad. Se puede
conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos,
determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una
proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de
la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación.
Tabla de verdad para ~p.
|
p |
~p |
|
V |
F |
|
F |
v |
Esta tabla nos hace recordar la
definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el valor de
verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces
el valor de verdad de ~p es
verdadero.
Tabla de verdad para p v
q.
|
p |
q |
p v
q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
V |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
F |
En esta tabla se observa: Si p es
verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es
verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos
proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.
Tabla de verdad para p ^
q.
|
p |
q |
p ^ q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
F |
Esta tabla nos hace ver la definición
de la conjunción: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es
verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos
proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.
Tabla de verdad para p -->
q.
|
p |
q |
p --> q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
V |
De la tabla anterior se observa que el
condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es
decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.
Tabla de verdad para p <-->
q.
|
p |
q |
p <--> q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
V |
De la anterior tabla se puede observar
que: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es
verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q
es falso.
Las tablas de verdad anteriores son las
que se necesitan para deducir el valor de verdad de cualquier proposición por
complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les
llama tablas de verdad deducidas
Ilustremos esto con el siguiente
ejemplo: Calculemos la tabla de verdad de la proposición ~p v q. Como se indica en la tabla que veremos a
continuación, para construir dicha tabla, debemos empezar con todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de p que se deducen de la primera columna,
podemos escribir la columna dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la
definición de la disyunción para ~p v q. Esto lo
verificamos con la siguiente tabla:
Tabla de verdad para ~p v q.
|
p |
q |
~p |
q |
~p v q |
|
V |
V |
F |
V |
V |
|
V |
F |
F |
F |
F |
|
F |
V |
V |
V |
V |
|
F |
F |
V |
F |
V |
Nota:
De la tabla anterior podemos
observar lo siguiente: Si comparamos las columnas primera y segunda con los de
la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores de
verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es
falsa. Esto nos hace recordar los valores de la proposición condicional p
<--> q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos
proposiciones.
- Tautologías, contradicciones
Ahora veamos un caso especial de
proposiciones, las cuales se caracterizan por tener sólo el valor de verdad V en
la última columna de sus tablas de verdad, independientemente del valor de las
demás proposiciones. Tales proposiciones se le llaman: Tautologías.
Algunas de estas tautologías son muy comunes y útiles y por eso se le llaman
leyes. Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para
todos los valores de verdad de sus variables.
Ahora construyamos la tabla de verdad
para la proposición: p v ~p.
Tabla de verdad para p v ~p.
|
p |
q |
p v ~p |
|
V |
F |
V |
|
F |
V |
V |
Se observa que el valor de verdad de
esta proposición p v ~p es V, independientemente de el
valor de p. Por tanto se trata de una tautología. A dicha tautología se le llama
ley del tercio excluido. Construyamos la tabla de verdad para la
proposición: [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p -->
r).
Tabla de verdad para: [(p --> q) ^
(q --> r)] --> (p --> r)
|
p |
q |
r |
[(p |
--> |
q) |
^ |
(q |
--> |
r)] |
--> |
(p |
--> |
r) |
|
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
|
V |
V |
F |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
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V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
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V |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
|
F |
V |
V |
F |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
|
F |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
|
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
V |
F |
V |
V |
|
F |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
A esta proposición se le conoce con el
nombre de La ley del silogismo, la cual es un principio fundamental del
razonamiento lógico.
Antes de pasar a la siguiente
observación, veamos antes algo sobre notación:
Podemos denotar a una
proposición compuesta, como las que hemos visto desde casi el principio, como
P(p,q,r,....), donde P es la
proposición compuesta en sí, y p,q,r,...sus
componentes. Por ejemplo: La proposición anterior que vimos, [(p -->q) ^
(q -->r)] --> (p -->r), podemos llamar a esta proposición compuesta
como P, de componentes p,q y
r. Es decir nuestra proposición compuesta es de la forma: P(p,q,r).
Observación: Si P(q,r,s...) es una tautología, entonces ~P(q,r,s...) es una contradicción
y viceversa.
La contradicción es una proposición compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por
tener sólo el valor de verdad F en la última columna de sus tablas de verdad,
independientemente de el valor de las demás proposiciones: q,r,s... Esto indica que es aquella proposición que siempre
es falsa para todos los valores de verdad. Veamos la proposición p ^ ~ p
y verificaremos que se trata de una contradicción. p ^ ~p.
|
p |
q |
p ^ ~p |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
La tabla nos muestra que en la última
columna aparecen los valores de verdad F, independientemente de los valores de p
y ~p.
- Importancia de estos conceptos en el campo
profesional.
La lógica se aplica en la tarea diaria,
ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico. Asimismo,
la lógica es pues muy importante; ya que permite resolver inclusive problemas a
los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su
inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener
nuevos inventos o innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de
los mismos.
Bibliografía